第七章多元函数微分学 多元函数与极限 二多元函数的偏导数 三多元函数的全微分及其应用 四 多元复合函数的微分法 五多元函数的极值
一 多元函数与极限 二 多元函数的偏导数 三 多元函数的全微分及其应用 四 多元复合函数的微分法 五 多元函数的极值
一、 多元函数的概念 一、多元函数 1.实例分析 例1设矩形的边长分别 x和 y,则矩形的面 积S为S=xy. 在此，当x和y每取定一组值时，就有一确定的面 积值S.即S依赖于x和y的变化而变化. 例2具有一定质量的理想气体，其体积为V,压强 为P,热力学温度T之间具有下面依赖关系P= RT (R 是常数) 在这一问题中有三个变量P,V,T,当V和T每取 定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强P
1.实例分析 例 1 设矩形的边长分别 x和 y，则矩形的面 积 S 为 S xy . 在此，当 x和 y每取定一组值时，就有一确定的面 积值S ．即S 依赖于 x和 y的变化而变化． 例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V，压强 为 P，热力学温度 T 之间具有下面依赖关系 V RT P （R 是常数）. 在这一问题中有三个变量 P，V，T，当 V 和 T 每取 定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P．
多元函数的概念 定义1：设在某一过程中有三个变量x,y和，如果对于 变量x,y在其变化范围D内的每一对值(x,y), 按照法则f有唯一确定的值z∈R与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： f:D→R (x,y)->z=f(x,y) 其中x,y称为自变量，z称为因变量，D为定义域。 D中任一对数(x,y)在法则f下的对应值z,称为f 在点(x,y)的函数值，记作z=f(x,y)
定义1 ：设在某一过程中有三个变量 x , y 和 z，如果对于 变量 x , y 在其变化范围 D 内的每一对值 ( x , y )， 按照法则 f 有唯一确定的值 z ∈R 与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： 其中 x ，y 称为自变量，z 称为因变量， D为定义域。 D中任一对数 ( x , y )在法则 f 下的对应值 z ，称为 f 在 点( x , y )的函数值，记作 z = f ( x , y ) 。 ( , ) ( , ) : x y z f x y f D R 多元函数的概念
函数f的函数值的全体 f(D)=z=f(x,y),(x,y)ED 称为函数f的值域。 函数的两个要素：定义域，对应法则
函数 f 的函数值的全体 称为函数 f 的值域。 f ( D ) z z f ( x , y ), ( x , y ) D 函数的两个要素:定义域，对应法则
二元函数的几何意义 设=fx,y)的定义域是平面区域D, 按二元函数定义，V(k,y)∈D.可以唯一确定实 数z,从而确定了空间一个点M(心，y,)
设 z = f (x, y) 的定义域是平面区域 D . 按二元函数定义, (x, y)D. 可以唯一确定实 数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z)
当c,y)在D中变动时，点M(k,y,z)在空间 中变动，当x,y取遍D中一切点时，M(c,y,)在 三维空间中"织"出一片曲面 即，二元函数表示空间中一片曲面，D是该 曲面在xy面上的投影区域
当(x , y) 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间 中变动,当 (x , y)取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在 三维空间中"织"出一片曲面. 即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该 曲面在 x y 面上的投影区域
Z 意c-●。● M(x,y,2) 0 y X X D
X D M (x, y, z) y x z o
=f(x,y) 0 y 二元函数的图形通常是一张曲面
二元函数的图形通常是一张曲面
例如，z=sinxy 图形如右图. 例如，x2+y2+z2=a2 左图球面. D=x,y)x2+y2≤a23 单值分支：z=V2-x2-y2 z=-2-x2-
z sin xy 例如, 图形如右图. 2 2 2 2 x y z a 例如, 左图球面. {( , ) }. 2 2 2 D x y x y a 2 2 2 z a x y . 2 2 2 z a x y 单值分支: x y z o
与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集 例1求fx,y)= arcsin(3-x2-y2) 的定义域 Vx-y2 解 3-x2-2≤1 x-y2>0 2≤x2+y2≤4 → x>y2 所求定义域为 D={(x,y)川2≤x2+y2≤4，x>y2)
与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. 例1 求 的定义域． 2 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y x y f x y 解 0 3 1 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 4 x y x y 所求定义域为 {( , )| 2 4, }. 2 2 2 D x y x y x y