厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 §8.1欧氏空间,长度,夹角 定义8.1.1设V是实数域R上的线性空间,映射 V×V→称为内积,如果对于任意的 B,∈V,c∈R,都有 )(a,B)=(B,a) (2)(a+B,7)=(a,)+(,); (3)(ca,B)=c(a,B); 4)(a,a)≥0且等号成立的充要条件是a=0. 同时称V为关于内积(_,-)的欧几里得( Euclid)空间简称欧氏空间 例1在实数域上的n维列向量空间R中,对于X=(x1,x2,…,xn),Y=(1,y2,…,)∈ Rn,定义 nyn 易见,(-,-)是一个内积Rn对于以上定义的内积构成欧氏空间 例2在实数域上的n维列向量空间Rn中,对于X=(x 1,2 )∈ Rn,定义 (X,Y)=T1y1 +2 232+.+nIny, 于以上定义的内积也构成欧氏 对于同一个线性空间,对于不同的内积构成不同的欧氏空间.今后如无特别说明,欧氏空间Rn总指对 于例1中的内积构成的欧氏空间 例3设C[a,b是R的闭区间[a,b上连续函数全体构成的线性空间对于f(x),9(x)∈C[a,列,定 (f(a),g(r))=/ f(r)g(r)dr 不难验证这定义了一个内积,在此内积下,Ca,b成为欧氏空间 命题81.1设V对于内积(-,-)的欧氏空间则对于任意的a∈V,a1∈V,a1∈R,1≤i≤m, ∈V,b∈R,1≤j≤n,总有 (1)0,a)=0 (2)C∑a=1a2a,∑=1b6)=∑12=ab(a,月 证明利用内积的定义直接验证 定义8.1.2设V是欧氏空间,a∈V.定义a的长度(或范数)为√a,a),记为la 在欧氏空间中,只有零向量的长度为0.其余向量的长度为正数.对于a∈V,c∈武,总有 lca=cllal
wO~ j7 q IP 59.77.1.116; R gdjpkc.xmu.edu.cn JHR PQOM §8.1 PQOMIKLN )E 8.1.1 V hej R ay|0 b (−, −) : V × V → R r <., ^"℄ α, β, γ ∈ V , c ∈ R, (1) (α, β) = (β, α); (2) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (3) (cα, β) = c(α, β); (4) (α, α) ≥ 0 X% E o3h α = 0. pd V r!U+ (−, −) =/7' (Euclid) 51, 1 =?51. 8 1 eja n sJ{H0 R n X = (x1, x2, · · · , xn) T , Y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ R n, (X, Y ) = XT Y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn 2 (−, −) h U+ R n aU+ Vi0 8 2 eja n sJ{H0 R n X = (x1, x2, · · · , xn) T , Y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ R n, (X, Y ) = x1y1 + 2x2y2 + · · · + nxnyn 2 R n aU+ Vi0 p y|0pU+ pVi0:(^umkQVi0 R n ! D 1 U+ Vi0 8 3 C[a, b] h R Z0 [a, b] aF}$j[n y|0 f(x), g(x) ∈ C[a, b], (f(x), g(x)) = Z b a f(x)g(x)dx. TI U+ U+v C[a, b] rVi0 ;A 8.1.1 V U+ (−, −) Vi0℄ α ∈ V , αi ∈ V , ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, βj ∈ V , bj ∈ R, 1 ≤ j ≤ n, ! (1) (0, α) = 0; (2) (Pm i=1 aiαi , Pn j=1 bjβj) = Pm i=1 Pn j=1 aibj(αi , βj ). G: C U+8 ✷ )E 8.1.2 V hVi0 α ∈ V . α %* (-+) r p (α, α), .r |α|. Vi0 K{Hr 0. W{Hrj α ∈ V , c ∈ R, ! |cα| = |c||α|. 1
长度为1的向量称为单位向量对于任意非零向量a,向是单位向量从a得到单位向量向的过程,称 为将a单位化 例4在欧氏空间Rn中,向量X=(x1,x2,…,xn)的长度是 (,X)=V+呜+…+ 定理911( Cauchy- Schwarz不等式)设V是欧氏空间,对于任意的a,B∈V,总有 (a,B)2≤(a,a)(B,B) 当且仅当a,B线性相关时,等号成立 证明若α=0,则左右两式均等零,等号成立 若a≠0,考虑向量B-a2}a.因为 0≤( ga,Ba,a))=(63,B)-2ge (a,B) 所以 (a,B)2≤(a,a)(B,B) 显然,当且仅当a=0或B-a=0时等式成立.即当且仅当a,线性相关时,等号成立.口 例5对于任意的实数x;,v,1≤i≤n,总有 (x1+x2y2+…+xn)2≤(x2+n2+…+x2)2+2+…+y2) 例6对于f(x),g(x)∈C{a,b,总有 f(x)g(x)dx)2≤ 因为|a,≤ll,所以-1≤故下面对于两个向量的夹角的定义式合理的 定义8.1.3在欧氏空间V中,定义非零向量a,B的夹角由以下式子决定 JalIBI 这样,欧氏空间的任意两个非零向量都有夹角6,0≤6≤丌 定义8.1.4在欧氏空间V中,两个向量a,B称为正交,如果 (a,B) 只有零向量和自己正交.在R中,E1,1≤i≤n,两两正交 命题8.1.2在欧氏空间V中,如果α与每个aa正交,1≤i≤n,则a与a1,a2,……,am的任意 线性组合都正交
r 1 {H r &BD9. ℄ K{H α, α |α| ht{HÆ α t{H α |α| # r4 α&B,. 8 4 Vi0 R n {H X = (x1, x2, · · · , xn) T h p (X, X) = q x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n . )6 9.1.1 (Cauchy-Schwarz $(>) V hVi0℄ α, β ∈ V , ! (α, β) 2 ≤ (α, α)(β, β). X; α, β y|z!d% E G: _ α = 0, # Gg>K% E _ α 6= 0, ?L{H β − (α,β) (α,α) α. r 0 ≤ (β − (α, β) (α, α) α, β − (α, β) (α, α) α) = (β, β) − 2(β, (α, β) (α, α) α) + (α, β) 2 (α, α) 2 (α, α) = (β, β) − (α, β) 2 (α, α) . l (α, β) 2 ≤ (α, α)(β, β). x\X; α = 0 ) β − (α,β) (α,α) α = 0 dg E,X; α, β y|z!d% E ✷ 8 5 ℄ej xi , yi , 1 ≤ i ≤ n, ! (x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn) 2 ≤ (x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n )(y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 n ). 8 6 f(x), g(x) ∈ C[a, b], ! ( Z b a f(x)g(x)dx) 2 ≤ Z b a f(x) 2 dx Z b a g(x) 2 dx. r |(α, β)| ≤ |α||β|, l −1 ≤ (α,β) |α||β| . vPG {H/6g'B )E 8.1.3 Vi0 V K{H α, β 03θ vg = cosθ = (α, β) |α||β| . Vi0℄G K{H /6 θ, 0 ≤ θ ≤ π. )E 8.1.4 Vi0 V G {H α, β r F2, ^" (α, β) = 0. K{H& -5 R n εi , 1 ≤ i ≤ n, GG5 ;A 8.1.2 Vi0 V ^" α N αi 5 1 ≤ i ≤ n, α α1, α2, · · · , αm ℄ y|"'5 2
证明显然 例6在R4中,求一单位向量与a1=(1,1,-1,1)2,a2=(1,-1,-1,1)2,a3=(2,1,1,3)均 正交 解设B=(x1,x2,x3,x4)与a1,a2,a3正交,则有 x1-x2-x3+x 1+x2+x3+3x4=0 解之,得到1=x4,22=0,x3=-4又叶+吗++=1解之,得到z4=土 所以 26 26’√26 习题 1.求证:对于欧氏空间V中的任意向量a,B,有 (1)|a+B2+la (2)(a,B)=a+2-la-B|2 2.(三角不等式)设V是欧氏空间,对于任意的a,B∈V,总有 a+≤lal+|l 3.在R4中,求a,B的夹角 (1)a=(2,1,3,2),B=(1 (2)a=(1,1,1,1),B=(0,1,0.0) 4.在欧氏空间V中,定义两个向量a,B的距离为d(a,B)=la-求证 (1)当a≠B时,d(a,B)>0; (3)d(a,B)≤d(a,)+d(,B) 5.在R4中,求与向量B=(1,-1,-1,1),7=(2,1,1,3)正交的所有向量 6.设51,52,…,5n是n维欧氏空间V的一个基,证明 (1)如果a∈V使得(a 0,1≤i≤m,那么a=0 (2)如果a1,a2∈V使得(a1,a)=(a2,a),1≤i≤n,那么a1=a2
G: x\ ✷ 8 6 R 4 Yt{H α1 = (1, 1, −1, 1)T , α2 = (1, −1, −1, 1)T , α3 = (2, 1, 1, 3)T > 5 4 β = (x1, x2, x3, x4) T α1, α2, α3 5 x1 + x2 − x3 + x4 = 0 x1 − x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0 9 x1 = 4 3 x4, x2 = 0, x3 = − 1 3 x4. Æ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 1, 9 x4 = ± √ 3 26 . x4 = √ 3 26 d x1 = √ 4 26 , x2 = 0, x3 = − √ 1 26 ; x4 = − √ 3 26 d x1 = − √ 4 26 , x2 = 0, x3 = √ 1 26 . l β = ±( 4 √ 26 , 0, − 1 √ 26 , 3 √ 26 ) T . CA 1. YVi0 V ℄{H α, β, (1) |α + β| 2 + |α − β| 2 = 2|α| 2 + 2|β| 2 ; (2) (α, β) = 1 4 |α + β| 2 − 1 4 |α − β| 2 . 2. (`6g) V hVi0℄ α, β ∈ V , ! |α + β| ≤ |α| + |β|. 3. R 4 Y α, β /6 (1) α = (2, 1, 3, 2), β = (1, 2, −2, 1); (2) α = (1, 1, 1, 1), β = (0, 1, 0, 0). 4. Vi0 V G {H α, β 0; (2) d(α, β) = d(β, α); (3) d(α, β) ≤ d(α, γ) + d(γ, β). 5. R 4 Y{H β = (1, −1, −1, 1), γ = (2, 1, 1, 3) 5l {H 6. ξ1, ξ2, · · · , ξn h n sVi0 V *Q (1) ^" α ∈ V f (α, αi) = 0, 1 ≤ i ≤ n, SM α = 0; (2) ^" α1, α2 ∈ V f (α1, αi) = (α2, αi), 1 ≤ i ≤ n, SM α1 = α2. 3