第三讲中国古代数学(2) -宋元数学的辉煌成就
《射雕英雄传》 第二十九回黑沼隐女 只见长桌上七盏油灯 排成天罡北斗之形，地 下蹲着一个头发花白的 女子，凝目瞧着地下一 根根的无数竹片，显然 正自潜心思索，虽听得 见有人进来，却不抬头
黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地上那些 竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计 数用的算子。再看那些算子排成商、实、 法、借算四行，暗点算子数目，知她在 计算五万五千二百二十五的平方根，这 时“商”位上己计算到二百三十，但见 那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。 黄蓉脱口道：五！二百三十五！ V55225=235
55225 235
郭靖扶着黄蓉跟着进去，只见那内室墙壁围成 圆形，地下满铺细沙，沙上画着许多横直符号和圆 圈，又写着些“太”、“天元”、“地元”、“人 元”、“物元”等字。郭靖看得不知所云，生怕落 足踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。 ■ 黄蓉自幼受父亲教导，颇精历数之术，见到地上符 字，知道尽是些术数中的的难题，那是算经中的 天元之术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法， 也无甚难处（按：即今日代数中多元多次方程式， 我国古代算经中早记其法，天、地、人、物四字即 西方代数中X、Y、Z、W四未知数)。黄蓉从腰间抽 出竹棒，倚在郭靖身上，随想随在沙上书写，片刻 之间，将沙上所列的七八道算题尽数解开
这些算题那女子苦思数月，未得其解，至 此不由得惊讶异常，呆了半响，忽问： “你是人吗？” 黄蓉微微一笑，道：“天 元四元之术，何足道哉？算经中共有一十 九元，‘人’之上是仙、明、霄、汉、垒、 层、高、上、天，‘人’之下是地、下、 低、减、落、逝、泉、暗、鬼。算到第十 九元，方才有点不易罢啦！
问题 ■什么是“天元之术”？ “算经中共有一十九元”吗？ “天地人物”是西方代数学的未知数吗？ 你相信黄蓉能在片刻之间将算经中的七八 道题“尽数解开”？
宋元数学的辉煌成就 北宋 刘益《议古根源》（佚） 贾宪《黄帝九章细草》 南宋 秦九绍《数书九章》(1247) 杨辉《详解九章算法》 (1261) 《乘除通变本末》 (1274) 《续古摘奇算法》 (1275) 《田亩比类乘除捷法》 (1275) 金元 李治《测圆海镜》 (1248) 朱世杰《四元玉鉴》 (1303)
·增乘开方法一高次方程的数值解法 ■大衍总数术一一次同余式组解法 ·天元术、四元术一半符号代数 ■垛积术、招差术一高阶等差级数 所有这一切，丰富了宋元数学的新思想、新 方法，在西方世界仍处于中世纪的黑暗之 中的时候，宋元数学“保持了一个西方所 望尘莫及的科学知识的水平”(G Sarton)
1高次方程的数值解法 開方術曰：置積為實。借一算步之，超 等。議所得，以一乘所借一算為法，而以 除。除已，倍法為定法。其復除，折法而 下。復置借算步之如初，以復議一乘之， 所得副，以加定法，以除。 以所得副從定 法。復除折下如前 《九章算术》 ■注意：“復置借算步之如初”-从头再来！
置积234567为实。次借一算为下法。步之超一位， 至百而止。商置400于实之上，副置40000于实之 下，下法之上，名为方法。命上商400除实。除讫， 倍方法，方法一退，下法再退。复置上商80，以次 前商。副置800于方法之下，下法之上，名曰廉法。 方、廉各命上商80，以除实。除讫，倍廉法上从方 法。方法一退，下法再退。复置上商4，以次前， 副置4于方法之下，下法之上，名曰隅法。方、廉、 隅各命上商4，以除实。除讫，倍隅法从方法。上 商得484，下法的968，不尽311.是为方484311/968步 《孙子算经》 ■注意：“方法一退，下法再退”一退位开方