等值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-前京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作业 0000 000 0 000000000 离散数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 刘胜利 liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel:34204405 密码与信息安全实验室 计算机科学与工程系 上海交通大学 刘胜利（上海交大-CS实验室） 鹰敬数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 1126
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ ✹➅⑤ liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel: 34204405 ➋è❺✫❊❙✜➣✟➾ ❖➂➴❽➷❺ó➜❳ þ➦✂Ï➀➷ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 1 / 26
竿值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-前京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作型 0000 000 000000000 等值式 ●如果两个谓词公式A和B在任一解释下都有相同的真值，称它们 是等值的： 。A和B停值当且仅当A一是普遍有效的公式，记作A=B或A一 B 刘胜利（上海交大-CS实验室） 鹰数数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 2/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ✤❾➟ ❳❏ü❻➣❝ú➟AÚB✸❄➌✮➸❡Ñ❦❷Ó✛ý❾➜→➜❶ ➫✤❾✛➯ AÚB✤❾✟❹❂✟A ↔ B➫✃❍❦✟✛ú➟➜P❾A = B➼A ⇔ B✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 26
竿值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-前京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作型 0000 000 000000000 等值式 ●如果两个谓词公式A和B在任一解释下都有相同的真值，称它们 是等值的： ●A和B等值当且仅当A一B是普遍有效的公式，记作A=B或A台 B。 刘胜利（上海交大-CS实验室） 鹰数数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 2/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ✤❾➟ ❳❏ü❻➣❝ú➟AÚB✸❄➌✮➸❡Ñ❦❷Ó✛ý❾➜→➜❶ ➫✤❾✛➯ AÚB✤❾✟❹❂✟A ↔ B➫✃❍❦✟✛ú➟➜P❾A = B➼A ⇔ B✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 26
等值式 香定型等值式 量词分配答值式范式-前束范式及Skom标准形 基本的推理公式 推理演算 作业 ●000 000 0 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●-P(x)=P(x) --(VJP)=0x)P( 0Px-→O)=-P(x)VOC P9一日=YP0V国0 O IPLA OLUIIV ROT-UPLOV RCAIOCOVRLCI (PCOA OIY VFIRG =P已RA13 刘胜利（上海交大-CS实验室） 高敬数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-菲京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作型 ●000 000 0 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●P(x)=P(x) ●(Hx)P(x)=Hx)Px) 0Px-→O)=-P(x)VOC o4)P(x)一日Ox=-x)P()V)Qx O IPLA OLUIIV ROT-UPLOV RCAIOCOVRLCI (PCOA OIY VFIRG =P已RA13 刘肚利（上海交大C1S实当） 离放数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-前京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作亚 ●000 000 0 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●P(x)=P(x) ●(Hx)P(x)=Hx)Px) ●P(x)→Q(x)=P(x)VQ(x) 9P(x)一EOx=一rP(x)VTOx (PC)A OC)V RC)=(PCVR()A(O(X)V RC)) 0 =P已RA13 刘胜利（上海交大-CS实验室） 离放数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-菲京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作型 ●000 000 0 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●P(x)=P(x) ●(Hx)P(x)=Hx)Px) ●P(x)→Q(x)=P(x)VQ(x) ●(Hx)P(x)→(3x)Q(x)=(Hx)Px)V(3x)Q(x) (PC)AOC)VRC)=(PCVR()A(O(X)V RC)) ●XP(X)AO)VR2 =((X)PLX)V R())A (OO)V CR()) 刘胜利（上海交大-CS实验室） 高敬数学第五章；谒词逻辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 否定型等值式 量词分配等值式 范式-菲京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 1但 ●000 000 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●P(x)=P(x) ●(Hx)P(x)=Hx)Px) ●P(x)→Q(x)=P(x)VQ(x) ●(Hx)P(x)→(3x)Q(x)=(Hx)Px)V(3x)Q(x) (P(x)A(x))V R(x)=(P(x)V R(x))A((x)VR(x)) ●XP(X)AO)VR2 =PV日RE)A(O0Va)R@) 刘胜利（上海交大-CS实验室） 鹰微数学第五章：谓词爱辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 否定型等值式 量词分配答值式 范式-菲京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作亚 ●000 000 000000000 由命题公式移植来的等值式 ●P(x)=P(x) ●(Hx)P(x)=Hx)Px) ●P(x)→Q(x)=P(x)VQ(x) ●(Hx)P(x)→(3x)Q(x)=(Hx)Px)V(3x)Q(x) (P(x)A (x))VR(x)=(P(x)VR(x))A(Q(x)V R(x)) ((x)P(x)A (y))V(Z)R(z) =((Vx)P(x)V (R()A((y)V R() 刘胜利（上海交大-CS实验室） 高敬数学第五章：谓词逻辑的等值和推理演算 3/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ❞➲❑ú➟↔❻✺✛✤❾➟ ¬¬P(x) = P(x) ¬¬(∀x)P(x) = (∀x)P(x) P(x) → Q(x) = ¬P(x) ∨ Q(x) (∀x)P(x) → (∃x)Q(x) = ¬(∀x)P(x) ∨ (∃x)Q(x) (P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x) = (P(x) ∨ R(x)) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ((∀x)P(x) ∧ Q(y)) ∨ (∃z)R(z) = ((∀x)P(x) ∨ (∃z)R(z)) ∧ (Q(y) ∨ (∃z)R(z)) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 26
等值式 香定型等值式 量词分配答值式 范式-前京范式及Skolem标准形 基本的推理公式 推理演算 作亚 0●00 000 000000000 否定型等值式 否定词“一"可越过量词深入到量词的辖域内，但要把所越过的量词转换 为3,3转换为1。 0一YTP1三P) )PC=CPC 。在12减上分折 =2=一2= 三四P22P 刘胜利（上海交大-CS实验室） 鹰数数学第五章：谓词泛辑的等值和推理演算 4/26
✤❾➟ ➘➼✳✤❾➟ þ❝➞✛✤❾➟ ❽➟–❝å❽➟✾Skolem■❖✴ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ❾➆ ➘➼✳✤❾➟ ➘➼❝“¬”➀✖▲þ❝✢❭✔þ❝✛❵➁❙➜✂❻r↕✖▲✛þ❝∀❂❺ ➃∃➜∃❂❺➃∀✧ ¬(∀x)P(x) = (∃x)¬P(x) ¬(∃x)P(x) = (∀x)¬P(x) ✸{1, 2}➁þ➞Û ¬(∀x)P(x) = ¬(P(1) ∧ P(2)) = ¬P(1) ∨ ¬P(2) = (∃x)¬P(x) ¬(∃x)P(x) = ¬(P(1) ∨ P(2)) = ¬P(1) ∧ ¬P(2) = (∀x)¬P(x) ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✃Ù➭➣❝Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 4 / 26