厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第9章 二次型 §9.2 二次型的规范形，惯性定理

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第九章次型 9.2二次型的规范形,惯性定理 首先考虑C上二次型的规范形 定理9.21若A是C上n阶对称阵,且r(A)=T,则存在C上n阶可逆矩阵C,使得 oO 式(5)称为C上对称矩阵在合同关系下的规范形 证明因为A=A,故存在可逆矩阵C1,使 C1 AC1=diag d1, d2, d3, ., dnj 因为r(A)=r,不妨设d≠0,1≤i≤r,d=0,r+1≤j≤n.令 C2=diag{√a1,va2,…,√a,1,…,1} 记C=C1C2,则C可逆且 Er O 用二次型的语言,就是 定理921若f(x1,m2,……,n)是C上秩为r的n元二次型,则必存在非退化线性替换X=CY, 使 f(ar )=驴+v2+…+y2 推论9.21C上对称矩阵A合同于B的充分必要条件是r(4)=r(B) 现在讨论R上二次型的规范形 定理9.22若A是武上秩为r的n阶对称阵,则存在R上n阶可逆矩阵C,使得 oO 其中p+q=T 证明因为AT=A,故存在可逆矩阵C1 Ci AC1= diagd1, d2, d3, .. dn

W3qE ~" IP + 59.77.1.116; [ gdjpkc.xmu.edu.cn LRW NJT §9.2 NJTKQOU
PVMS pKT C h&9) 5= 9.2.1 f A n C h n F#$￾a r(A) = r, ! C h n FL\I$ C, l C T AC =  Er O O O  . (1) m (5) ￾ C h#I$ Æz? X = CY , l f(x1, · · · , xn) = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 r . C? 9.2.1 C h#I$ A <| B -{Cn r(A) = r(B).  xU R h&9) 5= 9.2.2 f A n R h.￾ r  n F#$￾! R h n FL\I$ C, l C T AC =   Ep O O O −Eq O O O O   , ^/ p + q = r. H ￾ AT = A, 6 L\I$ C1, l C T 1 AC1 = diagd1, d2, d3, · · · , dn. 1

因为r(4)=T,不妨设d>0,1≤i≤p,dk,考虑等式 由于X=BY且X=CZ,于是Z=C-1BY,令 C21C22 21=C11y1+c12y2+……+C1nyn 22=C21y1+c2y+…+C2nyn zn=Cn1y1+ Cn292+.+Cnn 由于P>k,在齐次线性方程组 C11y1 0 ck1y1+ck2y2+……+cknn=0 0 有n个未知数,但只有n-(-k)0,但前k和方程确定了21=0, 1≤i≤k.故(6)式右边≤0,矛盾.故P≤k.同理k≤p.因此p=k

￾ r(A) = r, +i di > 0, 1 ≤ i ≤ p, dj Æz?￾l f(x1, · · · , xn) = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 p+q . Y8Æ NrZ N/ p, q n  5= 9.3.3(9F5=) i f(x1, x2, · · · , xn) n R h n &￾f ,}> Æz? X = BY  X = CZ, -D f(x1, x2, · · · , xn) >￾O4 0 y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r , z 2 1 + · · · + z 2 k − z 2 k+1 − · · · − z 2 r , ! p = k. H (''i p > k, KTm y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r = z 2 1 + · · · + z 2 k − z 2 k+1 − · · · − z 2 r . (2)  X = BY a X = CZ, n Z = C −1BY , S C −1B =   c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · cn1 cn2 · · · cnn   . !    z1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn z2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · zn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn .  p > k, _ Æ*2    c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn = 0 · · · ck1y1 + ck2y2 + · · · + cknyn = 0 yp+1 = 0 · · · yn = 0 /￾ n 4
(q￾- n−(p−k) 0, ` k ;* P zi = 0, 1 ≤ i ≤ k. 6 (6) m ≤ 0, V$6 p ≤ k. |N k ≤ p.  p = k. ✷ 2

我们称定理中的p为实对称矩阵A的正惯性指数,q为A的负惯性指数,s=p-q为A的符号差 同时也分别成为A的二次型的正惯性指数,负惯性指数和符号差.显然,实对称阵的正惯性指数等于它的 正特征值的个数,负惯性指数等于它的负特征值的个数.在四个数P,q,T,S中,若确定其中两个数,其余两 个数就确定了.所以有 推论9.22若A,B是卫上n阶对称矩阵,则下列条件等价 (2)A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数; (3)A与B有相同的秩与符号差 (4)A与B的正特征值的个数相同,负特征值的个数相同 例1试分别在武和C上判断下列矩阵是否合同?相似?相抵? 1 解因为A,B,C均为可逆阵,所以在C上和在R上A,B,C都相抵,在C上A,B,C合同 因为A,B的正惯性指数是2,负惯性指数是1,而C的正惯性指数是1,负惯性指数是2,所以在R 上A,B合同 因为A,B,C的特征值互不相等,所以在C上和在R上A,B,C都互不相似 例2设A是C上n阶对称阵,且r(A)=T.证明A可分解为n个秩为1的对称矩阵之和 证明因为A7=A,所以存在C上n阶可逆矩阵C使得 E O E11+E22+……+E1 令A1=CEC,1≤i≤r则r(A)=1,4=A1,且A=A1+A2+…+Ar 例3设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+an2+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. (1)求二次型f(x1,x2,x3)的所有特征值 (2)若二次型的规范形为2+y2,求a的值 解(1)二次型的矩阵是 A=0 a 因为det(AE-A)=(X-a)(X-a+2)(X-a-1),所以A的三个特征值是A1=a,A2=a-2,A3=a+1 (2)由二次型的规范形知A有两个特征值是正实数,一个特征值为零.所以a=2 习题 1.所有C上n阶对称阵按照合同关系分类,共有几类?所有武上n阶对称阵按照合同关系分类,共 有几类?

X N/ p ￾k#I$ A  G9FIA, q ￾ A  89FIA, s = p − q ￾ A  7;4, |j-￾ A & G9FIA, 89FIA ; 7;4. d￾k#$&8Æ,qw &y%*4q￾18Æ,qw1y%*4q s4q p, q, r, s /￾f ^/O4q￾^O 4qH Pv C? 9.2.2 f A, B n R h n F#I$￾!Q{CB (1) A ∼ B; (2) A  B  |&8Æ,q;18Æ,q (3) A  B  |./:Æ (4) A  B &y%*4q |￾1y%*4q | > 1 o- R ; C h℄"QI$n. 2 i A n C h n F#$￾a r(A) = r. 'Z A L-G￾ n 4.￾ 1 #I$); H ￾ AT = A, v C h n FL\I$ C l A = C T  Er O O O  C. %  Er O O O  = E11 + E22 + · · · + Err. S Ai = C T EiiC,1 ≤ i ≤ r, ! r(Ai) = 1, AT i = Ai , a A = A1 + A2 + · · · + Ar. > 3 i& f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) b& f(x1, x2, x3) vy%* (2) f&9) ￾ y 2 1 + y 2 2 , b a * < (1) &I$n A =   a 0 1 0 a −1 1 −1 a − 1   . ￾ det(λE−A) = (λ−a)(λ−a+2)(λ−a−1), v A g4y%*n λ1 = a, λ2 = a−2, λ3 = a+1. (2) &9) ( A O4y%*n&kq￾4y%*￾Rv a = 2. DB 1. v C h n F#$#<|7-M￾5Mv R h n F#$#<|7-M￾5 M 3

2.设A为C上对称阵,则当|4≠0时,A,A-1均与A合同 3.设A为n阶复对称矩阵,且A的秩为r,求证:A必可分解为A=BTB,其中B是秩为r的 n阶矩阵. 4.设实二次型 f(x,x2,…,xn)=2+…+v2-张+1 其中v1=anx1+a2x2+…+anxn,1≤i≤k+s.求证:二次型f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数 P≤k,负惯性指数q≤s 5.确定二次型∫(x,y,2)=ay2+bzx+cry的秩和符号差 6.设A是n阶实可逆阵, Ar O 的正负惯性指数 7.设A为n阶可逆实对称矩阵.A是A中的元素ai的代数余子式,1≤i,j≤n.考虑二次型 f(x1,x2,……,xn) A (1)写出该二次型的矩阵,并证明它 (2)二次型9(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,xn)A(x1,x2,…,n)与f(x1,x2,…,xn)的规范形 是否合同?说明理由

2. i A ￾ C h#$￾! |A| 6= 0 j￾ A∗ , A−1 J A <| 3. i A ￾ n F0#I$￾a A .￾ r, b' A L-G￾ A = BT B, ^/ B n.￾ r  n FI$ 4. ik& f(x1, x2, · · · , xn) = y 2 1 + · · · + y 2 k − y 2 k+1 − · · · − y 2 k+s , ^/ yi = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn, 1 ≤ i ≤ k + s. b'& f(x1, x2, · · · , xn) &8Æ,q p ≤ k, 18Æ,q q ≤ s. 5. & f(x, y, z) = ayz + bzx + cxy .;/:Æ 6. i A n n FkL\$￾b B =  O A AT O  &18Æ,q 7. i A ￾ n FL\k#I$ Aij n A /u aij q1m￾ 1 ≤ i, j ≤ n. KT& f(x1, x2, · · · , xn) = Xn i=1 Xn j=1 Aij |A| xixj . (1) 2&I$￾'Zwn A−1 ; (2) & g(x1, x2, · · · , xn) = (x1, x2, · · · , xn)A(x1, x2, · · · , xn) T  f(x1, x2, · · · , xn) 9) n.<|rZN 4