厦门大学高等代数教案网站P地址:59.77.1.116:;域名: dpko. xmu. edu.c1 第八章欧氏空间 §8.2正交基 定义8.2.1设a1,a2,……,am是n维内积空间V的一组向量.若(ai 0,1≤i≠j≤m,则 称为一组正交向量.若还满足la=1,1≤i≤m,则称为标准正交向量 定义822设51,52,……,5n是n维内积空间V的一个基.若(51,5)=0,1≤i≠j≤n,则称这 个基是V的一个正交基.若还满足|sl=1,1≤i≤m,则称这个基是V的一个标准正交基 例1在欧式空间R中,E1,E2,…,En是一个标准正交基向量组a1=(1,0.,0,…,0)2,a2 (1,1,0,…,0),a3=(1,1,1,…,0)…,an=(1,1,1,……,1)是一个基,但不是标准正交基 命题8.2.1设51,52,…,En是n维内积空间V的一组标准正交基,则对任意的a∈V,有 a=(a,51)51+(a,2)52+…+(a,5n)5 引理82.1欧式空间V中的任何一组两两正交的非零向量必线性无关 证明设a1,a2,……,am是V中两两正交的向量组,若 a1a1+a202+…+amOm=0 则对于任意的i,1≤i≤m,有 (a1a1+a202+…+am 而(a,aj)=0,故a(aa,a)=0.由于ai≠0,故a=0 定理8.21( Schmidt正交化定理)对于欧氏空间V的一个线性无关向量组a1,a2,…,as,必存在正 交单位向量组m1,72,…,Ys,使得对于任意的T,1≤T≤s,总有 span(a1,…,ar)=span(1,…,r) 证明对于线性无关向量组a1,a2,……,as,进行 Schmidt正交化 B=01,B=2-1,B1)3 Br B2-(B2 (ar, Br-1) (B1,B1) (B2,B2) B-1,3≤r≤
yP&n= r IP ! 59.77.1.116; T gdjpkc.xmu.edu.cn JIQ OPNL §8.2 RMK 1C 8.2.1 d α1, α2, · · · , αm j n tV3E8 V *~Ja (αi , αj ) = 0, 1 ≤ i 6= j ≤ m, s* F5B:. a1O) |αi | = 1, 1 ≤ i ≤ m, s -HF5B:. 1C 8.2.2 d ξ1, ξ2, · · · , ξn j n tV3E8 V '2a (ξi , ξj ) = 0, 1 ≤ i 6= j ≤ n, '2j V ' ;2a1O) |ξi | = 1, 1 ≤ i ≤ n, '2j V ' -HF53. 9 1 YhE8 R n $ ε1, ε2, · · · , εn j'& ;2~J* α1 = (1, 0, 0, · · · , 0)T , α2 = (1, 1, 0, · · · , 0)T ,α3 = (1, 1, 1, · · · , 0)T ,· · ·, αn = (1, 1, 1, · · · , 1)T j'2j& ;2 =? 8.2.1 d ξ1, ξ2, · · · , ξn j n tV3E8 V *& ;2 _ α ∈ V , α = (α, ξ1)ξ1 + (α, ξ2)ξ2 + · · · + (α, ξn)ξn. G< d α = a1ξ1 +a2ξ2 +· · ·+anξn. (ξi , α) = (ξi , a1ξ1 +a2ξ2 +· · ·+anξn) = ai , 1 ≤ i ≤ n. ✷ D8 8.2.1 YhE8 V $_/*II ;$L~J}w) G< d α1, α2, · · · , αm j V $II ;~J*a a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0, _ i, 1 ≤ i ≤ m, (a1α1 + a2α2 + · · · + amαm, αi) = 0. (αi , αj ) = 0, ( ai(αi , αi) = 0. Æ αi 6= 0, ( ai = 0. ✷ 18 8.2.1(Schmidt F5218) YkE8 V '}w)~J* α1, α2, · · · , αs, ;u~J* γ1, γ2, · · · , γs, g _ r, 1 ≤ r ≤ s, ( span(α1, · · · , αr) = span(γ1, · · · , γr). G< }w)~J* α1, α2, · · · , αs, A Schmidt ;0 β1 = α1, β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1, · · · βr = αr − (αr, β1) (β1, β1) β1 − (αr, β2) (β2, β2) β2 − · · · − (αr, βr−1) (βr−1, βr−1) βr−1, 3 ≤ r ≤ s. 1
显然有 }={1,B2,…,B} 1≤r≤s.下面证明B1,B2,…,Bs两两正交.对r做数学归纳法 首先(,B2)=(a,(a2-mm1)=(a1,(a2-mnm2)21)=(a1,a2) 假设B1,B2,……,B-1两两正交,下面证明 (B1,B1)(2,B2) 与B1,B2,……,Br-1两两正交.事实上,对任意j,1≤j≤r-1, (3,Bn)=(1,(a-∑ (3,a1)-∑) (6,ar)-(6, 3,B2) (1,a)-a,份(1,月) 所以B1,B2,…,B。两两正交.再进行单位化, 72,…,Ts是正交单位向量组且 {a1,……,ar}={B1,…,Br}={7,…,r} 1<r<s. 推论8.2.1有限维欧氏空间必有标准正交基 推论8.22有限维欧氏空间V的任意单位正交组都可扩为V的标准正交基 例2求与向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-2,-3-4)2,a3=(1,2,2,3)等价的一个正交单位 向量组 解先利用 Schmidt正交化方法求出与a1,a2,a3等价的正交向量组 (1,1,1,1) 1+1+1+1 )2 (1,-2,-3-4)2+2(1,1,1,1)2=(3,0,-1,-2) (a3,61 (61,B1) 62,B2) 1+1+1+1 1,1,1) 9+1+4
{^ {α1, α2, · · · , αr} = {β1, β2, · · · , βr}, 1 ≤ r ≤ s. xR S β1, β2, · · · , βs II ; r +n*U! lz (β1, β2) = (α1,(α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1) = (α1,(α2 − (α2,α1) (α1,α1) α1) = (α1, α2) − (α2,α1) (α1,α1) (α1, α1) = (α1, α2) − (α2, α1) = 0. 6d β1, β2, · · · , βr−1 II ;xR S βr = αr − (αr, β1) (β1, β1) β1 − (αr, β2) (β2, β2) β2 − · · · − (αr, βr−1) (βr−1, βr−1) βr−1 = αr − Xr−1 i=1 (αr, βi) (βi , βi) βi β1, β2, · · · , βr−1 II ;if _ j, 1 ≤ j ≤ r − 1, (βj , βr) = (βj ,(αr − Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) βi) = (βj , αr) − (βj ,( Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) βi) = (βj , αr) − Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) (βj , βi) = (βj , αr) − (αr,βj) (βj ,βj) (βj , βj ) = (βj , αr) − (αr, βj ) = 0 . o β1, β2, · · · , βs II ;Au0 γi = βi |βi | , 1 ≤ i ≤ s. γ1, γ2, · · · , γs j ;u~J*\ {α1, · · · , αr} = {β1, · · · , βr} = {γ1, · · · , γr}, 1 ≤ r ≤ s. ✷ ; 8.2.1 |tYkE8& ;2 ; 8.2.2 |tYkE8 V _ u ;*DFs V & ;2 9 2 ℄~J* α1 = (1, 1, 1, 1)T , α2 = (1, −2, −3, −4)T , α3 = (1, 2, 2, 3)T 7' ;u ~J* 6 zG Schmidt ;0#!℄ α1, α2, α3 7 ;~J* β1 = α1 = (1, 1, 1, 1)T , β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1 = (1, −2, −3, −4)T − 1 − 2 − 3 − 4 1 + 1 + 1 + 1 (1, 1, 1, 1)T = (1, −2, −3, −4)T + 2(1, 1, 1, 1)T = (3, 0, −1, −2)T , β3 = α3 − (α3, β1) (β1, β1) β1 − (α3, β2) (β2, β2) β2 = (1, 2, 2, 3)T − 1 + 2 + 2 + 3 1 + 1 + 1 + 1 (1, 1, 1, 1)T − 3 − 2 − 6 9 + 1 + 4 (3, 0, −1, −2)T 2
(.2.2.3)2-2(1,1.1)+146.0.-1.-2)=(40.- 再将B1,B2,B3单位化,得到 1111 (3,0,-1,-2)2 14-14 42 1,72,3即是所求向量组 设m,m2,…,m和51,52,…,5n是n维欧氏空间v的两个标准正交基,T是从基m,m2,…,T 到≤1,52,…,5n的过渡矩阵,即 n,……Th 记T=(t1)nxn,则 6=(5,5) ∑k=1∑=1tkt(影/m+t2m+…+ injun) 所以TT=E 定义823实n阶方阵T称为正交阵,如果TT=E 命题8.2.2设T,S为正交阵,则 (1)T可逆且T-1为正交阵; (2)TS为正交阵 证明直接验证 定理8.22设51,52,…,n和m,m2,…,mn是n维欧氏空间v的两个向量组,满足 n2,…,Thn, 其中T是n阶实方阵.则 (1)若51,2,……,5n和mh,m2,…,mn是n维欧氏空间V的的标准正交基,且T是正交矩阵,且是 从基mh,m2 到51,52,……,5n的过渡矩阵; (2)若m,m,……,mn是n维欧氏空间V的的标准正交基,T是正交矩阵,则51,2,……,5n是n维 欧氏空间V的的标准正交基; (2)若51,2,……,5n是n维欧氏空间V的的标准正交基,T是正交矩阵,则mn,m,…,m是n 欧氏空间V的的标准正交基 定理823设A是实n阶方阵,则下列叙述等价
= (1, 2, 2, 3)T − 2(1, 1, 1, 1)T + 5 14 (3, 0, −1, −2)T = ( 1 14 , 0, − 5 14 , 4 14 ) T . : β1, β2, β3 u0 γ1 = 1 |β1| β1 = 1 2 (1, 1, 1, 1)T = (1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ), γ2 = 1 |β2| β2 = 1 √ 14 (3, 0, −1, −2)T = ( 3 √ 14 , 0, − 1 √ 14 , − 2 √ 14 ), γ3 = 1 |β3| β3 = 14 √ 42 ( 1 14 , 0, − 5 14 , 4 14 ) T = ( 1 √ 42 , 0, − 5 √ 42 , 4 √ 42 ). γ1, γ2, γ3 4jo℄~J* d η1, η2, · · · , ηn . ξ1, ξ2, · · · , ξn j n tYkE8 V I'& ;2 T j2 η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn , C4 (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)T. 5 T = (tij )n×n, δij = (ξi , ξj ) = (t1iη1 + t2iη2 + · · · + tniηn, t1jη1 + t2jη2 + · · · + tnjηn) = Pn k=1 Pn l=1 tkitlj (ηi , ηj ) = Pn k=1 Pn l=1 tkitlj δij = Pn k=1 tkitkj . o T T T = E. 1C 8.2.3 f n ?# T s F5E, `+ T T T = E. =? 8.2.2 d T, S s ; (1) T DX\ T −1 s ; (2) T S s ; G ✷ 18 8.2.2 d ξ1, ξ2, · · · , ξn . η1, η2, · · · , ηn j n tYkE8 V I'~J*O) (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)T, Z$ T j n ?f# (1) a ξ1, ξ2, · · · , ξn . η1, η2, · · · , ηn j n tYkE8 V & ;2\ T j ;C\j 2 η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn , C (2) a η1, η2, · · · , ηn j n tYkE8 V & ;2 T j ;C ξ1, ξ2, · · · , ξn j n t YkE8 V & ;2 (2) a ξ1, ξ2, · · · , ξn j n tYkE8 V & ;2 T j ;C η1, η2, · · · , ηn j n t YkE8 V & ;2 18 8.2.3 d A jf n ?#xKm7 3
(1)T是正交阵 (2)T (3)T的列向量是欧氏空间Rn的标准正交基; (4)T的行向量是欧氏空间Rn的标准正交基 定理82.4设U是欧氏空间V的子空间,令 U={a∈V|对于任意B∈U都有(a,B)=0}, 则 (1)U-是V的子空间; (2)V=U⊕U 证明(1)直接验证 (2)若a∈U∩U,则(a,a)=0,所以a=0,因此U∩U=0 下面证明V=U+U4.对任意a∈V,由推论8.21知,必存在U的一组标准正交基{51 令 B=(a,51)1+(a,)2+…+(a.,5m)5m, 则β∈U.又令=a-B,则对任意5,1≤i≤m,有(,51)=(a,5)-(B,5)=0.所以7∈U 而a=B+1.从而V=U由U成立 定义8.2.4设U是欧氏空间V的子空间,称 U={a∈V|对于任意B∈U,都有(a,B)=0 为U的正交补空间 例3设A是实数域上m×n矩阵,U是A的行向量生成的子空间,V是线性方程组AX=0的 解空间,则V=U1,且Rn=U⊕V 证明设A的行向量为a,a2,…,am,则U=span(a1,a2,…,am)对于AX=0的任意解 B,因为AB=0,即(a,B)=0.所以VU.反之,设B∈U,则(B,a)=0,1≤i≤m.故 AB=0.所以U∈V.这样V=U 我们断言,U∩U=0.事实上,设a∈U∩U,则(a,a)=0,所以a=0.故U+V=UV 又因为dimV+dimU=n,即dimV+dimU=n,故Rn=UV 例4设B是秩为2的5×4矩阵,a1=(1,1,2,3)2,a2=(-1,1,4,-1)2,a3=(5,-1,-8,9) 是齐次线性方程组BX=0的解向量.求BX=0解空间的一个标准正交基 解r(B)=2,所以解空间的维数是2.经验证,a1,a2线性无关,可作为解空间的一组基.运用 Schmidt正交化方法,令 B1=a1=(1,1,2,3)2, B2=a2-(,1) B1=(-1,4,1,-1)-( 1.1.2 3 -333-0 再经过单位化,得到 (12,3 √39 2,15,-3)2
(1) T j ; (2) T T = T −1 ; (3) T K~JjYkE8 R n & ;2 (4) T ~JjYkE8 R n & ;2 18 8.2.4 d U jYkE8 V 'E8M U ⊥ = {α ∈ V | _ β ∈ U, (α, β) = 0}, (1) U ⊥ j V 'E8 (2) V = U ⊕ U ⊥. G (2) a α ∈ U ∩ U ⊥, (α, α) = 0, o α = 0, Æ U ∩ U ⊥ = 0. xR S V = U+U ⊥. _ α ∈ V , ÆqN 8.2.1 U *& ;2 {ξ1, ξ2, · · · , ξm}. M β = (α, ξ1)ξ1 + (α, ξ2)ξ2 + · · · + (α, ξm)ξm, β ∈ U. M γ = α − β, _ ξi , 1 ≤ i ≤ m, (γ, ξi) = (α, ξi) − (β, ξi) = 0. o γ ∈ U ⊥, α = β + γ. V = U ⊕ U ⊥ H ✷ 1C 8.2.4 d U jYkE8 V 'E8 U ⊥ = {α ∈ V | _ β ∈ U, (α, β) = 0}, s U F5.74. 9 3 d A jfn m × n C U j A ~Je 'E8 V j}# * AX = 0 E8 V = U ⊥, \ R n = U ⊕ V . G< d A ~Js α T 1 , αT 2 , · · · , αT m, U = span(α T 1 , αT 2 , · · · , αT m). AX = 0 _ β, s Aβ = 0, 4 (αi , β) = 0. o V ⊆ U ⊥. " d β ∈ U ⊥, (β, αi) = 0, 1 ≤ i ≤ m. ( Aβ = 0. o U ⊥ ⊆ V . V = U ⊥. vQ U ∩U ⊥ = 0. if d α ∈ U ∩U ⊥, (α, α) = 0, o α = 0. ( U + V = U ⊕ V . s dimV + dimU = n, 4 dimV + dimU = n, ( R n = U ⊕ V . 9 4 d B j#s 2 5 × 4 C α1 = (1, 1, 2, 3)T , α2 = (−1, 1, 4, −1)T , α3 = (5, −1, −8, 9)T j[}# * BX = 0 ~J℄ BX = 0 E8'& ;2 6 r(B) = 2, o E8tnj 2. B α1, α2 }w)D,sE8*2 Schimidt ;0#!M β1 = α1 = (1, 1, 2, 3)T , β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1 = (−1, 4, 1, −1)T − 1 3 (1, 1, 2, 3)T = (− 4 3 , 2 3 , 10 3 , −2)T . B,u0 γ1 = 1 √ 15 (1, 1, 2, 3)T , γ2 = 1 √ 39 (−2, 1, 5, −3)T . 4
则m,n2是BX=0解空间的一个标准正交基 习题 1.设51,2,…,5n是n维内积空间的一组标准正交基,a=a151+a22+…+an5 B=b151+b252+…+bn5n,则 (a,B)=a1b1+a2b2+…+ 2.已知a1=(0,2,1,0) -1,0.0),a3=(1,2,0,-1),a4=(10,0,1)是欧氏空间R4的 一个基.对这个基做 Schmidt正交化,求R4的一个标准正交基 次线性方 1-x3+工4 x4=0 的解空间的标准正交基,并求与解空间正交的所有向量 4.设V1,V是n维欧氏空间V的子空间 (1)(V)=V; (2)v1cV2,则VcⅥ (3)(v1+V)=Ⅵ∩V2; (4)(V∩w2)=+V 5.(1)实对角阵是正交阵,则其对角元为±1; (2)上(下)三角阵是正交阵,则其为对角阵且对角元为±1; (3) 是正交阵且二阶矩阵能作为正交阵的只能是如上两种 COS sIn g -cos 形式 6.设a1,a2,…,am是n维内积空间V中的非零正交向量组,a是V中的任一向量,证明下面的 ( Bessel不等式) a, ak ≤la|2; 且等号成立的充分必要条件是 a∈span(a1,a2
γ1, γ2 j BX = 0 E8'& ;2 A? 1. d ξ1, ξ2, · · · , ξn j n tV3E8 V *& ;2 α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, (α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. 2. α1 = (0, 2, 1, 0), α2 = (1, −1, 0, 0), α3 = (1, 2, 0, −1), α4 = (1, 0, 0, 1) jYkE8 R 4 '2 '2+ Schimidt ;0℄ R 4 '& ;2 3. ℄[}# * x1 − x3 + x4 = 0 x2 − x4 = 0 E8& ;2℄E8 ;o~J 4. d V1, V2 j n tYkE8 V 'E8 (1) (V ⊥ 1 ) ⊥ = V1; (2) V1 ⊆ V2, V ⊥ 2 ⊆ V ⊥ 1 ; (3) (V1 + V2) ⊥ = V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 ; (4) (V1 ∩ V2) ⊥ = V ⊥ 1 + V ⊥ 2 . 5. (1) f ) Xm k=1 |(α, αk)| 2 |αk| 2 ≤ |α| 2 ; \- H %p9j α ∈ span(α1, α2, · · · , αm). 5