第二盒：题逻辑的竿值和推理演算21等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 离散数学第二章：命题逻辑的等值和推理演算 刘胜利 liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel:34204405 密码与信息安全实验室 计算机科学与工程系 上海交通大学 刘肚利（上海变大CS实监室） 鹰数数学第二章：题逻辑的等值和推理演算 1/66
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ ✹➅⑤ liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel: 34204405 ➋è❺✫❊❙✜➣✟➾ ❖➂➴❽➷❺ó➜❳ þ➦✂Ï➀➷ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 1 / 66
第二章：题透辑的竿值和推理演算21等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 命题逻辑的等值和推理演算 。推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 。推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 。重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式 。本量对命值和框理演身进行订论，是以语以的观点进行的非形 式的运，不仅直观坦容易理解，地便于实际间面的齿描还和推 严格的形分式化的时论现第三雪所建业的公连系玩 刘胜利（上海交大CS实验室） 鹰数数学第二章：避逻辑的等值和推理演算 2/66
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ í♥✴➟Úí♥ü➂➫ê♥Ü✻ï➘✛➘✢❙◆ í♥▲➜➫❧❝❏Ñ✉➜❾â↕✺➼✛✺❑✺í✓Ñ✭Ø✛▲➜ ➢ó➟➫➢❻✛Ü✻✺➷➜✔✭✛í♥✴➟➜✤❾➟Ñ➫➢ó➟ ✢Ùé➲❑✤❾Úí♥ü➂❄✶❄Ø➜➫➧❾➶✛✯✿❄✶✛➎✴ ➟✛↔ã➜Ø❂❺✯❹◆➫♥✮➜➃❇✉➣❙➥❑✛Ü✻↔ãÚí ♥✧ î❶✛✴➟③✛❄Ø❸✶♥Ù↕ïá✛ú♥❳Ú✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 66
第二章：题透辑的竿值和推理演算21等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 命题逻辑的等值和推理演算 。推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 ●推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 。重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式 。本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形 式的描述，不仅直观豆容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推 理 严格的形分式化的时论现第三雪所建业的公理系统 刘肚利（上海交大CS实验室） 鹰数数学第二章：题逻辑的等值和推理演算 2166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ í♥✴➟Úí♥ü➂➫ê♥Ü✻ï➘✛➘✢❙◆ í♥▲➜➫❧❝❏Ñ✉➜❾â↕✺➼✛✺❑✺í✓Ñ✭Ø✛▲➜ ➢ó➟➫➢❻✛Ü✻✺➷➜✔✭✛í♥✴➟➜✤❾➟Ñ➫➢ó➟ ✢Ùé➲❑✤❾Úí♥ü➂❄✶❄Ø➜➫➧❾➶✛✯✿❄✶✛➎✴ ➟✛↔ã➜Ø❂❺✯❹◆➫♥✮➜➃❇✉➣❙➥❑✛Ü✻↔ãÚí ♥✧ î❶✛✴➟③✛❄Ø❸✶♥Ù↕ïá✛ú♥❳Ú✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 66
第二章：题透辑的等值和推理演算21值定理221基本的悴值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词 命题逻辑的等值和推理演算 。推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 ●推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 ·重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式 。本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形 式的描述，不仅直观豆容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推 理 。严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统 刘胜利（上海交大CS实验室） 鹰数数学第二章：避逻辑的等值和推理演算 2166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ í♥✴➟Úí♥ü➂➫ê♥Ü✻ï➘✛➘✢❙◆ í♥▲➜➫❧❝❏Ñ✉➜❾â↕✺➼✛✺❑✺í✓Ñ✭Ø✛▲➜ ➢ó➟➫➢❻✛Ü✻✺➷➜✔✭✛í♥✴➟➜✤❾➟Ñ➫➢ó➟ ✢Ùé➲❑✤❾Úí♥ü➂❄✶❄Ø➜➫➧❾➶✛✯✿❄✶✛➎✴ ➟✛↔ã➜Ø❂❺✯❹◆➫♥✮➜➃❇✉➣❙➥❑✛Ü✻↔ãÚí ♥✧ î❶✛✴➟③✛❄Ø❸✶♥Ù↕ïá✛ú♥❳Ú✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 66
第二章：题透辑的竿值和推理演算21等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 命题逻辑的等值和推理演算 。推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 ●推理过程是从前提出发，值据所规定的规则来推导出结论的过程 ●重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等根式都是重言式 。本章对命题等根和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形 式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推 理。 。严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统 刘胜利（上海交大CS实验室） 鹰数数学第二章：题逻辑的等值和推理演算 2166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ í♥✴➟Úí♥ü➂➫ê♥Ü✻ï➘✛➘✢❙◆ í♥▲➜➫❧❝❏Ñ✉➜❾â↕✺➼✛✺❑✺í✓Ñ✭Ø✛▲➜ ➢ó➟➫➢❻✛Ü✻✺➷➜✔✭✛í♥✴➟➜✤❾➟Ñ➫➢ó➟ ✢Ùé➲❑✤❾Úí♥ü➂❄✶❄Ø➜➫➧❾➶✛✯✿❄✶✛➎✴ ➟✛↔ã➜Ø❂❺✯❹◆➫♥✮➜➃❇✉➣❙➥❑✛Ü✻↔ãÚí ♥✧ î❶✛✴➟③✛❄Ø❸✶♥Ù↕ïá✛ú♥❳Ú✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 66
第二章：题透辑的竿值和推理演算21等值定理221基本的等值公式22.2若干常用的等值公式223换规题2.4联骑 命题逻辑的等值和推理演算 。推理形式和推理演算易数理逻辑研究的基本内容 ●推理过程易从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 ●重言式易重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都易重言式 。本章对命题等值和推理演算进行讨论，易以语义的观点进行的非形 式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推 理。 ●严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。 刘肚利（上海交大CS实验室） 鹰数数学第二章：避逻辑的等值和推理演算 2166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ í♥✴➟Úí♥ü➂➫ê♥Ü✻ï➘✛➘✢❙◆ í♥▲➜➫❧❝❏Ñ✉➜❾â↕✺➼✛✺❑✺í✓Ñ✭Ø✛▲➜ ➢ó➟➫➢❻✛Ü✻✺➷➜✔✭✛í♥✴➟➜✤❾➟Ñ➫➢ó➟ ✢Ùé➲❑✤❾Úí♥ü➂❄✶❄Ø➜➫➧❾➶✛✯✿❄✶✛➎✴ ➟✛↔ã➜Ø❂❺✯❹◆➫♥✮➜➃❇✉➣❙➥❑✛Ü✻↔ãÚí ♥✧ î❶✛✴➟③✛❄Ø❸✶♥Ù↕ïá✛ú♥❳Ú✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2 / 66
第二盒：题逻辑的竿值和推理演算2.1等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 等值定理 ●给定两个命题公式A和B,而P1,P2,·,Pn是出现于A和B中的所有命 题变项，那么公式A和B共有2"个解释，若对其中的任一解释，公 式A和B的真值都相等，就称A和B是等值的（或等价的）。记 作A=B或A台B。 。等值定理对于公式A和B,A=B的充要条件是A一B是重言式 。根据真值表可以判明任何两个公式是否是等值的 刘肚利（上海变大CS实监室） 鹰数数学第二章：命避逻辑的等值和推理演算 3166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ✤❾➼♥ ❽➼ü❻➲❑ú➟AÚB, ✌P1, P2, · · · , Pn➫Ñ②✉AÚB➙✛↕❦➲ ❑❈➅, ❅♦ú➟AÚB✁❦2 n❻✮➸, ❡éÙ➙✛❄➌✮➸, ú ➟AÚB✛ý❾Ñ❷✤, Ò→AÚB➫✤❾✛(➼✤❞✛)✧P ❾A = B➼A ⇔ B✧ ✤❾➼♥ é✉ú➟AÚB➜A = B✛➾❻❫❻➫A ↔ B➫➢ó➟✧ ❾âý❾▲➀➧✞➨❄Ûü❻ú➟➫➘➫✤❾✛✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 66
第二盒：题逻辑的等值和推理演算2.1等值定理221基本的等值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词6 等值定理 ●给定两个命题公式A和B,而P1,P2,·,Pn是出现发A和B中的所有命 题变项，那么公式A和B共有2"个解释，若对其中的任一解释，公 式A和B的真值都相等，就称A和B是等值的（或等价的）。记 作A=B或A台B。 。等值定理对发公式A和B,A=B的充要条件是A一B是重言式。 ·语据真值表可以判明任何两个公式是否是等值的。 刘肚利（上海变大CS实监室） 鹰数数学第二章：命题逻辑的等值和推理演算 3166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ✤❾➼♥ ❽➼ü❻➲❑ú➟AÚB, ✌P1, P2, · · · , Pn➫Ñ②✉AÚB➙✛↕❦➲ ❑❈➅, ❅♦ú➟AÚB✁❦2 n❻✮➸, ❡éÙ➙✛❄➌✮➸, ú ➟AÚB✛ý❾Ñ❷✤, Ò→AÚB➫✤❾✛(➼✤❞✛)✧P ❾A = B➼A ⇔ B✧ ✤❾➼♥ é✉ú➟AÚB➜A = B✛➾❻❫❻➫A ↔ B➫➢ó➟✧ ❾âý❾▲➀➧✞➨❄Ûü❻ú➟➫➘➫✤❾✛✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 66
第二章：题逻辑的等香推理演算2.1等岸理221基本的等台式222若干常用的等台式223置换规则2.4联结词6 等值定理 ●给定两要命题公式A和B,而P1,P2,·,Pn是出现于A和B中的所有命 题变项，那么公式A和B共有2”要解释，若对其中的任一解释，公 式A和B的真值都相等，就称A和B是等值的（或等价的）。记 作A=B或A台B。 。等值定理对于公式A和B,A=B的充要条件是AB是重言式。 ·根据真值表可以判明任何两要公式是否是等值的。 刘肚利（上海变大CS实监室） 鹰敬数学第二章：哑逻辑的等春推理演算 3166
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ✤❾➼♥ ❽➼ü❻➲❑ú➟AÚB, ✌P1, P2, · · · , Pn➫Ñ②✉AÚB➙✛↕❦➲ ❑❈➅, ❅♦ú➟AÚB✁❦2 n❻✮➸, ❡éÙ➙✛❄➌✮➸, ú ➟AÚB✛ý❾Ñ❷✤, Ò→AÚB➫✤❾✛(➼✤❞✛)✧P ❾A = B➼A ⇔ B✧ ✤❾➼♥ é✉ú➟AÚB➜A = B✛➾❻❫❻➫A ↔ B➫➢ó➟✧ ❾âý❾▲➀➧✞➨❄Ûü❻ú➟➫➘➫✤❾✛✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 3 / 66
第二章：题逻辑的等值和推理演算2.1等值定理221基本的悴值公式222若干常用的等值公式223置换规则2.4联结词 公式等值的判定 例如：P→Q=PVQ. 例1：证明(PAP)VQ=Q 证明：列出左式和右式的真值表即得 PA-P (PA-P)VO 0 0 0 0 0 0 1 0 刘肚利（上海变大CS实监室） 高数数学第二章：题逻辑的等值和推理演算 4/66
✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 2.1 ✤❾➼♥ 2.2.1 ➘✢✛✤❾ú➟ 2.2.2 ❡❩⑦❫✛✤❾ú➟ 2.2.3 ➌❺✺❑ 2.4 é✭❝✛✑✗✽ 2.4.2 é✭❝✛✑✗✽ 2.5 éó➟ 2.6 ❽➟❺❒❽➟ 2.6.2 ❒❽➟↔❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟↕ ✹➀➅❺❒Ü✒❽➟ ❒❽➟✛❆❫ ❒Û✒❽➟Ú❒Ü✒❽➟♠✛❷♣❂❺ í♥✴➟ ➘✢✛í♥ú➟ í♥ü➂ ✽✭í♥④ ❾➆ Logic Puzzles ú➟✤❾✛✞➼ ⑦❳➭P → Q = ¬P ∨ Q✧ ⑦1➭②➨(P ∧ ¬P) ∨ Q = Q ②➨➭✎Ñ❺➟Ú♠➟✛ý❾▲❂✚✧ P Q P ∧ ¬P (P ∧ ¬P) ∨ Q 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ❧Ñê➷✶✓Ù➭➲❑Ü✻✛✤❾Úí♥ü➂ 4 / 66