厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.3 不变因子、Frobenius标准形（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 §73不变因子, Frobenius标准形 由上节我们知道任意λ一方阵都相抵于对角λ一矩阵.所以,如果两个n阶入一矩阵的法式相同,则 它们相抵,反之,如果它们法式不一样,是否必不相抵?为此,先引进行列式因子的概念 定义73.1设A(A)是n阶入一矩阵,对于任意的k(1≤k≤m),如果A(A)的所有k阶子式的最 大公因式不等于零,则称首项系数是1的最大公因式为A(入)的k阶行列式因子,记为Dk(A) 易见,若r(A()=r,则A(A)有r个行列式因子 例1矩阵 (入+1) (入-1) 的行列式因子为1,A-1,(X-1)2(+1) 1 (入-1)(A+1) 的行列式因子为1,A-1,(X-1)2(+1) (A+1) (A-1)2 的行列式因子为1,1,(A-1)2(A+1) 例2n阶λ一矩阵的法式 diag(d1(入),d2(入),…,d(),0.……,0) 则其行列式因子为 D1()=d1(A) D2(A)=d1()d2(入) D(=d1()d2()…d( 引理731设r(4(A)=T,D1(,D2(),…,D1(A是A()的行列式因子,则 D(从川|D+1(A)(i=1,2,…,r-1)

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Frobenius ℄f %uRg4r λ− -1%Æ!('N λ− U1￾￾s;℄5 n Q λ− U1+yÆ￾-
gÆ!,5￾s;
g+y￾z0 Æ!￾!T`y 7 y (a￾-{ }z 1 >7 y A(λ)  k CRILT[, H Dk(λ). L￾t r(A(λ)) = r, - A(λ) & r 5`y < H 1 U1   (λ − 1) (λ + 1) (λ − 1)   `y < 1, λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 1);   1 (λ − 1) (λ − 1)(λ + 1)   `y < 1, λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 1);   1 (λ + 1) (λ − 1)2   `y < 1, 1,(λ − 1)2 (λ + 1). H 2 n Q λ− U1+y diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0), -m`y < D1(λ) = d1(λ), D2(λ) = d1(λ)d2(λ), · · · · · · · · · Dr(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dr(λ). UG 7.3.1 v r(A(λ)) = r, D1(λ),D2(λ),· · ·, Dr(λ) z A(λ) `y <￾- Di(λ)|Di+1(λ) (i = 1, 2, · · · , r − 1). 1

证明设A1+1()是A()的任一i+1阶子式,按第一行展开,则其每一展开项都是一个多项式与4() 个i阶子式的乘积.由于D(入)是所有i阶子式的公因式,则D2()A1+1()).因此D4(入)|D2+1()).口 定义73.2设D1(),D2(,…D1()是4()的行列式因子,则 91(入)=D1(A),91( Di(A) D1-1() 称为A(从)的不变因子 显然,A-矩阵的行列式因子和不变因子互相唯一确定,例1中不变因子分别为1,A-1,(入+ 1)(A-1;1,A-1,(X+1)(X-1);1,1,(X+1)(A-1)2.例2中n阶A-矩阵的法式的不变因子 为d1(入),d2(),…,d(入) 为了证明行列式因子,不变因子都是A一矩阵在相抵关系下的不变量,先证明如下结论 定理731相抵的入一矩阵有相同的行列式因子 证明只需证明行列式因子在任意λ一矩阵的初等变换下保持不变即可. 互换变换.交换A(从)的两行得到B(入),则A()和B()的s阶子式最多改变一个符号,因为行列 式因子首项系数为1,所以保持不变 倍法变换4()的某一行乘以非零常数得到B(A),则A(和B(从)的s阶子式与变换后的i阶子 式最多差一个非零常数,因为行列式因子首项系数为1,所以保持不变 消法变换.A(入)的第j行乘以f(入)加到第i行得到B(入).如果B(A)的s阶子式不含第i行, 或同时含第讠行和第j行,它等于A(A)的相应的一个s阶子式,如果B(A)的s阶子式含第i行但不含 第j行,它等于A(入)的相应的一个s阶子式加减f()乘以A()的另一个s阶子式,所以不影响所有 s阶子式的最大公因式 注入-矩阵的法式唯 定理732对于n阶入-矩阵A()和B(入),下列叙述是等价的 (1)A(X)≈B(); (2)A()和B(A)有相同的行列式因子 (3)A()和B()有相同的不变因子 (4)A()和B()有相同的法式 证明设A()≈B(入),根据定理73.1,A(A)和B(A)有相同的行列式因子,因而有相同的不变因 子.因为法式由不变因子唯一确定,所以A(和B(入)有相同的法式.而两个法式相同的入-矩阵是相抵 的 设A是数域F上n阶方阵,多项式矩阵AE-A称为矩阵A的特征矩阵ME-A的行列式因子 和不变因子分别称为A的行列式因子和不变因子 推论73.1对于n阶方阵A和B,下列叙述是等价的 (1)A相似于 (2)A和B有相同的行列式因子; (3)A和B有相同的不变因子 利用不变因子,我们可以构造n阶方阵的 Frobenius标准形

XK v Ai+1(λ) z A(λ) r i+1 Q B(λ)  s Q)251=￾ ` y B(λ)  s Q)5.a}￾ `y # j ￾
( A(λ) Æ"5 s Q7 y ✷ Y λ− U1+y BG 7.3.2 '( n Q λ− U1 A(λ) > B(λ), `|z J (1) A(λ) ≃ B(λ); (2) A(λ) > B(λ) &Æ`y B(λ) &Æ B(λ) &Æ+y XK v A(λ) ≃ B(λ), 6V$Z 7.3.1, A(λ) > B(λ) &Æ`y B(λ) &Æ+y*℄5+yÆ λ− U1zÆ!  ✷ v A z}* F u n Q-1￾)yU1 λE − A U1 A  MWEV. λE − A `y  A?T[. OJ 7.3.1 '( n Q-1 A > B, `|z J (1) A Æ~( B; (2) A > B &Æ`y B &Æ < [$ <￾gX8, n Q-1 Frobenius ; 2

引理7.3.2下列r阶矩阵 00 10 01 000 1-ar-1/r 的行列式因子是1,……,1,(r-1个1),f(),其中 f()=A+ar-1A-+…+a1入+a0 其不变因子也是1,…,1(-1个1),f(入) 证明对任意的k(k<r),上面矩阵的特征矩阵总有一个k阶子式的值为(-1),故Dk() 1≤k≤r-1.而其r阶行列式因子是 =X+ar-1X-1+…+a1X+a0 H理7.3,2中矩阵称为关于f()=+an-1-1+…+a1+a0的 Frobenius块记为F(f() 定理73.3 0-a0 10 0 F((x)=01…0 的特征多项式和极小多项式都 f(X)=+ar-1X-1+…+a1+a0 证明记F(f()为F.因为F的特征多项式是第r个行列式因子,所以是f(入).所以f()是F的 零化多项式.我们断言F的极小多项式也是f(入).若不然,有9(A),使g(F)=0,且deg()<degf() 9(x)=X+l-1X-1+…+4A+l,s<r, 则9(F)=F+l-1F-1+…+l1F+E=0.从而9(F)1=0.直接计算知Fe1=E2,F21=E3 F∈1=Es+1.所以9(F)1=Ea+1+l-1Es+…l12+lo1=0.这样l=0,(1≤i≤s).与 g()≠0矛盾 定理734设A是数域F上的n阶方阵,A的不变因子为 1,……,1(m一k个1),d1(入),……,d()

UG 7.3.2 ` r QU1   0 0 · · · 0 −a0 1 0 · · · 0 −a1 0 1 · · · 0 −a2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 −ar−1   r `y E)y%z f(λ) = λ r + ar−1λ r−1 + · · · + a1λ + a0. XK H F(f(λ))  F.  F 2)yz# r 5`y <￾￾z f(λ). ￾ f(λ) z F  aA)yg& F E)yz f(λ). tq￾& g(λ), x g(F) = 0, n degg(λ) < degf(λ). v g(λ) = λ s + ls−1λ s−1 + · · · + liλ + l0, s < r, - g(F) = F s +ls−1F s−1 +· · ·+l1F +l0E = 0. * g(F)ε1 = 0. 6PG4 F ε1 = ε2, F 2 ε1 = ε3, · · ·, F s ε1 = εs+1. ￾ g(F)ε1 = εs+1 + ls−1εs + · · · + l1ε2 + l0ε1 = 0. 0 li = 0, (1 ≤ i ≤ s). ) g(λ) 6= 0 d( ✷ BG 7.3.4 v A z}* F u n Q-1￾ A  < 1, · · · , 1(n − k51), d1(λ), · · · , dk(λ) 3

其中degd4(入)=m,则A相似于下列分块对角阵 F(d1(入) F(d2() F(dk () 证明AE-A的法式为 diag(1,…,1(7-k个1),d1(),d2(入),…,dk() 因为m1+m2+…+mk=n.根据{7.1的例2,知 AE- Aa diag(1,…,1(m1-1个1),d1(),1,……,1(m2-1个1),d2(),…,1,…,1(mk-1个1),k() 根据引理73.1 diag(1,……,1(m;-1个1),d(从)≈ME一F(d1(),1≤i≤k E=ANAE-F 故A相似于F 定理7.3.4中的F称为A的 Frobenius标准形 例3设方阵A的不变因子是 1,1,1,(X+1),(X+1)2,(X+1)3 写出A的 Frobenius标准形 解不变因子可写为 1,1,1,(X+1),(2+2A+1),(x3+3x2+3+1) 故A的 Frobenius标准形为 0-1 0-3 例4求下列矩阵的 Frobenius标准形 133

m: degdi(λ) = mi , - A Æ~( `/Y'N1 F =   F(d1(λ)) F(d2(λ)) . . . F(dk(λ))   . XK λE − A +y diag(1, · · · , 1(n − k51), d1(λ), d2(λ), · · · , dk(λ)).  m1 + m2 + · · · + mk = n. 6V §7.1 \ 2, 4 λE−A ≃ diag(1, · · · , 1(m1−151), d1(λ), 1, · · · , 1(m2−151), d2(λ), · · · , 1, · · · , 1(mk−151), dk(λ)). 6V!Z 7.3.1, diag(1, · · · , 1(mi − 151), di(λ)) ≃ λE − F(di(λ)), 1 ≤ i ≤ k. ￾ λE − A ≃ λE − F. 9 A Æ~( F. ✷ $Z 7.3.4 : F  A  Frobenius ZQ. H 3 v-1 A  <z 1, 1, 1,(λ + 1),(λ + 1)2 ,(λ + 1)3 ,  A  Frobenius ; D  <X 1, 1, 1,(λ + 1),(λ 2 + 2λ + 1),(λ 3 + 3λ 2 + 3λ + 1). 9 A  Frobenius ;   −1 0 −1 1 −2 0 −1 1 0 −3 1 −3   . H 4 o `U1 Frobenius ; A =   1 3 3 3 1 3 −3 −3 −5   . 4

解 AE-A=-3X-1-3 3入+5 则D1()=1.计算得到D2()=A+2.计算det(AE-A),得到D3(A)=(A-1)(A+2)2.故A的 非1的不变因子为d1()=A+2,d2())=(X-1)(A+2).这样,A的不变因子为 1,A+2,X2+A-2, 故A的 Frobenius标准形为 02 定理735设数域F上n阶矩阵A的不变因子为 1,…,1,d1(入),……,dk(), 则A的极小多项式mA()=dk( 证明设A的 Frobenius标准形为 F(d1(入) F(d2() F(dk () 因相似矩阵有相同的极小多项式,故只需证明F的极小多项式是dk(入)即可.因为F为分块对角阵,由定 理6.33知 mrF(从)=mF(d(x),mF(d2(x),…,mF(d4()]=1(),d2(X),…,dk(从 又因为d1(从)d2+1(A),1≤i≤k-1,故 A()=mF(从)=dk(入) 习题 1.对于任意n阶方阵A,求证:A相似于AT 2.求下列矩阵的行列式因子和不变因子,并写出 Frobenius标准形 2-21

D λE − A =   λ − 1 −3 −3 −3 λ − 1 −3 3 3 λ + 5   . - D1(λ) = 1. G D2(λ) = λ + 2. G det(λE − A),  D3(λ) = (λ − 1)(λ + 2)2 . 9 A  . 1   <￾Æ Frobenius ; (1)   4 5 −2 −2 −2 1 −1 −1 1  ; (2)   −2 2 −1 −1 2 −2 −1 −1 −1 −1 −2 2 −1 −1 2 −2  . 5

3.问下列矩阵是否相似 01 4.写出A的 Frobenius标准形 (1)A 0010 011000 01000 110000 (2)A=0002-11 00022-1 00012-1 5.设有理数域Q上的10阶方阵A的不变因子为 1,(-2)2(Ax2+2),(X-2)2(x2+22 写出A的 Frobenius标准形 6.设n阶方阵A有n个不同的特征值.求证A的特征多项式与极小多项式相等,并求A的 Rober 标准形

3.  `U1z0Æ~ (1)  1 0 0 −1  ,  0 1 1 0  ; (2)  1 0 0 1  ,  1 1 0 1  ; (3)  1 0 0 −1  ,  2 0 0 −1 2  . 4.  A  Frobenius ; (1) A =   0 −1 2 0 1 0 −2 0 0 0 1 0 1 1 −2 1   ; (2) A =   0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 1 0 0 0 2 2 −1 0 0 0 1 2 −1   . 5. v&Z}* Q u 10 Q-1 A  < 1, · · · , 1,(λ − 2)2 (λ 2 + 2),(λ − 2)2 (λ 2 + 2)2 .  A  Frobenius ; 6. v n Q-1 A & n 527o3 A 2)y)E)yÆ ￾Æo A  Frobenius ; 6