上海中医药大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程

第六章 微分方程 已知y'=f(x),求y一积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程，求y 一微分方程问题

微分方程 已知 y   f (x), 求 y — 积分问题 已知含 y及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题 推广

61微分方程的基本橇念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 QoDo⑧

6.1 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题

6.1.1引出微分方程的两个实例 引例1.一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解：设所求曲线方程为y=(x),则有如下关系式： y =2x yx1=2 由①得y=∫2xdx=x2+C (C为任意常数) 由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1

一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d  ①  y  2x dx  x  C 2 (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y  x  2 y x1 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 6.1.1 引出微分方程的两个实例

引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 获得加速度α=-0.4m/s2,求制动后列车的运动规律 解：设列车在制动后t秒行驶了s米，即求s=s() 2 =-0.4 已知 ds 1=0=0 dt=0=20 由前一式两次积分，可得 s=-0.2t2+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 因此所求运动规律为 s=-0.2t2+20t 说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住，以及制动后行驶了多少路程

20 m s的速度行驶, 制动时 获得加速度 0.4 m s , 2 a   求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0.4 d d 2 2   t s 0 , s t0  20 d 0 d  t t  s 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s   0.2 t  C t  C 利用后两式可得 20, 0 C1  C2  因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2    说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.1.2微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶 般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,.,y()=O 或ym)=f(x,y,y,,ym-)(n阶显式微分方程)

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( )   n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( 1)   n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的解一使方程成为恒等式的函数， 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线。 初始条件一确定通解中任意常数的条件. n阶方程的初始条件（或初值条件）： xo)=,y(xo)=6,,y-》(x)=%m-D 引例1 出=2x =-0.4 引例2 dx yx=1=2 10=0,0=20 通解：y=x2+C s=-0.2t2+Ct+C2 特解：y=x2+1 s=-0.2t2+20t

0 , s t0  20 d 0 d  t t 引例 s 2 0.4 2 2 d d   x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( )        n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d  2 y x1 引例1 y  x  C 2 1 2 2 通解: s  0.2t  C t  C s 0.2t 20t 2 1    2 特解: y  x  微分方程的解 — 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证函数x=C1 coskt-+C2 sinkt(C1,C2为常数) 是微分方程 d-x 产+k己x=0的解，并求满足初始条件 x0=A,d1=0=0的特解 d x 解 d =-Cik2 coskt -C2k2 sin kt =-k2(C sinkt+C2 coskt)=-k2x 这说明x=C coskt+C2 sin kt是方程的解 C,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt

是微分方程 x C cos k t C sin k t  1  2 2 2 d d t x 的解, , x t0  A 0 d 0 d  t t  x 的特解 . 解: 2 2 d d t x C k sin kt 2  2 ( sin cos ) 1 2 2  k C kt  C kt k x 2   这说明 x C cos k t C sin k t  1  2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 1 2 C ,C ( , ) C1 C2为常数 C k cos kt 2   1 0 2  k x  利用初始条件易得: , C1  A 故所求特解为 x  Acos k t 0 , C2  故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知曲线上点RX,)处的法线与X轴交点为Q 且线段PQ被y轴平分，求所满足的微分方程 解：如图所示，点P(x,y)处的法线方程为 Y-y=-1(x-) 令Y=0,得Q点的横坐标 X=x+yy ∴.x+yy'=-x,即yy'+2x=0 xx

求所满足的微分方程 . P Q x y o x 解: 如图所示, Y  y  y   1 (X  x) 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 X  x  y y   x  yy   x , 即 y y   2x  0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分

6,2常见微分方程的解法 6.2.1可分离变量微分方程 可分离变量方程 =f(x)g(y) dx M(x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 转化 解分离变量方程 6908R

转化 6.2.1 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程 可分离变量方程 ( ) d ( ) 0 M1 x M ( y) x  N1 x N ( y)dy  2 2 f (x)g( y) dx dy  f x dx g y dy ( ) ( ) 

分离变量方程的解法： 在8g01 分离变量： 岛a 两边积分：-/ek Qe日Do⑧

机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x)g( y) dx dy  f x dx g y dy ( ) ( )     f x dx g y dy ( ) ( )