厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第九章二次型 §9.1二次型,矩阵的合同,标准形 定义9.1.1数域F上的n元二次齐次多项式 a12+2a12x1x2+…+2a1n1xn +a222+…+2a2nx2xn 称为数域F上的n元二次型,简称二次型 例如,+2x1x2+x2+3和2x1+3xx2+x1x2x3不是二次型,2x+√2x1x3是R上或C 上的二次型,不是Q上二次型 在数域F上的n元二次型与F上的n阶对称矩阵之间存在着一一对应关系 首先,对二次型(1),我们将它改写为矩阵的形式 f( a112i a12T1C2 t'talliN +a2121T2+a2222+.+a2nr2In r1∑=101x+x2∑=1a21+…+n∑=1an可 a11a12 记为 f(x1,x2,…,xn)=X7AX, A=a21a22 anl
-v98# W %T IP %_ 59.77.1.116; Mz gdjpkc.xmu.edu.cn $ " §9.1 " % !&# w 9.1.1 M F " n N,*1 f(x1, x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + 2a12x1x2 + · · · + 2a1nx1xn +a22x 2 2 + · · · + 2a2nx2xn + · · · + · · · + · · · +annx 2 n (1) Æ'M F " n N,4RÆ yt. l x 2 1 + 2x1x2 + x2 + 3 D 2x 3 1 + 3x 2 1x2 + x1x2x3 ,4 2x 2 1 + √ 2x1x3 R I C ",4 Q ,4 QM F " n N,4L F " n X)ÆbX℄QQi??)E>+ .),4 (1), *wT 62'bX"5 f(x1, x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + a12x1x2 + · · · + a1nx1xn +a21x1x2 + a22x 2 2 + · · · + a2nx2xn + · · · + · · · + · · · +an1x1xn + · · · + annx 2 n = x1 Pn j=1 a1jxj + x2 Pn j=1 a2jxj + · · · + xn Pn j=1 anjxj = (x1, x2, · · · , xn) Pn j=1 P a1jxj n j=1 a2jxj . . .Pn j=1 anjxj = (x1, x2, · · · , xn) a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann x1 x2 . . . xn N' f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX, (2) d A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann , X = x1 x2 . . . xn . 1
这里矩阵A是对称矩阵.由此可知,给定一个F上的二次型,我们就得到了一个F上的对称矩阵A,称为 该二次型的矩阵.反过来,若给定数域F上的一个对称矩阵A,则由(2)式,我们可以得到一个F上二次 型,称为对称矩阵A的二次型由于二次型与对称矩阵的一对应关系,我们将矩阵的秩定义为该二次型的 秩以后用(2)式表示二次型总指A是对称阵 例1求下列二次型的矩阵 (1)f(x1,x2,x3)=22+3x1x2+x1x3; (2)f(x1,x2,x3)=2x+3x2+in3 3/21/2 解(1)A=3/200 1/200 (2)A 例2求下列矩阵的二次型. (1)302 021 02 12 解(1)f(x1,x2,x3)=r+6x1x2+4x2x3+3 (2)f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x1x3+4x2x3 (3)f(x1,x2,x3)=2x1+3x2 为了对二次型做进一步的研究,需要引进线性替换的概念 定义9.1.2关系式 T1=c1y1+c12y2+……+C1nyn Tn=Cn1y1+cn2y+…+Cny 称为由变量x1,x2,……,xn到变量1,y 的线性替换 C11C1 Cn1 Cn2 则(3)式可表示为
WjbX A )ÆbXGf\:(?9 F ",4*wa! n?9 F ")ÆbX A, Æ' 5 ytu. .Bh :(M F "?9)ÆbX A, SG (2) *wf! ?9 F , 4Æ' xr A uyt. GK,4L)ÆbX"??)E>+*wTbX" (B'5,4" . FF (2) ,4j` A )ÆX 1 ,o,4"bX (1) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x1x2 + x1x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x 2 2 + ix2 3 . (1) A = 2 3/2 1/2 3/2 0 0 1/2 0 0 ; (2) A = 2 3 i . 2 ,obX",4 (1) 1 3 0 3 0 2 0 2 1 ; (2) 0 1 −1 1 0 2 −1 2 0 ; (3) 2 3 0 . (1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 6x1x2 + 4x2x3 + x 2 3 ; (2) f(x1, x2, x3) = 2x1x2 − 2x1x3 + 4x2x3; (3) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x 2 2 . 'n),4n^? ";`8=D^/7"H"7} w 9.1.2 >+ x1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn x2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · · · · xn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn (3) Æ'Gm x1, x2, · · · , xn m y1, y2, · · · , yn " . N C = c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · cn1 cn2 · · · cnn , X = x1 x2 . . . xn , Y = y1 y2 . . . yn . S (3) f ' X = CY. 2
当C是可逆阵时,线性替换称为可逆线性替换,或称为非退化线性替换 对于二次型f(x1,x2,…,xn)=X7AX做可逆线性替换X=CY,则 f(l,I2,,In)=XAX=(CY)A(CY)=YBY 其中B=CAC.因为A是对称阵,所以B也是对称阵,故YTBY定义了二次型,记为 g(y,y2,…,)=YTB 定理9.1.1二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX经过可逆线性替换X=CY化为9(1,y,…,n) YTBY的充分必要条件是CTAC 定义9.1.3设A,B是数域F上的n阶矩阵,若存在n阶可逆阵C,使B=CAC,则称B A合同,记为A~B 命题9.1.1Fm×上合同关系满足(1)反身性,即A~A;(2)对称性,即如果A~B,则B~A; (3)传递性,即如果A~B,B~C,则A~C 矩阵的合同必是相抵.所以合同的矩阵有相同的秩 合同的定义并没有要求对称阵.注意到,若A是对称矩阵且B与A合同,则B是对称矩阵.我们主 要关注数域F上对称阵的合同关系 二次型的基本问题是寻找一个可逆线性替换,化为一个只含平方项的二次型 g(2y2,…,yn)=d1+d2y2+…+dn2 相应地,对于对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使得CAC是对角阵 引理9.1.1设A是数域F上的非零对称矩阵,则必存在可逆矩阵C,使CAC的第(1,1)元素不等 于零 证明若α11=0,而αⅱ≠0,则用行初等变换将第一行与第讠行对换,再将第一列与第i列对换, 得到的矩阵的第(1,1)元素不为零.上述初等变换过程相当于左乘一个E(1,),再右乘E(1,i),得到矩阵 E(1,i)AE(1,i)=E(1,i)AE(1,i),它合同于A 若所有的an=0,1≤i≤n.设a≠0,i≠j,将A的第j行加到第i行上去,再将第j列加到第讠 为A是对称矩阵,a=叫≠0,于是第(,i)元素是2ai且不为零上述初等变换过程相当于左乘 初等矩阵E(i,j(1),再右乘E((1),得到的新矩阵E(i,j(1)AE(i,j(1)=E(,i(1)AE(i,j(1) 它合同于A.归结为上面情况 用数学归纳法,我们知道F上任意对称阵必合同于对角 定理9.1.2设A是数域F上秩为r的n阶对称矩阵, 存在F上的n阶可逆阵C,使得 CAC={d1,d2,……,d-,0,…,0} 证明由引理911,不妨设=(a1)中a11≠0.若ai1≠0.则可将第一行乘以一a1lan1加到第i 行上,再将第一列乘以-a11an加到第i列上.由于an=a1,故得到的矩阵的第(1-,i)元素及第(,1)
C f|X/7"HÆ' , IÆ' | ~ . )K,4 f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX nf|/7"H X = CY , S f(x1, x2, · · · , xn) = X T AX = (CY ) T A(CY ) = Y T BY, d B = C T AC. C' A )ÆX B >)ÆX= Y T BY (Bn,4N' g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY. w 9.1.1 ,4 f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX _Bf|/7"H X = CY G' g(y1, y2, · · · , yn) = Y T BY "3=#S C T AC = B. w 9.1.3 A, B M F " n XbX Q n Xf|X C, B = C T AC, SÆ B L A} , N' A ∼ B. 9.1.1 F n×n E$>+tk (1) .7M A ∼ A; (2) )Æ7M A A ∼ B, S B ∼ A; (3) '7M A A ∼ B, B ∼ C, S A ∼ C. bX"E$0$ E$"bXH0$" E$"(B uH=)ÆXfA A )ÆbX B L A E$S B )ÆbX*we =>fM F )ÆX"E$>+ ,4"J)!:V?9f|/7"HG'?9aC01",4 g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n. 0E%)K)ÆbX A, :Vf|bX C, ! C T AC )VX 9.1.1 A M F "2p)ÆbXSQf|bX C, C T AC "& (1, 1) N # Kp a11 = 0, + aii 6= 0, SF6#HT&?6L& i 6)HPT&?oL& i o)H ! "bX"& (1, 1) N 'p #HB0 Km?9 E(1, i), PI E(1, i), ! bX E(1, i)AE(1, i) = E(1, i) T AE(1, i), E$K A. H" aii = 0, 1 ≤ i ≤ n. aji 6= 0, i 6= j, T A "& j 6O & i 6 PT& j oO & i oC' A )ÆbXaji = aij 6= 0, K& (i, i) N 2aij 'p #HB0 Km #bX E(i, j(1)), PI E(j, i(1)), ! "3bX E(i, j(1))AE(i, j(1)) = E(j, i(1))T AE(i, j(1)), E$K A. Z' xg ✷ F9{-*w\ F A)ÆXE$K)VbX w 9.1.2 A M F ' r " n X)ÆbXSQ F " n Xf|X C, ! C T AC = {d1, d2, · · · , dr, 0, · · · , 0}. GDi 9.1.1, 1 A = (aij ) d a11 6= 0. ai1 6= 0, SfT&?6 −a −1 11 ai1 O & i 6 PT&?o −a −1 11 ai1 O & i o GK ai1 = a1i , =! "bX"& (1, i) N L& (i, 1) 3
元素均等于零,2≤i≤n.由于E(,(1)AE(i,j(1))合同于A,可知得到的矩阵与A是合同的且是 对称的.这样,A合同于下列矩阵 100 0 0 b 上式右下角是一个n-1阶对称矩阵,记为A1,则上面矩阵可记为 0 A 即存在n阶可逆阵Cl,使得 CAC a110 0A1 根据归纳假设,存在n-1阶可逆矩阵C2,使CA1C2=D为对角阵 10 则C是n阶可逆阵,且 C AC 0 C Ci AC1 10 a110 10 0 是一个对角阵.因此,A合同于一对角阵 定理91.1对F上秩为r的n元二次型f(x1,x2,…,xn)=X7AX,总可以经过可逆线性替换 X=CY化为 g(v,y2,…,y)=d1v2+d22+…+dy2 式(4)称为二次型(1)的标准型 从定理9.1.1的证明,我们得到求与对称阵A合同的对角阵的初等变换方法、对于A,存在n阶可逆 阵C;使C'AC为对角阵。设C=C1C2…Cs,其中C;是初等矩阵,1≤i≤s.由于初等矩阵的转置 为同型初等矩阵,所以 AC=C(…(C2(CAC1)C2)…)C 对A做一系列列的初等变换,再做同样的行的初等变换,就得到与A合同的对角矩阵 我的购碎()对A做欢行的初学变热对()做次列的等变换当烟降A变 为对角阵时,矩阵E化为可逆阵C C(…(C(CTAC)C2)…)C E C1C2……C
N d#Kp 2 ≤ i ≤ n. GK E(j, i(1))T AE(i, j(1)) E$K A, f\! "bXL A E$" )Æ"W< A E$K,obX a11 0 0 · · · 0 0 b22 b23 · · · b2n 0 b32 b33 · · · b3n · · · · · · · · · · · · · · · 0 bn2 bn3 · · · bnn . I,V?9 n − 1 X)ÆbXN' A1, S xbXfN' a11 0 0 A1 . MQ n Xf|X C1, ! C T AC = a11 0 0 A1 . ; {PQ n − 1 Xf|bX C2, C T 2 A1C2 = D ')VX N C = C1 1 0 0 C2 , S C n Xf|X C T AC = 1 0 0 C2 T C T 1 AC1 1 0 0 C2 = 1 0 0 C2 T a11 0 0 A1 1 0 0 C2 = a11 0 0 D ?9)VXC A E$K?)VX ✷ w 9.1.1’ ) F ' r " n N,4 f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX, jf_Bf|/7"H X = CY G' g(y1, y2, · · · , yn) = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dry 2 r , (4) (4) Æ',4 (1) " q. (i 9.1.1 "[y*w! L)ÆX A E$")VX" svp{z. )K A, Q n Xf| X C, C T AC ')VX C = C1C2 · · · Cs, d Ci #bX 1 ≤ i ≤ s. GK#bX"gb '$4#bX C T AC = C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs. ) A n?+oo"#HPn$<"6"#Ha! L A E$")VbX *w<RbX A E , ) A n?6"#Ha) A E n?o"#H bX A ')VXbX E G'f|X C. A E → C T s (· · ·(C T 2 (C T 1 AC1)C2)· · ·)Cs C1C2 · · · Cs . 4
例3用初等变换法化二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵 解 121-2000 122000 0 1 01 01 111 1201 0 110 001 00 001 001 0 101110 00001 0110 I00-00 00110 所以得标准形 所用可逆线性替换为X=CY,其中 1 下面介绍配方法 例4化二次型f(x1,x2,x3)=r1+2x1x2+2x1x3+22+8x2x3+53为标准型,并写出所作的 线性替换 解先将含有x1的项配方 f(x1,x2,x3)=x+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2-(x2+x3)2+2n2+8x2x3+5x3 =(x1+x2+x3)2+a2+6x2x3+4x 再对后三项中含有x2的项配方,则 f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2+2+6x2x3+9x3-5n3=(x1+x2+x3)2+(x2+3x3)2-5r3 y1=x1+r2+x3 y/2 x2+3x 即Y=BX,其中 013 001
3 F#H-G,4 f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 ' h4 2 F"f|HbX 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 → 1 1 2 1 0 −1 4 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 → 1 0 1 0 −1 4 0 1 0 0 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 → 1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 → 1 0 0 0 −1 4 0 0 0 −1 1 − 1 2 −1 1 1 2 −1 0 0 1 ! h5 f(x1, x2, x3) = g(y1, y2, y3) = y 2 1 − 1 4 y 2 2 − y 2 3 , Ff|/7"H' X = CY , d C = 1 −1 2 −1 1 1 2 −1 0 0 1 . ,x\Æ {z. 4 G,4 f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x 2 2 + 8x2x3 + 5x 2 3 ' h4 2 o" /7"H .TCH x1 "1~0 f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x1(x2 + x3) + (x2 + x3) 2 − (x2 + x3) 2 + 2x 2 2 + 8x2x3 + 5x 2 3 = (x1 + x2 + x3) 2 + x 2 2 + 6x2x3 + 4x 2 3 P)F 1dCH x2 "1~0S f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) 2 + x 2 2 + 6x2x3 + 9x 2 3 − 5x 2 3 = (x1 + x2 + x3) 2 + (x2 + 3x3) 2 − 5x 2 3 q y1 = x1 + x2 + x3 y2 = x2 + 3x3 y3 = x3 M Y = BX, d B = 1 1 1 0 1 3 0 0 1 5
为可逆阵故X=B-1Y.即 x2=y2-3y3 可将原二次型化为标准形 例5化二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3为标准型,并写出所用的可逆替换矩阵 解因二次型中不含平方项,先做可逆线性替换,使得含有平方项,令 y1+y2 2=y1- 则有 f(x1,x2,x3)=2-v2+(+v)+(1-y2)y3=v2+2y3-v=(1+2-v2-3 再令 22=y 29 得标准形 f(x1,x2,x3)=22-2-2 所用矩阵为 001 010 因为R上的二次型的矩阵是实对称阵,根据上节的结论,实对称矩阵必可正交相似于对角阵.即存在正交 阵T,使得TAT为对角阵D,且D的对角元素是A的特征值.对于实二次型做可逆线性替换X=TY, 若T是正交矩阵,则称此线性替换为正交线性替换 定理912对R上n元二次型f(x1,x2,…,xn)=X7AX,总可以经过正交线性替换X=TY化 g(y,y2,…,yn)=A1+22+…+ 其中λ,1≤i≤n,是实对称阵A的所有特征值. 例6用正交线性替换将二次型f(x1,x2,x3)=+3+4x1x2+8x1x3+4x2x3化成标准形,并 写出所做的正交线性替换
'f|X= X = B−1Y . M x1 = y1 − y2 + 2y3 x2 = y2 − 3y3 x3 = y3 fTO,4G' h5 y 2 1 + y 2 2 − 5y 2 3 . 5 G,4 f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 ' h4 2 F"f|"HbX C,4d C01.nf|/7"H!CH01q x1 = y1 + y2 x2 = y1 − y2 x3 = y3 SH f(x1, x2, x3) = y 2 1 − y 2 2 + (y1 + y2)y3 + (y1 − y2)y3 = y 2 1 + 2y1y3 − y 2 2 = (y1 + y3) 2 − y 2 2 − y 2 3 Pq z1 = y1 + y3 z2 = y2 z3 = y3 M y1 = z1 − z3 y2 = z2 y3 = z3 ! h5 f(x1, x2, x3) = z 2 1 − z 2 2 − z 2 3 . FbX' C = 1 1 0 1 −1 0 0 0 1 1 0 −1 0 1 0 0 0 1 = 1 1 −1 1 −1 −1 0 0 1 . C' R ",4"bX)ÆX; Y"Zs)ÆbXfZU0K)VXMQZU X T , ! T TAT ')VX D, D ")VN A " Y^)K,4nf|/7"H X = T Y , T ZUbXSÆ/7"H' . w 9.1.2 ) R n N,4 f(x1, x2, · · · , xn) = XTAX, jf_BZU/7"H X = T Y G ' g(y1, y2, · · · , yn) = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , d λi , 1 ≤ i ≤ n, )ÆX A " H Y^ 6 FZU/7"HT,4 f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 3 + 4x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3 G h5 2 n"ZU/7"H 6
解二次型对应的矩阵是 02 423 由上一章知,A的特征值为A1=A2=-1,A3=8 方程(-1E-A)X=0的基础解系为a1=(-1,2.0),a2=(-1,0,1)r.做 Schmidt正交化, 得到 B1 1,2,0)2,B2 再单位化得 0)2,m2=( 4√52 方程(8E-A)X=0的基础解系为a3=(2,1,2).只做单位化,得 2√5√52√5 令 3 100 AP=P-lAP 0 所以,作正交线性替换x=Py,二次型f(x1,x2,x3)化为标准形 v-y2+83 例7设f(x1,x2,x2,…,xn)=X7AX是实二次型,若detA<0,证明:必存在一组实数a1,a2, an,使f(a1,a2,……,an)<0. 证明设C为可逆阵使CAC为对角阵B,由于detA<0,则detB<0.不妨设B的主对角元素 个为负,则r为奇数设a=(1,,1,0,,0),其中有r个1,又令(a1,a f(e 注意到和对称矩阵合同的对角阵不唯一.为了深入讨论问题,下节将考虑规范形. 习题 1.写出下列二次型的矩阵,并求二次型的秩 (1)f(x1,x2,x3)=2-22+4x1x3-2r2x3 (2)f(x1,x2,x3)=2x1x2+2r1x3+2x1x4-x3x4 2.求下列矩阵的二次型
,4)E"bX A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 . G ?U\ A " Y^' λ1 = λ2 = −1, λ3 = 8. 0 (−1E − A)X = 0 "J[+' α1 = (−1, 2, 0)T , α2 = (−1, 0, 1)T . n Schmidt ZUG ! β1 = α1 = (−1, 2, 0)T , β2 = α2 − α T 2 β1 β T 1 β1 β1 = (− 4 5 , 2 5 , 1)T , P (G! γ1 = (− √ 5 5 , 2 √ 5 5 , 0)T , γ2 = (− 4 √ 5 15 , − 2 √ 5 15 , √ 5 3 ) T . 0 (8E − A)X = 0 "J[+' α3 = (2, 1, 2)T . an (G! γ3 = (2 √ 5 5 , √ 5 5 , 2 √ 5 5 ) T . q P = (γ1, γ2, γ3) = − √ 5 5 − 4 √ 5 15 2 √ 5 5 2 √ 5 5 − 2 √ 5 15 √ 5 5 0 √ 5 3 2 √ 5 5 , S P T AP = P −1AP = −1 0 0 0 −1 0 0 0 8 . oZU/7"H x = P y, ,4 f(x1, x2, x3) G' h5 −y 2 1 − y 2 2 + 8y 2 3 . 7 f(x1, x2, x2, · · · , xn) = XT AX ,4 detA < 0, [yQ?l a1, a2, . . ., an, f(a1, a2, . . . , an) < 0. C 'f|X C T AC ')VX B, GK detA < 0, S detB < 0. 1 B "e)VN r 9'4S r ' α = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0)T , dH r 9 1, Jq (a1, a2, . . . , an) T = Cα, S f(a1, a2, . . . , an) = (Cα) T A(Cα) = α T Bα < 0. fA D)ÆbXE$")VX &?'n s)!,YTer?/5 Æ 1. 2,o,4"bX ,4" (1) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + 4x1x3 − 2x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 − x3x4. 2. ,obX",4 7
3.设f(x1,x2,x3)=x2+4n2+4n3-4x1x2+2ax1x3+2bx2x3替秩为1其求a,b替值 4.求f(x1,x2,x3)=(ar1+br2+cx3)2替矩阵和秩 5.用实等变有替相法将二次型化为标准形 (2)f(x1,x2,x3)=a-3x2+r+x1 6.用配相法将二次型化为标准形 (1)f(x1,x2,x3)=x1x2+2x1x3; 7.用正交线性替有替相法将二次型化为标准形 (1)f(x1,x2,x3)=x2+4n2+n3-4x1x2-8x1x3-4x2x3 (2)f(x1,x2,x3)=21+2n2+2n3-2x1x2-2x1x3-22x3 8.设A~B,则A可逆当且仅当B可逆其这时A-1~B 9.设A~B,C~D则 O D 10.设二次型f(x1,x2,x3)=ax1+22-2n3+2bx1x3,其中二次型替矩阵A替特征值之和为1, 特征值之于为-12 (1)求a,b替值且 (2)利用正交变有将二次型∫化为标准型其写使所用替正交变有替正交矩阵
(1) 1 1 3 0 1 3 0 −5 0 −5 3 (2) −1 −2 4 −2 2 2 4 2 1 3. f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 4x 2 2 + 4x 2 3 − 4x1x2 + 2ax1x3 + 2bx2x3 " ' 1 a, b "^ 4. f(x1, x2, x3) = (ax1 + bx2 + cx3) 2 "bXD 5. F#H"0-T,4G' h5 (1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 − 2x1x2 + 4x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = x 2 1 − 3x 2 2 + x 2 3 + x1x3. 6. F~0-T,4G' h5 (1) f(x1, x2, x3) = x1x2 + 2x1x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − 4x 2 2 + 4x1x3 − 2x2x3. 7. FZU/7"H"0-T,4G' h5 (1) f(x1, x2, x3) = x 2 1 + 4x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3; (2) f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3. 8. A ∼ B, S A f| ℄ B f|W A−1 ∼ B−1 . 9. A ∼ B, C ∼ D S A O O C ∼ B O O D . 10. ,4 f(x1, x2, x3) = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3, d,4"bX A " Y^℄D' 1, Y^℄K' −12. (1) a, b "^ (2) kFZUHT,4 f G' h42 F"ZUH"ZUbX 8