观阴阳之割裂，总算术之根源。 5080309131陈杭 浅论刘徽的极限思想 东方古代数学之神刘徽
东方古代数学之神 刘徽 观阴阳之割裂，总算术之根源。 浅论刘徽的极限思想 5080309131陈杭
刘徽其人其事： 9 刘徽（约225-约295）， 是中国数学史上一个非常伟大的数学象1绝的杰 《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷 方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的 方式来论证数学命题的人.刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然 地位低下，但人格高尚.他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人 他给我们中华民族留下了宝贵的财富。 刘徽的个人成就： 一：清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算， 以及繁分数化简等的运算法则：在开方术的注释中，他从开方不尽的意义 出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼 近无理根的方法。 ②在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、 齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还 用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的 增广矩阵
刘徽其人其事： 刘徽（约225-约295），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作 《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷， 方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的 方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然 地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人， 他给我们中华民族留下了宝贵的财富。 刘徽的个人成就： 一：清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算， 以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义 出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼 近无理根的方法。 ②在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、 齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还 用“率”来定义中国古代数学中的“方程” ，即现代数学中线性方程组的 增广矩阵
③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，心 立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直 之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的 极限方法提出了刘微原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问 题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 二：在继承的基础上提出了自己的创见。 ①割圆术与圆周率他在《九章算术-圆田术》注中，用割圆术证明了圆面 积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始 割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到T=157/50=3.14,又算到 3072边形的面积，得到T=3927/1250=3.1416,称为“徽率”。 ②刘徽原理在《九章算术-阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥 体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说在《九章算术-开立圆术》注中，他指出了球体积公式 V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模 型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术在《九章算术-方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法 运用了比率算法的思想。 ⑤重差术在白撰《海岛算经》中，他提出了重 差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方 法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧 洲在15~16世纪才开始研究两次测望的问题
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建 立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直” 之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的 极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问 题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 二： 在继承的基础上提出了自己的创见。 ①割圆术与圆周率 他在《九章算术-圆田术》注中，用割圆术证明了圆面 积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始 割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到 3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。 ②刘徽原理 在《九章算术-阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥 体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说 在《九章算术-开立圆术》注中，他指出了球体积公式 V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模 型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术 在《九章算术-方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法， 运用了比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重 差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方 法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧 洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题
历史地位 刘徽对于中国古代数学的贡献是无与伦比的。 他赋予了中国古代数学以全面性、客观真理性 逻辑性等一个理论体系所必须具备的几项要素 开辟了中国古代数学理论化的道路，从而成为中 国传统数学理论的奠基人。 刘徽是数学史上的一位伟人，是当之无愧的 世界数学泰斗。有人认为，在刘徽的时代，很难 在世界范围内找到一位能够与他相比的数学家。 刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生 了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高 的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书 上把他称作“中国数学史上的牛顿
历史地位 • 刘徽对于中国古代数学的贡献是无与伦比的。 他赋予了中国古代数学以全面性、客观真理性、 逻辑性等一个理论体系所必须具备的几项要素， 开辟了中国古代数学理论化的道路，从而成为中 国传统数学理论的奠基人。 • 刘徽是数学史上的一位伟人，是当之无愧的 世界数学泰斗。有人认为，在刘徽的时代，很难 在世界范围内找到一位能够与他相比的数学家。 • 刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生 了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高 的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书 上把他称作“中国数学史上的牛顿”
刘徽的极限思想 在求球体积的过程中，创造性的应用了“微元”的方法， 是微积分思想的萌芽； 利用“割补法”求出了等腰三角形及直角梯形的面积： 利用“弧田术”求弓形的面积，得到了一个无穷级数； 他精辟地研究了开方不尽数，并用首创的十进分数（小数 的前身)来表示无理数的立方根，向着无理数的认识迈出 重要的一步 刘徽直接用到无限过程的只有阳 马术注和割圆术
刘徽的极限思想： 在求球体积的过程中，创造性的应用了“微元”的方法, 是微积分思想的萌芽； 利用“割补法”求出了等腰三角形及直角梯形的面积； 利用“弧田术”求弓形的面积，得到了一个无穷级数； 他精辟地研究了开方不尽数，并用首创的十进分数(小数 的前身)来表示无理数的立方根，向着无理数的认识迈出了 重要的一步. 刘徽直接用到无限过程的只有阳 马术注和割圆术
阳马术注 刘微在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得 的直三棱柱)中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥 和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2 比1的定理（吴文俊称之为刘微原理）时，采取这样的步骤 堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三 歌不是 其余弥细，至细口微，微则无形，由是言之，安取余哉？ 无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东 西，它刘徽认为可以舍弃不要了！
阳马术注 • 刘徽在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得 的直三棱柱）中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥） 和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2 比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤 ： 首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑 堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中 阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四 分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原 堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分 割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这 四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2 比1，这个过程可以不断地进行下去，他说“半之弥少， 其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？” 无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东 西，它刘徽认为可以舍弃不要了!
刘徽证明这个问题的过程大概是这样：将一个直角四面体ADEF和一个直角方锥ABCDF 合成一个直角三棱柱ABCDEF(如图)，按纵横垂直 平分这三棱柱，则原直角四面体被分成两个小直角四 面体AHLM和MPRF,两个小直角三棱柱LMPODH 和LMPOER原直角方锥被分成一个小长方体 IJCKPQNM,两个小直角方锥AGIHM和MNOPF, 两个小直角三棱柱DHIKPM和MNOPRF。AHLM与 AGIHM,MPRF与MNOPF合成两个与原直角三梭 柱ABCDEF相似的小直角三棱柱，这两个小三棱柱 Q 又合成一个小长方体。其余部分合成三个相等的小长 方体。在这三个相等的小长方体中，原直角四面体占 一，原直角方锥占二。按同样的方法，继续剖分两个 小直角三棱柱AGIHLM和MNOPRF,可以证明在 E R 它们的体积中，小直角四面体占一，小直角方锥占
二。余下四个更小的直角三棱柱，按同样方法无限地剖分下去，就可以证明在整个直角 三棱柱中，直角四面体占一，直角方锥占二。从而证明前者的体积为行。，后者的体积为 abh。刘徽在证明中虽然取a,b,h相等，但他指出，a,b,h不等时，也是成立的。 可见在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至 细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难 这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自 己的处理有什么疑虑，这还可以从他的思想渊源 上得到解释
可见在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至 细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难。 这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自 己的处理有什么疑虑，这还可以从他的思想渊源 上得到解释
割圆术 刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接 就型中彗高盖翠 二十四边形(“二十四觚”、 一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“瓢之 者”分割成无限多个小三角形（有人认为刘徽是把多边形分割成筝 ,这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来 ， 求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等：但是 业足中”毫要 的，此一边色是 实为具 式，从而也就得到了圆的面积公式
割圆术 • 刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接 正六边形(“六觚”)开始割圆，依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、 正二十四边形(“二十四觚”)、……， “割之弥细，所失弥少。割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ，认为割圆到最后得 到一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“觚之 细者”)分割成无限多个小三角形(有人认为刘徽是把多边形分割成筝 形，这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来 处理，求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等；但是 刘徽说“以一面乘半径，觚而裁之” ，这个“觚”是不可再割的极限 状态下与圆重合的觚， “一面”乃是此觚之一边，它乘半径，当然不 会是另一个由两个更小的三角形组成的筝形的面积，否则此觚就还可 再割了。而从行文来看，也是按此觚之一边来“裁”的，此一边已是 分割到最后所得的一边。至于6边形分成3个筝形来处理之类，实为具 体计算之方便)，由于每个三角形的面积的是其底边与圆半径乘积的 一半，于是，刘徽就可以合并求和而得到这个正无穷多边形的面积公 式，从而也就得到了圆的面积公式
割圆术 刘徽时代元=3 。 秦始皇在全国统一了度量 衡，刘徽据秦汉量器测算发现当时所使用 的圆周率约为3.14。从而首先指出利用 =3这一数值算得的结果不是圆面积，而 是 圆内接正十二边形的面积，这个结果比 真值少 他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加 倍，算出正12边形、正24边形、正48边形 正96边形…的面积，这些面积会逐渐地 接近圆面积
割圆术 • 刘徽时代π=3 。秦始皇在全国统一了度量 衡,刘徽据秦汉量器测算发现 当时所使用 的圆周率约为 3.14。从而 • 他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加 倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、 正96边形……的面积，这些面积会逐渐地 接近圆面积