第四章 不定积分 微分法：F'(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？y=f(x)J
微分法: F(x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f (x) 互逆运算 不定积分
4.1不定积分的概念与性质 4.1.1原函数 定义1：设F(x)与f(x)是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)d,则称F(x)是fx) 在这个区间上的一个原函数
4.1 不定积分的概念与性质 定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有 或 ，则称 F (x)是 f (x) 在这个区间上的一个原函数。 F(x) f (x) dF(x) f (x)dx 4.1.1 原函数
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 返回
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f (x)在区间 I 上连续, 则 f (x)在I 上 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) ∴.[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C0(C,为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C。属于函数族F(x)+C 8 机动 返回 束
若F(x)是 f (x)的一个原函数 , 则 f (x)的所有 原函数都在函数族 F(x) C ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) F(x) C 是 f (x)的原函数 (F(x) C) F(x) f (x) 2) 设(x)是 f (x)的任一原函数， (x) f (x) 又知 F(x) f (x) [(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0 故 0 (x) F(x) C ( ) C0 为某个常数 即 0 (x) F(x) C 属于函数族 F(x) C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
4.1.2不定积分的概念 定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 「一积分号； f(x)一 被积函数； X— 积分变量；f(x)dx一被积表达式. 若F'(x)=f(x),则 「f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如，∫e*dx=e+C C 称为积分常数 「x2d=x3+C 不可丢！ sin xdx -cosx+C
f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I 上的不定积分, f (x)dx , 其中 — 积分号; f (x) — 被积函数; x — 积分变量; f (x)dx — 被积表达式. 若 F(x) f (x) , 则 f x x F x C ( )d ( ) ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, e x xd e C x x dx 2 x C 3 3 1 sin xdx cos x C 记作 4.1.2不定积分的概念
4.1.3不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 f(x)dx的图形 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 Xo 机动 返回
f (x)的原函数的图形称为 f (x) f (x)dx 的图形 f (x) 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解： y=2x y=∫2xdr=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 (1,2) 2=12+C C=1 因此所求曲线为y=x2+1 机动 下贞 返回
且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: y 2x y 2xdx x C 2 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 C 2 2 1 C 1 因此所求曲线为 1 2 y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2.质点在距地面xo处以初速垂直上抛，不计阻 力，求它的运动规律 解：取质点运动轨迹为坐标轴，原点在地面，指向朝上， 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为x,初速为o· 设时刻t质点所在位置为x=x(t),则 dx =v(t) (运动速度) dt x=x(t) 再由此求x() d2x dv d 12 dt =-9 (加速度) x0=x(0) 先由此求v(t) 机动
o x 0x 处以初速 0v 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0x x x x(t) 质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 x x(t), 则 ( ) d d v t t x (运动速度) t v t x d d d d 2 2 g (加速度) . 0v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
先求v(t).由 d=-g,知 x (0=∫(-g)d1=-g1+C x=x(t) 由(0)=0，得C1=o,故 x=x(0) v(t)=-gt+vo 再求0占 g1+o,知 x)=∫(-g1+odt=-92+o1+C2 由x(0)=x0,得C2=x0,于是所求运动规律为 x(t)=-3gt2+vot+xo 机动 下贞 返回
v(t). , d d g t v 由 知 v(t) ( g)dt C1 gt (0) , 0 由v v , 1 0 得C v 0 v(t) gt v 再求 x(t). x(t) ( t v )dt 0 g 0 2 2 2 1 gt v t C (0) , 0 由x x , 2 0 得C x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) gt v t x 由 ( ) d d v t t x , 0 gt v 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0x x x x(t)
4.1.4不定积分的简单性质 性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数。 女h-e暖arh-ja 性质2一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。 「f'(x=f(x)+C或∫f(x)=f(x)+C
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。 性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。 f x dx f x d f x dx f x dx dx d ( ) ( ) ( ) ( ) 或 f x dx f x C df x f x C ( ) ( ) 或 ( ) ( ) 4.1.4 不定积分的简单性质