图论第三章：树 刘胜利 liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel:34204405 密码与信息安全实验室 计算机科学与工程系 上海交通大学 刘胜利《上海交大·CS实验室) 图论第三章：树 1/1
ãØ✶♥Ù:ä ✹➅⑤ liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel: 34204405 ➋è❺✫❊❙✜➣✟➾ ❖➂➴❽➷❺ó➜❳ þ➦✂Ï➀➷ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 1 / 1
第三章内容 ·3.1树的有关定义： 。3.6 Hufiman树： 。37最短树： 口104元14？2月Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 21
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第三章内容 ·3.1树的有关定义： ●3.6 Huffman树： 。37最短树： 口104元14？2月Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 21
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第三章内容 ·3.1树的有关定义： ●3.6 Huffman树： 。3.7最短树： 口104元14？2月Q0 刘胜利（上海交大-CS实验室到 图论第三章：树 211
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树的有关定义 给定一个图G=(V,E),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.11：一个不含任何初级回路”的连通图称为树，用T表示，7中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶 定义3.12：设：是G的一条边，若G”=G-比G的连通支数增加一个， 则称是G的一条到边 显处，国G别去到边：三之后，结点让分层于不同的分支 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 3/1
ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 1
树的有关定义 给定一个图G=(V,E),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个不含任何“初级回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶. 定义3.12：设：是G的一条边，若G”=G-比G的连通支数增加一个， 则称是G的一条到边 显然，图G删去到边=出.之后，结点，y分属于不同的分支 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 3/1
ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 1
树的有关定义 给定一个图G=(VE),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个不含任何“初级回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶. 定义3.1.2：设e是G的一条边，若G=G-e比G的连通支数增加一个， 则称e是G的一条割边。 显然，图G删去到边：=丝.之后，结点，y分属于不同的分支 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 3/1
ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 1
树的有关定义 给定一个图G=(VE),如果它论含任何“初任回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个论含任何“初任回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶. 定义3.1.2：设e是G的一条边，若G=G-e比G的连通支数增加一个， 则称e是G的一条割边。 显然，图G删去割边e=(u,)之后，结点，v分属于论同的分支。 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 311
ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 1
割边的性质 定理3.1.1：e=(u,)是割边，当且仅当e不属于G的级何“初级回路”。 必要性一：：=（山，是割边一：不属于G的级何初级回路。反证法 若：=以，)属于G的某个初级回路，则G”=G一中仍存 在到的初级道路，故结点和属于同一连通支，不是 副边 充分性=：不漏于G的级何“初级回路”一=(“，是割边。反证法 若不是割边，则G=G一：与G的连通支数一样于 是：和仍属于同一连通支。故G中存在初级道 路P(4.),Pu.)+就是G的一个“初级回路 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 4/1
⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 1
割边的性质 定理3.1.1：e=(u,)是割边，当且仅当e不属于G的任何“初级回路”。 必要性=：e=(u,v)是割边→e不属于G的任何“初级回路”。反证法。 若e=(u,v)属于G的某个“初级回路”，则G=G-e中仍存 在u到v的“初级道路”，故结点和v属于同一连通支，e不是 割边。 充分性=：：不漏于G的任何“初级回路”一=“，是割边。反证法 若不是割边，则G=G一：与G的连通支数一样于 是：和仍属于同一连通支。故G中存在初级道 路P(4,),Pu,)+e就是G的一个“初级回路 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 41
⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 1