厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第九章次型 本章讨论二次型理论.§9.1指出数域F上的m元二次型与F上的n阶对称矩阵之间的一一对应, 对二次型做可逆线性替换相当于对对称阵做合同变换.同时介绍用初等变换,配方和正交相似等三种化对称 阵为标准形的方法.§9.2讨论二次型的规范形,证明了正惯性指数和负惯性指数是实二次型在合同关系下 的不变量.9.3讨论了重要的一类二次型:正定二次型 §91二次型,矩阵的合同,标准形 二次型的理论起源于化二次曲线,二次曲面为标准形式的问题,现在,二次型理论已广泛应用于数学的 各个分支和其它各个学科 定义9.1.1数域F上的n元二次齐次多项式 a11 1x2 +2a12x1x2+…+2a1nT1xn 称为数域F上的n元二次型,简称二次型 例如,+2x1x2+x2+3和2x3+3xx2+x1x2x3不是二次型,2a2+v21x3是R上或C 上的二次型,不是Q上二次型 在数城F上的n元二次型与F上的n阶对称矩阵之间存在着对应关系.首先,令 ( n),则可将二次型(1)改写为矩阵的形式 +a21x1x2+a222+……+a2n2Tn 1. j 记为 f(a
6{C8"
其中 a1 a21a22 这里矩阵A是对称矩阵由此可知,给定一个F上的二次型f(x1,x2,…,xn),我们得到了一个F上的 唯一对称矩阵A,称A为该二次型的矩阵反过来,若给定数域F上的一个对称矩阵A,则由(2)式,我 们可以得到一个F上二次型∫(x1,x2,…,工n),称为对称矩阵A的二次型由于二次型与对称矩阵的 对应关系,我们将矩阵的秩定义为该二次型的秩以后用(2)式表示二次型总指A是对称阵 例1求下列二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 (1)f(x1,x2,x3)=2x2+3x1x2+x1x3; (2)f(x1,x2,x3)=21+3x2+inr3 解(1) 23-2T-2 200 A=030 例2求下列对称矩阵的二次型f(x1,x2,x3) 130 (2 000 解(1)f(x1,x2,x3)=x2+6x1x2+4x2x3+3; (2)f(x1,x2,x3)=2x12-2x1x3+4x2 (3)f(x1,x2,x3)=2r2+3r2 为了对二次型做进一步的研究,需要引进线性替换的概念
s A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann , X = x1 x2 . . . xn . epff A ( ffSkk;'J9 F !+> f(x1, x2, · · · , xn), 3| sJ9 F ! /J( ff A, A 05 $. -Em;'!Z F !J9( ff A, aS (2) 3 |kL J9 F +> f(x1, x2, · · · , xn), 0 $ A . SW+>X( ff!JJ (Q?43|Xff!r'N05+>! '. LIR (2) +>{o A ( f 1 5t+> f(x1, x2, x3) !ff (1) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x1x2 + x1x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x 2 2 + ix2 3 . (1) A = 2 3 2 1 2 3 2 0 0 1 2 0 0 ; (2) A = 2 0 0 0 3 0 0 0 i . 2 5t( ff!+> f(x1, x2, x3). (1) 1 3 0 3 0 2 0 2 1 ; (2) 0 1 −1 1 0 2 −1 2 0 ; (3) 2 0 0 0 3 0 0 0 0 . (1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 6x1x2 + 4x2x3 + x 2 3 ; (2) f(x1, x2, x3) = 2x1x2 − 2x1x3 + 4x2x3; (3) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x 2 2 . 0s(+>bJ !EdBHPb9A+K!7 2
定义9.1.2关系式 x2=c211+c22y2+……+C2nyn In=Cnly1 Cn292+.+ Cnnyn 称为由变量x1,x2,…,xn到变量y,y2,…,犰n的线性替换 Cl 12 C y/2 Cnl Cn2 X=Cy 当C是可逆阵时,线性替换称为可逆线性替换,或称为非退化线性替换 对于二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX做可逆线性替换X=CY,则 f(r1,x2,,In)=XAX=(CY)TA(CY)=YBY, 其中B=CAC.因为A是对称阵,所以B也是对称阵,故YTBY定义了二次型,记为 这样,实际上证明了下面的定理 定理9.1.1二次型f(x1,x2, XTAX经过可逆线性替换X=CY化为g(y1,y2,…,yn) YTBY的充分必要条件是CAC 定义913设A,B是数域F上的n阶矩阵,若存在n阶可逆阵C,使B=CAC,则称B A合同,记为A合同于B. 在FnX上的合同关系满足 (1)反身性,即A合同于A; (2)对称性,即如果A合同于B,则B合同于A (3)传递性,即如果A合同于B,B合同于C,则A合同于C 矩阵的合同必是相抵.所以合同的矩阵有相同的秩 合同的定义并没有要求对称阵.注意到,若A是对称矩阵且B合同于A合同,则B是对称矩阵.我 们主要关注数域F上对称阵的合同关系 次型的基本问题是寻找一个可逆线性替换,化为一个只含平方项的二次型 g(y1 yn)=d1y2+d2y2+…+dny 相应地,对于给定的对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使得CAC是对角阵 厘理911设A是数域F上的非零对称矩阵则必存在可逆矩阵C,使CAC的第(1)元素不等
" 9.1.2 ?4 x1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn x2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · · · · xn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn (3) 0Sr x1, x2, · · · , xn r y1, y2, · · · , yn ! !. Q C = c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · cn1 cn2 · · · cnn , X = x1 x2 . . . xn , Y = y1 y2 . . . yn . a (3) k 0 X = CY. C kf9A+K 0 !, L 0 !. (W+> f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX k9A+K X = CY , a f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX = (CY ) T A(CY ) = Y T BY, s B = C T AC. O0 A ( f&L B I ( f> Y T BY 'Ns+>Q0 g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY. eGRi~s5}!'o 9.1.1 +> f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX Ek9A+K X = CY J0 g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY !3H,W C T AC = B. " 9.1.3 A, B !Z F ! n \ff_ n \kf C, B = C T AC, a B X AÆ , Q0 A H-W B. _ F n×n !H-?4y| (1) -AO A H-W A; (2) ( AOD A H-W B, a B H-W A; (3) &AOD A H-W B, B H-W C, a A H-W C. ff!H- :#&LH-!ffT:-!r H-!'N zTH ( fwM A ( ff B H-W A H-a B ( ff3 |vH?w!Z F ( f!H-?4 +>!M2* DdJ9k9A+KJ0J9pF0;!+> g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . :Q$(W;'!( ff A, Ddkff C, C T AC (Zf # 9.1.1 A !Z F !2u( ffa_kff C, C T AC !% (1, 1) [$ " Wu 3
证明若α11=0,而αⅱ≠0,则际行初义变换将第化行与第讠行对换,再将第化列与第i列对换, 得到性矩矩性第(1,1)元地不方零.上得初义变换过换相退件明化化个E(1,i),再右化E(1,),得到矩矩 E(1,i)AE(1,i)=E(1,i)AE(1,i),定合反件A 若递有性a=0,1≤i≤n.设a≠0,i≠j将A性第j行加到第i行上去,再将第j列加到第i 列,即方A到对非矩矩,a=叫≠0,件到第()元地到2ai并不方零.上得初义变换过换相退件明化 初义矩矩E(i,j(1),再右化E(ji(1),得到性新矩矩E(i,j(1))AE(,(1))=E(,i(1)AE(,(1) 定合反件A.归结方上面不况 际的学归,法,分们可线F上任基对非矩必合反件对角矩矩. 定理9.12设A到的角F上量方r性n阶对非矩矩,则必存在F上性n阶可逆矩C,使得 证明由引理911,.不妨设A=(an)了a11≠0.若an1≠0,则可将第化行化或-a1an加到第i 行上,再将第化列化或-a1a1加到第i列上.由件a1=a1,故得到性矩矩性第(1,i)元地及第(i,1)元 地均义件零(=2,3,…,n).由件E(i,1(-a)AE(1,(-a),或E(1,(-a)2AE(1,(-a) 合反件A,可可得到性矩矩与A到合反性并到对非性.这样,A合反件 00 0 上式右下角到化个n-1阶对非矩矩,记方A1.则上面矩矩可记方 0 A 本了r(A1)=r-1.即存在n阶可逆矩C1,使得 0 0A1 根据归,假设,存在n-1阶可逆矩矩C2,使CA1C2=D方对角矩 则C到n阶可逆矩,并 AC=(10)7 C1 ACI 10 a11 0 10 到化个对角矩.即此,A合反件化对角矩.即方r(4)=T,递或 AC=diag(d1,d2,…,d-,0,…,0)
& a11 = 0, * aii 6= 0, aR"KX%JX% i (K^X%JtX% i t(K !ff!% (1, 1) [$ 0u "KE: W~J9 E(1, i), ^U E(1, i), ff E(1, i)AE(1, i) = E(1, i) T AE(1, i), 'H-W A. &T! aii = 0, 1 ≤ i ≤ n. aji 6= 0, i 6= j, X A !% j S % i Æ^X% j tS % i tO0 A ( ffaji = aij 6= 0, W % (i, i) [$ 2aij 0u "KE: W~ "ff E(i, j(1)), ^U E(j, i(1)), !=ff E(i, j(1))AE(j, i(1)) = E(j, i(1))T AE(j, i(1)), 'H-W A. C^0} l ✷ R!CC,3|k F M( fH-W(Zff 9.1.2 A !Z F r0 r ! n \( ffa_ F ! n \kf C, C T AC = diag(d1, d2, · · · , dr, 0, · · · , 0). & SPo 9.1.1, 1 A = (aij ) s a11 6= 0. ai1 6= 0, akX%JL −a −1 11 ai1 S % i ^X%JtL −a −1 11 ai1 S % i tSW ai1 = a1i , > !ff!% (1, i) [$N% (i, 1) [ $h"Wu (i = 2, 3, · · · , n). SW E(i, 1(− a1i a11 ))AE(1, i(− a1i a11 )), L E(1, i(− a1i a11 ))T AE(1, i(− a1i a11 )) H-W A, kk !ffX A H-! ( !eG A H-W a11 0 0 · · · 0 0 b22 b23 · · · b2n 0 b32 b33 · · · b3n · · · · · · · · · · · · · · · 0 bn2 bn3 · · · bnn . U5Z J9 n − 1 \( ffQ0 A1. a}ffkQ0 a11 0 0 A1 , s r(A1) = r − 1. O_ n \kf C1, C T 1 AC1 = a11 0 0 A1 . <gCT_ n − 1 \kff C2, C T 2 A1C2 = D 0(Zf Q C = C1 1 0 0 C2 , a C n \kf C T AC = 1 0 0 C2 T C T 1 AC1 1 0 0 C2 = 1 0 0 C2 T a11 0 0 A1 1 0 0 C2 = a11 0 0 D J9(ZfO A H-WJ(ZfO0 r(A) = r, &L C T AC = diag(d1, d2, · · · , dr, 0, · · · , 0). 4
定理911用二次型的语言来说,就是对F上秩为r的n元二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX 总可以经过可逆线性替换X=CY化为 9(,y,…,y)=d1+d2y2+…+dry2 式(4)称为二次型(1)的标准型 从定理9.1.1的证明,我们得到求与对称阵A合同的对角阵的初等变换方法对于A,存在n阶可逆 C,使OAC为对角阵.设C=C1C2…C,其中C1是初等矩阵,(i=1,2,……,s).由于初等矩阵 的转置为同型初等矩阵,所以 CTAC=CS((C(CT AC1)C2).Cs 对A做一系列列的初等变换,再做同样的行的初等变换,就得到与A合同的对角矩阵 我们构造矩阵 A 4做次行的初等变换,就对(E)做次相应的列的初等安换当阵A变为对角时矩阵E 化为可逆阵C A (…(C2(C1AC1)C2)…)C C1C2…C 例3用初等变换法化二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵 0001 0001 112111000 122010 0 1011 000 00 1 001 0 0 0011 0 0 0 1 所以得标准形 (1,y2,y3)=2-n-2
✷ 'o 9.1.1 R+>!YFm"e ( F r0 r ! n [+> f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX, {kL Ek9A+K X = CY J0 g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dry 2 r , (4) (4) 0+> (1) ! ( . 'o 9.1.1 !i~3| X( f A H-!(Zf! . (W A, _ n \k f C, C T AC 0(Zf C = C1C2 · · · Cs, s Ci "ff (i = 1, 2, · · · , s). SW"ff !xq0->"ff&L C T AC = C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs. ( A J4tt!"K^-G!!"Ke X A H-!(Zff 3|=`ff A E , ( A J!"Ke( A E J:Q!t!"K ff A 0(Zfff E J0kf C. A E → C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs C1C2 · · · Cs . 3 R"K,J+> f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 0y> <&R!kKff 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 → 1 1 2 1 0 − 1 4 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 → 1 0 1 0 −1 4 0 1 0 0 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 → 1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 → 1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 −1 1 1 2 −1 0 0 1 &L y? f(x1, x2, x3) = g(y1, y2, y3) = y 2 1 − 1 4 y 2 2 − y 2 3 , 5
递际可逆个性二换方X=CY,本了 下面介传时求法 设4化二明故f(x1,x2,x3)=r1+2x1x2+2x1x3+2x2+8x2x3+5n3方定满故,并写出递作的 个性二换 若先将含有x1的给配方 f(x1,x2,x3)=x1+2n1(x2+x3)+(x2+x3)2-(x2+x3)2+2x2+8x2x3+5x3 1x2 再对后三给了含有x2的给配方,则 f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2+n2+62x3+9n3-5n3=(x1+n2+x3)2+(x2+3x3)2-53 令 Y=BX,本了 013 方可逆矩.故X=B-1Y.即 92 可将阶二明故化方定满关 设5化二明故∫(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3方定满故,并写出递际的可逆二换矩矩 若即二明故了不含平方给,先做可逆个性二换,使得含有平方给,令 1=y1+y =91-92 则有 f(ar )=2-v2+(+v)+(y-v)= v2=(+y)2-v2 再令 2
&Rk9A+K0 X = CY , s C = 1 − 1 2 −1 1 1 2 −1 0 0 1 . 5}` . 4 J+> f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x 2 2 + 8x2x3 + 5x 2 3 0y> X = B−1Y . O x1 = y1 − y2 + 2y3 x2 = y2 − 3y3 x3 = y3 kX\+>J0y? y 2 1 + y 2 2 − 5y 2 3 . 5 J+> f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 0y> s F0;7k9A+K FT0;v x1 = y1 + y2 x2 = y1 − y2 x3 = y3 aT f(x1, x2, x3) = y 2 1 − y 2 2 + (y1 + y2)y3 + (y1 − y2)y3 = y 2 1 + 2y1y3 − y 2 2 = (y1 + y3) 2 − y 2 2 − y 2 3 ^v z1 = y1 + y3 z2 = y2 z3 = y3 6
因 y2=22 得标准形 f(x1,x2,x3) 证用阵矩方 10 001 001 001 即方武上数替身故数阵矩是实对称矩作根据定理8.3.4,实对称阵矩必可正交相似于对域矩.因时在正交 矩Q,使得QAQ方对域矩D,并D数对域元素是A数特征值对于实替身故做可逆线性二换X=QY 若Q是正交阵矩作则称设线性二换方第充线的使换 定传93对R上n元替身故f(x1,x2,…,xn)=X7AX,总可以经过正交线性二换X=QY 方 (,y2,……,n)=A1+A22+…+ 其中λ1,A2,…,λn是实对称矩A数证有特征值 设6用正交线性二换与替身故f(x1,x2,x3)=r1+n3+4x1x2+8x1x3+4x23一成标准形作且 写出证做数正交线性二换 若替身故对应数阵矩是 324 经过计算可作A数特征值方A1=A2=-1,A3=8 为如(-1E-A)X=0数意上在系方a1=(-1,2.,0)x,a2=(-1,0,1)x.做 Schmidt正交一作 得是 61=a1=(-1,2,0)2,B2=a2 61=( 再式位 ,0)2, 2(452 为如(8E-A)X=0数意上在系方a3=(2,1,2).只做式位一作得 2√5√52√5 主
O y1 = z1 − z3 y2 = z2 y3 = z3 y? f(x1, x2, x3) = z 2 1 − z 2 2 − z 2 3 . &Rff0 C = 1 1 0 1 −1 0 0 0 1 1 0 −1 0 1 0 0 0 1 = 1 1 −1 1 −1 −1 0 0 1 . O0 R !+>!ff ( fk9A+K X = QY , Q hYffa 9A+K0 % !. 9.1.3 ( R n [+> f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX, {kL EhY9A+K X = QY J 0 g(y1, y2, · · · , yn) = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , s λ1, λ2,· · ·, λn ( f A !&T)gm 6 RhY9A+KX+> f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 3 + 4x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3 JÆy? (Q!ff A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 . EP%k A !)gm0 λ1 = λ2 = −1, λ3 = 8. 0 (−1E − A)X = 0 !M_40 α1 = (−1, 2, 0)T , α2 = (−1, 0, 1)T . Schmidt hYJ β1 = α1 = (−1, 2, 0)T , β2 = α2 − α T 2 β1 β T 1 β1 β1 = (− 4 5 , 2 5 , 1)T , ^ 1J γ1 = (− √ 5 5 , 2 √ 5 5 , 0)T , γ2 = (− 4 √ 5 15 , − 2 √ 5 15 , √ 5 3 ) T . 0 (8E − A)X = 0 !M_40 α3 = (2, 1, 2)T . p 1J γ3 = (2 √ 5 5 , √ 5 5 , 2 √ 5 5 ) T . v Q = (γ1, γ2, γ3) = − √ 5 5 − 4 √ 5 15 2 √ 5 5 2 √ 5 5 − 2 √ 5 15 √ 5 5 0 √ 5 3 2 √ 5 5 , 7
则 Q=Q-IAQ 008 所以,作正交线性替换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)化为标准形 y2-v2+8y3 例7设f(x1,x2,x2,…,xn)=XAX是实二次型,若detA<0,证明:必存在一组实数a1,a an,使f(a1,a2,……,an)<0. 证明设C为可逆阵使CAC为对角阵B,由于detA<0,则dtB<0.不妨设B的主对角元素 前r个为负,则r为奇数设a=(1,,1(r个1),0,…,0),又令(a1,a2,……,an)=Ca,则 f(e n)=(Ca)A(Ca)=a Ba<o 注意到,对称矩阵在合同下的标准形不唯一.为了深入讨论问题,下节将考虑规范形 习题 1.写出下列二次型的矩阵,并求二次型的秩 (1)f(x1,x2,x3)=2x-n2+4x1x3-2x2x3; 2.求下列矩阵的二次型 222 3.设f(x1,x2,x3)=x+42+43-4x1x2+2ax1x3+2bx2x3的秩为1,求a,b的值 4.求f(x1,x2,x3)=(ax1+bx2+cr3)2的矩阵和秩 5.用矩阵初等变换的方法将二次型化为标准形 (1)f(x1,x2,x3)=2+2n2+2n3-2x1x2+4x2x3; (2)f(x1,x2,x3)=a-32+ 6.用配方法将二次型化为标准形 (1)f(x1,x2,x3)=x1x2+2x1x3; (2)f(x1,x2,x3)=2r1-4n2+4x1x3-2x2x3 7.用正交线性替换的方法将下列实二次型化为标准形
a Q T AQ = Q −1AQ = −1 0 0 0 −1 0 0 0 8 . &LhY9A+K X = QY , +> f(x1, x2, x3) J0y? −y 2 1 − y 2 2 + 8y 2 3 . 7 f(x1, x2, x2, · · · , xn) = XT AX +> detA !ff +>!r (1) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + 4x1x3 − 2x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 − x3x4. 2. 5tff!+> (1) 1 1 3 0 1 3 0 −5 0 −5 3 ; (2) −1 −2 4 −2 2 2 4 2 1 . 3. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 4x 2 2 + 4x 2 3 − 4x1x2 + 2ax1x3 + 2bx2x3 !r0 1 a, b !m 4. f(x1, x2, x3) = (ax1 + bx2 + cx3) 2 !ffGr 5. Rff"K!0,X+>J0y? (1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 − 2x1x2 + 4x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = x 2 1 − 3x 2 2 + x 2 3 + x1x3. 6. R0,X+>J0y? (1) f(x1, x2, x3) = x1x2 + 2x1x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − 4x 2 2 + 4x1x3 − 2x2x3. 7. RhY9A+K!0,X5t+>J0y? 8
(1)f(x1,x2,x3)=2+4n2+n3-41x2-8x1x3-4x2x3; (2)f(x1,x2,x3)=2x2+2n2+2x3-2x1x2-2x1x3-2x2x3 8.设A要反件B,则A可逆示并则示B可逆作这存A-1要反件B-1 9.设A要反件B,C要反件D则 B 0
(1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 4x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3. 8. A H-W B, a A k a B ke A−1 H-W B−1 . 9. A H-W B, C H-W D a A 0 0 C H-W B 0 0 D . 9