厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §7.7若当标准型的进一步讨论 教学目的与要求从线性空间的角度理解 ordan标准型的几何意义;理解 Jordan 标准型的若干数量对应的几何意义;了解第一分解定理和第二分解定理;掌握根子 空间,循环子空间的概念;理解循环子空间是最小的不变子空间.学会用 Jordan标 准型解决一些问题. 设φ是C上n维线性空间V的线性变换,φ的初等因子组为 A-A),(入-A2)2,…,(入-A), 则存在V的一组基51,52,…,5n,使得 J2 y(51,52,……,5n)=(51,52,…,5n) 其中J= 是相应于(-A)的若当块 入 第二分解定理 令ⅵ=L(51,2,…,5n1),则 p(51)=入151 (1)y(s2)=h2+51, y(5n1)=A15n1+5n1-1, 故φ(V)sV,即ⅵ是φ子空间.同理,令V=L(51+1,51+2,…,52+), n1+r2+…+r-1,即V对应若当块J,对应初等因子(A-入),则v是φ子 空间,故有V=V⊕V⊕…⊕V是φ-子空间的直和分解
H X*#2b >t IP +~ 59.77.1.116; p gdjpkc.xmu.edu.cn § 7.7 %ÆS(g_8 Æ LUp℄(a/tf Jordan ÆS(XLb tf Jordan ÆS( ?1y1g(XLb zf,_tfYOp℄. P( p℄WRi Jordan Æ Sfl_QB: $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Q ϕ ()e (λ − λ1) r1 ,(λ − λ2) r2 , · · · ,(λ − λk) rk , s r V (_ S ξ1, ξ2, · · · , ξn, *' ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) J1 J2 . . . Jk , Ji = λi 1 . . . . . . . . . 1 λi ri .Mgm (λ − λi) ri ( %q _,5<f-t } V1 = L(ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ), s (1) ϕ(ξ1) = λ1ξ1, ϕ(ξ2) = λ1ξ2 + ξ1, · · · ϕ(ξr1 ) = λ1ξr1 + ξr1−1, D ϕ(V1) ⊆ V1, W V1 . ϕ- p℄<t} Vj = L(ξtj+1, ξtj+2, · · · , ξtj+rj ), tj = r1 + r2 + · · · + rj−1, W Vj 1g %q Jj , 1g)e (λ − λj ) rj , s Vj . ϕ- p℄Dk V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . ϕ- p℄(|K<f 1
由(1)式可得 (y2-A1id)s1=0, (y2-A1id)52=51, (y-入1id)sn1=5r 记a=n1,v=y-1id,则 5r-2=v2(a 51=v-(a) 0=v( 即a,v(a),v2(a),…,v-a)构成V的基,且v(a)=0 定义1V的r维子空间V称为线性变换v的循环子空间,若存在a∈V, 使a,v(a),v2(a),…,vr-(a)为V的一组基且wr(a)=0,此时,称vr-1(a), v-2(a),…,v(a),a为V的循环基 注1循环子空间是ψ-子空间 定理1设φ是C上n维空间V的线性变换,设φ的初等因子为 A-A),(入-A2)2,…,(A-A)”, 则V=ⅵ⊕V⊕…⊕V,这里v是维数为r;的关于(φ-λid)的循环子空间 二.第一分解定理 将定理1中属于λ的循环子空间加在一起构成V的一个子空间, R(A1)=V…⊕V 其中ⅵ对应J,对应(X-A),1≤i≤t,则V=R(A1)⊕R(A2)…⊕R(A),这 里A1,A2,…,入是φ的全部不同的特征值,dimR(A)=A在f()中的重数(λ 的代数重数) 引理1R(A1)={v∈W|(9-A1id)2(v)=0},l1=max{r1,r2,…,r} 证明对任意的∈V,1≤i≤t,(9-A1id)(v)=0,所以R(A)s{ (y-Aid)2(v)=0}
j (1) +o' (ϕ − λ1id)ξ1 = 0, (ϕ − λ1id)ξ2 = ξ1, · · · , (ϕ − λ1id)ξr1 = ξr1−1, Y α = ξr1 , ψ = ϕ − λ1id, s ξr−1 = ψ(α), ξr−2 = ψ 2 (α), · · · , ξ1 = ψ r−1 (α), 0 = ψ r (α), W α, ψ(α), ψ2 (α), · · · , ψr−1 (α) C V1 (S ψ r (α) = 0. 1 V ( r Ap℄ V0 LU Q ψ (YOp℄ r α ∈ V0, * α, ψ(α), ψ2 (α), · · · , ψr−1 (α) V0 (_ S ψ r (α) = 0, ( ψ r−1 (α), ψ r−2 (α), · · · , ψ(α), α V0 (YOS 1 YOp℄. ψ- p℄ 1 $ ϕ . C " n Ap℄ V (LU Q$ ϕ ()e (λ − λ1) r1 ,(λ − λ2) r2 , · · · ,(λ − λk) rk , s V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, vu Vi .A1 ri (Em (ϕ − λiid) (YOp℄ 5,_<f-t _-t 1 0m λ1 (YOp℄[r_C V (_Ap℄ R(λ1) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vt , Vi 1g Ji , 1g (λ − λi) ri , 1 ≤ i ≤ t, s V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs), v u λ1, λ2, · · · , λs . ϕ (<(9x} dimR(λi) = λi r fϕ(λ) (1 (λi ("11). 1 R(λ1) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) l1 (v) = 0}, l1 = max{r1, r2, · · · , rt}. 1 b( v ∈ Vi , 1 ≤ i ≤ t,(ϕ − λ1id) ri (v) = 0, 6` R(λ1) ⊆ {v ∈ V |(ϕ − λ1id) l1 (v) = 0}. 2
反之,因V,1≤j≤k是φ子空间,因而也是(-A1id)-子空间设 V(9-A1id)4()=0,在U=n1+2+…+k,v∈V中假设0≠v∈V,t<j≤k 设V的基为5h+1,5h+2,……,5h+r;,h=n1+…+r-1,则 5h+r)=(5h+1,5h+2,…,5h+;) 所以 入;-A11 (y-A1il)2(5h+1,…,5h+n)=(5h+1,…5h+) 11 因为入≠A,所以 为可逆矩阵,故(y-A1id) 入-A1 在 V的限制映射为可逆映射,故(-A1id)(vy)≠0.因为v=V⊕V田…⊕V是 (y-A1id)-不变子空间的直和分解,所以(-A1id)u≠0,矛盾 这就证明了v在不属于A1的每个循环子空间的分量为零,故U∈R(A1) 注2从证明过程中可以看出引理中R(A1)={v∈V|(y-Aid)m(v)=0} 定义2设A是C上n维空间上线性变换φ的特征根,则R(0)={∈ V|(φ-λ1id)n()=0}构成V的子空间,称为属于特征根入o的根子空间 注3根子空间是φ-子空间. 注4R(0)=ker(y-Aidn 注5R(AM0)可表为若干个循环子空间的直和,每个循环子空间对应一个若当块 上面引理1对其余R(A)也成立,故有:
8{e Vj , 1 ≤ j ≤ k . ϕ- p℄e4℄. (ϕ − λ1id) l1 - p℄$ v ∈ V,(ϕ−λ1id) l1(v) = 0, r v = v1+v2+· · ·+vk, vi ∈ Vi \$ 0 6= vj ∈ Vj , t < j ≤ k, $ Vj (S ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj , h = r1 + · · · + rj−1, s ϕ(ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj ) λj 1 . . . . . . . . . 1 λj , 6` (ϕ − λ1id) l1 (ξh+1, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, · · · , ξh+rj ) λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1 l1 , e λj 6= λ1, 6` λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1 l1 oiwD (ϕ − λ1id) l1 r Vj (Kh#oh#D (ϕ − λ1id) l1 (vj ) 6= 0. e V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . (ϕ − λ1id) l1 - p℄(|K<f6` (ϕ − λ1id) l1 v 6= 0, 2 vhyz v r0m λ1 (AYOp℄(<y{D v ∈ R(λ1). 2 2 yIo`nft R(λ1) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0}. 2 $ λ0 . C " n Ap℄"LU Q ϕ (9xBs R(λ0) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0} C V (p℄0m9xB λ0 (Bp℄ 3 Bp℄. ϕ- p℄ 4 R(λ0) = ker(ϕ − λ1id) l . 5 R(λ0) o ?AYOp℄(|KAYOp℄1g_A %q "ft 1 1n R(λi) ℄wDk 3
定理2设φ是C上n维线性空间V的线性变换,φ的不同特征值为A1 则 R(A入1)⊕R(A2)⊕…⊕R(入) 其中R(A)是入的根子空间,dimR(A)=入的代数重数,R(A)可表为若干个循 环子空间的直和 特征子空间 记A为9的特征根,V1={∈Vp(v)=A1}是A1的特征子空间,显然有 Vx1sR(A1)=V⊕…⊕V,那么V1在哪里呢? 因为Ⅵ是φ-子空间,记≤1,52,…,5n1是V的循环基 ylh(51,52,…,5n)=(51,2,…,5n) 入 易知1∈Vx1,又因为r(入1I-J1)=r1-1,所以V中只有一个线性无关的特征向 量.同理,V,1≤j≤t中只有一个线性无关特征向量 进一步,51,5n1+1,5n1+n+1,…,5n+…+m1-1+1,这t个向量来自R(A1)的不同直 和项,它们是线性无关的属于入1的特征向量.又因为 入1In1-J 入1Ir2-J2 入1I-J 因为 r(1l2-J) 7-1;1≤j≤ ;t<i<k 故r(1I-J)=1+2+…+rk-t=n-t,所以dimV1=t.这样51,5n1+1,5n1+2+1 ,5n1+…+1-1+1构成V1的基 引理2φ的若干标准形中属于特征值λ的若当块的个数等于λ的几何重数! 注6φ的所有特征值的几何重数等于代数重数 兮φ的若当标准形中属于λ的若当块数等于属于λ的若当块的阶数之和;
2 $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Qϕ (<9x} λ1, λ2, · · · , λs, s V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs) R(λi) . λi (Bp℄ dimR(λi) = λi ("11 R(λi) o ?AY Op℄(|K !9xp℄ Y λ1 ϕ (9xB Vλ1 = {v ∈ V |ϕ(v) = λ1v} . λ1 (9xp℄J k Vλ1 ⊆ R(λ1) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vt , Vλ1 r u e V1 . ϕ- p℄Y ξ1, ξ2, · · · , ξr1 . V1 (YOS ϕ|V1 (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ) = (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ) λ1 1 . . . . . . . . . 1 λ1 r1 az ξ1 ∈ Vλ1 , le r(λ1I − Jλ1 ) = r1 − 1, 6` V1 k_ALUEE(9xO y<t Vj , 1 ≤ j ≤ t k_ALUEE9xOy g_ ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · · , ξr1+···+rt−1+1, v t AOys R(λ1) (<| KN7.LUEE(0m λ1 (9xOyle λ1I − J = λ1Ir1 − J1 λ1Ir2 − J2 . . . λ1Irk − Jk , e r(λ1Irj − Jj ) = rj − 1; 1 ≤ j ≤ t rj ;t < j < k D r(λ1I −J) = r1+r2+· · ·+rk−t = n−t, 6` dimVλ1 = t. v[ ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · ·, ξr1+···+rt−1+1 C Vλ1 (S 2 ϕ ( ?ÆT0m9x} λi ( %q(A1)m λi (XL1 6 ϕ (6k9x}(XL1)m"11 ⇔ ϕ ( %ÆT0m λi ( %q1)m0m λi ( %q(d1{K 4
兮J是对角阵; 兮φ可对角化 四.V的不可分解性 取Ⅵ的基ξ1,52,…,5r, y(51,2,…,5)=(51,52,…,5r) 引理3(1)V中包含￡的φ子空间只有V本身 (2)Ⅵ的任意φ子空间均包含51 (3)V不能分解成为两个非平凡的φ子空间的直和 证明y(51)=A151,y(5)=A15a+-1,2≤i≤r (1)设W是Ⅵ的包含5的φ子空间,y(5r)=A15r+5-1,所以5-1∈W, 进一步有51,52,…,s∈W,所以W=V (2)设W是V的φ子空间,任意0≠a∈Wa=a151+…+an5r ar,ar-1,……,a1中,不妨设第一个不为0的是a,即a=a151+…+a52,由 y(a)-A1a∈W,可得a1=a251+…+ak5-1∈W,由y(a1)-Aa1∈W,可 得a2=a351+…+a15-2∈W,继续做下去,可得a151∈W,因为a1≠0,所以 51∈W (3)由(2)即得 定理3设V=V1⊕V2⊕…⊕V,V是(y-λid)的循环子空间,则v不可分 解为两个非平凡的φ-子空间的直和 五.空间分解为根子空间的直和的直接证明 定理4设φ是C上n维空间V的线性变换, )=(A-A1)2(A-A2)2…(X-入 其中A1,A2,…,A是的全部互异特征值.设R(A)=Ker(y-Ad)4,记 9()=m2()/(X-x)=I(-
⇔ J .1aw ⇔ ϕ o1aN 3 Vi (o<fU V1 (S ξ1, ξ2, · · · , ξr, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξr) = (ξ1, ξ2, · · · , ξr) λ1 1 . . . . . . . . . 1 λ1 . 3 (1) V1 J ξr ( ϕ- p℄k V1 % (2) V1 ( b ϕ- p℄m J ξ1. (3) V1 Æ<fxA;7( ϕ- p℄(|K ϕ(ξ1) = λ1ξ1, ϕ(ξi) = λ1ξi + ξi−1, 2 ≤ i ≤ r. (1) $ W . V1 ( J ξr ( ϕ- p℄ ϕ(ξr) = λ1ξr + ξr−1, 6` ξr−1 ∈ W, g_k ξ1, ξ2, · · · , ξr ∈ W, 6` W = V1. (2) $ W . V1 ( ϕ- p℄ b 0 6= α ∈ W, α = a1ξ1 + · · · + arξr, ar, ar−1, · · · , a1 :$,_A 0 (. ai , W α = a1ξ1 + · · · + aiξi , j ϕ(α) − λ1α ∈ W, o' α1 = a2ξ1 + · · · + aiξi−1 ∈ W, j ϕ(α1) − λ1α1 ∈ W, o ' α2 = a3ξ1 + · · · + aiξi−2 ∈ W, ZV Go' aiξ1 ∈ W, e ai 6= 0, 6` ξ1 ∈ W. (3) j (2) W' 3 $ V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, Vi . (ϕ − λiid) (YOp℄s Vi o< fxA;7( ϕ- p℄(|K Fp℄<fBp℄(|K(| y 4 $ ϕ . C " n Ap℄ V (LU Q mϕ(λ) = (λ − λ1) l1 (λ − λ2) l2 · · ·(λ − λs) ls , λ1, λ2, · · · , λs . ϕ (Md9x}$ R(λi) = Ker(ϕ − λiid) li , Y gi(λ) = mϕ(λ)/(λ − λ) li = Y j6=i (λ − λj ) lj , 5
则(1)Img(y)=Ker(y9-A2id)(=R(A入); (2)V=R(A1)⊕R(A2)④…⊕R(入) 证明因为A1,A2…,λ。互不相同,所以(91(入),92(),…,9()=1,故存在 u1(),u2(入),…,us(入),使得 91()u1(入)+92(入)u2()+…+9(入a(=1 故 I=91(y)u1(y)+g2(y)u2(y)+…+g(g)u(y) 这样,对任意v∈V,就有 U=91(y)u1(y)(v)+g2(y)u2(y)(v)+…+gs(y)u(y)(v)∈Img1(y)+…+Img(y) 所以V=Imgn(y)+…+Img(y) 下面证明Ig(y)=Ker(-入I)4,1≤i≤s, 因为m()=(X-入)91(入),所以Img:(y)sKer(9-A1).反之,设U Ker(y-A),因为(X-A)49/(),≠j,所以9(9)()=0,故 U=91(y)u1(y9)(v)+92(y)u2(9)(t)+…+9(9)u(y)(v)=9(y)ui(y)(v) 所以Ker(y9-A)gImg(y2). 综上,知V=R(A1)+R(A2)+…+R(As) 为证明这个和是直和,设0=1+2+…+,v∈R(A),从上面证明过程知 U2=91(y)u(9)(t2),所以 0=9(y)u(y)t+t2+…+ts)=9(y)u(y)(v)=t 这样v=0,1≤i≤s,即零向量表示法唯一,故 V=R(A1)R(A2)…⊕R(入) 六.第二分解定理的直接证明 引理4设ψ是数域F上有限维线性空间W的幂零变换.设g(x)∈Fx]且 x十9(x),则g(v)可逆且逆也是v的多项式
s (1) Imgi(ϕ) = Ker(ϕ − λiid) li (= R(λi)); (2) V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs). e λ1, λ2, · · · , λs MM<6` (g1(λ), g2(λ), · · · , gs(λ)) = 1, D r u1(λ), u2(λ), · · · , us(λ), *' g1(λ)u1(λ) + g2(λ)u2(λ) + · · · + gs(λ)us(λ) = 1, D I = g1(ϕ)u1(ϕ) + g2(ϕ)u2(ϕ) + · · · + gs(ϕ)us(ϕ), v[1 b v ∈ V, hk v = g1(ϕ)u1(ϕ)(v)+ g2(ϕ)u2(ϕ)(v)+ · · ·+ gs(ϕ)us(ϕ)(v) ∈ Img1(ϕ)+ · · ·+Imgs(ϕ). 6` V = Img1(ϕ) + · · · + Imgs(ϕ). Gy Imgi(ϕ) = Ker(ϕ − λiI) li , 1 ≤ i ≤ s, e mϕ(λ) = (λ − λi) ligi(λ), 6` Imgi(ϕ) ⊆ Ker(ϕ − λiI) li . 8{$ v ∈ Ker(ϕ − λiI) li , e (λ − λi) li |gj (λ), i 6= j, 6` gj (ϕ)(v) = 0, D v = g1(ϕ)u1(ϕ)(v) + g2(ϕ)u2(ϕ)(v) + · · · + gs(ϕ)us(ϕ)(v) = gi(ϕ)ui(ϕ)(v), 6` Ker(ϕ − λiI) li ⊆ Imgi(ϕ). "z V = R(λ1) + R(λ2) + · · · + R(λs). yvAK.|K$ 0 = v1 + v2 + · · · + vs, vi ∈ R(λi), "yIz vi = gi(ϕ)ui(ϕ)(vi) , 6` 0 = gi(ϕ)ui(ϕ)(v1 + v2 + · · · + vs) = gi(ϕ)ui(ϕ)(vi) = vi , v[ vi = 0, 1 ≤ i ≤ s, W{Oy,6?_D V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs). 2 ~,5<f-t(| y 4 $ ψ .1o F "kKALUp℄ W ({ Q$ g(x) ∈ F[x] x ∤ g(x), s g(ψ) o℄. ψ (3N+ 6
证明设m=0.因高x+g(x),所以(xm,9(x)=1,存在u(x),(x)∈F[a 等得u(x)xm+(x)g(x)=1,故u()m+v(v)g(v)=id.这样v(v)g(v)=id g-1(v2)=t(v2) 设ψ是对域F上有和维何性空间W的幂零变换.设0≠a∈W,记 Flva: =f((a)I f(a)E F[1, 角了F[列]a是W的v子空间.存果存在a1,a2,…,a。∈W,等得W=Fva1+ F[v]a2+…+F[vlas,则称a1,a2,…,a。是W的一组v-生目块 引理5设ψ是对域F上何性空间W的幂零变换中则存在1,B2,…,B。∈W W=F1Fv2田…⊕F[v] 证明度先中W的一组v-生目块总存在中初W的一组基即是.所以可设 1,a2,…,as是W的一组ψ-生目块中等得s是最小的.这样 W=Fa1+Fv]a2+…+F[v]s 对于任教的1≤i≤s,均有ag∑Fay,由于v是幂零的中故存在r;,等得 vn(a1)∈∑≠Fvy不妨设r是最小的对且n1≤n2≤…≤rs则 v"(a1)=f2(v)(a2)+/3(v)(a3)+…+fs(v)(as) 记f(x)=9(x)x,这里x9(x),我;断言必有t1≥r.定等上中f(v)(a1)∈ ∑Fa,即g()4(a)∈∑,;Flv@y·因高xg(x)且ψ幂零中根据解理 了91(0)可逆且逆间是的多项地·所以v(a)∈∑/≠Fay,由r的最小性了 t;≥r 这样有 v(a1)=v∑91()4-n(a 令
$ ψ m = 0. e x ∤ g(x), 6` (x m, g(x)) = 1, r u(x), v(x) ∈ F[x], *' u(x)x m + v(x)g(x) = 1, D u(ψ)ψ m + v(ψ)g(ψ) = id. v[ v(ψ)g(ψ) = id, g −1 (ψ) = v(ψ). 2 $ ψ .1o F "kKALUp℄ W ({ Q$ 0 6= α ∈ W, Y F[ψ]α := {f(ψ)(α) | f(x) ∈ F[x]}, az F[ψ]α . W ( ψ- p℄ H r α1, α2, · · · , αs ∈ W, *' W = F[ψ]α1 + F[ψ]α2 + · · · + F[ψ]αs, s α1, α2, · · · , αs . W (_ ψ− &q 5 $ ψ .1o F "LUp℄ W ({ Qs r β1, β2, · · · , βs ∈ W, *' W = F[ψ]β1 ⊕ F[ψ]β2 ⊕ · · · ⊕ F[ψ]βs. /I W (_ ψ− &q r W (_ SW.6`o$ α1, α2, · · · , αs . W (_ ψ− &q*' s . P(v[ W = F[ψ]α1 + F[ψ]α2 + · · · + F[ψ]αs. 1m b( i,1 ≤ i ≤ s, mk αi 6∈ P j6=i F[ψ]αj . jm ψ .{(D r ri , *' ψ ri (αi) ∈ P j6=i F[ψ]αj . :$ ri . P(1 r1 ≤ r2 ≤ · · · ≤ rs, s ψ r1 (α1) = f2(ψ)(α2) + f3(ψ)(α3) + · · · + fs(ψ)(αs). Y fi(x) = gi(x)x ti , vu x ∤ gi(x), C0Z k ti ≥ ri . -)" fi(ψ)(αi) ∈ P j6=i F[ψ]αj , W gi(ψ)ψ ti (αi) ∈ P j6=i F[ψ]αj . e x ∤ gi(x) ψ {Bkft z gi(ψ) o℄. ψ (3N+6` ψ ti (αi) ∈ P j6=i F[ψ]αj . j ri ( PUz ti ≥ ri . v[k ψ r1 (α1) = ψ r1 Xs i=2 gi(ψ)ψ ti−r1 (αi). } β1 = α1 − Xs i=2 gi(ψ)ψ ti−r1 (αi), 7
则v1(61)=0求W=F[v小]1+U,这里U=F[va2+…+F[vs 若Y∈F1∩U,则y=h(v)(1)∈U,进而据h(v)(a1)∈U.若h(x)≠0 记h(x)=p(x)x,其中x↑p(x),根据引理,得u(a1)∈U,所以l≥r1.故 =h(v)(1)=p(v)2(61)=0.所以 W=F!1⊕U, 其中U=F[a2+…+F[列a,是W的v子空间 显与υ限制在U上还是幂零变换,a2,a3,…,a3是U的-生成元求s是 最小的.由归必法,即证得结论 引理6设ψ是对可F上据限维线性空间W的幂零变换,0≠β∈W,则 F[v]B是记环子空间 证明不妨设vm=0.,则存在l,使得v()=0求v-1()≠0.这样易知 B,v(),v2(),…,v-1()线性无关 另一方面,对均任意f(v)∈F{根据带余除法∫(x)=rq(x)+r(x),其中 degr(x)<l.所以 f(0)()=q(v)()+r()()=r(v)(3)∈L(B,v(),v2(3),…,4-1() 这就证明了-4(),…,v2(),(6),B是W的一个记环基,而W是记环子空间 定理5设φ是对可C上的n维线性空间上的线性变换,R(入1)是断均特征令 A1的根子空间,即R(A1)=Ker(9-A1id)n.则R(A1)可分解为若干(y-Aid)的 记环子空间的直和. 七. Jordan- Chevalley分解 定理6设φ是C上m维线性空间V的线性变换,则存在唯一一对线性变换σ 和T,使得: (1)φ=σ+T,其中σ是可对角化的线性变换,T是幂零线性变换,求σr=T0; (2)存在p(入),q(A)∈C,使得σ=p(9),T=q(y) 证明设φ的极小多项式为 m2(入)=(X-A1)2(A-A2)2…(X-入
s ψ r1 (β1) = 0 W = F[ψ]β1 + U, vu U = F[ψ]α2 + · · · + F[ψ]αs. γ ∈ F[ψ]β1 ∩ U, s γ = h(ψ)(β1) ∈ U, g4k h(ψ)(α1) ∈ U. h(x) 6= 0, Y h(x) = p(x)x l , x ∤ p(x), Bkft' ψ l (α1) ∈ U, 6` l ≥ r1. D γ = h(ψ)(β1) = p(ψ)ψ l (β1) = 0. 6` W = F[ψ]β1 ⊕ U, U = F[ψ]α2 + · · · + F[ψ]αs . W ( ψ p℄ J ψ Kr U "P.{ Q α2, α3, · · · , αs . U ( ψ− &q s . P(jF 6Wy'e 2 6 $ ψ .1o F "kKALUp℄ W ({ Q 0 6= β ∈ W, s F[ψ]β . ψ YOp℄ :$ ψ m = 0, s r l, *' ψ l (β) = 0 ψ l−1 (β) 6= 0. v[az β, ψ(β), ψ2 (β), · · · , ψl−1 (β) LUEE |_91m b f(ψ) ∈ F[ψ], Bk!n6 f(x) = x l q(x) + r(x), degr(x) < l. 6` f(ψ)(β) = q(ψ)ψ l (β) + r(ψ)(β) = r(ψ)(β) ∈ L(β, ψ(β), ψ2 (β), · · · , ψl−1 (β)), vhyz ψ l−1 (β), · · · , ψ2 (β), ψ(β), β . W (_AYOS4 W .YOp℄ 2 5 $ ϕ .1o C "( n ALUp℄"(LU Q R(λ1) .0m9x} λ1 (Bp℄W R(λ1) = Ker(ϕ − λ1id) n . s R(λ1) o<f ? (ϕ − λ1id) ( YOp℄(|K Jordan-Chevalley <f 6 $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Qs r?__1LU Q σ K τ , *' (1) ϕ = σ+τ , σ .o1aN(LU Qτ .{LU Q στ = τσ; (2) r p(λ), q(λ) ∈ C[λ], *' σ = p(ϕ), τ = q(ϕ). $ ϕ (UP3N+ mϕ(λ) = (λ − λ1) l1 (λ − λ2) l2 · · ·(λ − λs) ls , 8
则有 R(入1)⊕R(A2)④…⊕R(A) 其中R(入)=Ker(y-Aaid)4,1≤i≤s 由于(A-A2),(X-A2)2,…,(A-A)y两两互素,根据中国剩余定理,存在 多项式p(入),使得对任意的i,1≤i≤s,存在9()),使得 p(入) g(入)(A-入 记q(入)=A-p().令σ=p(y),T=q(y2),则 对于任意的a1∈R(A),即a1∈Ker(y-Aid),有 ()-ail)(a)=9(y2)(y-;id)2(a1) 故p(y)(a)=Aa,1≤i≤s.这样p(y)可对角化 对任意a∈R(A),因为p(y)a)=Aa,所以r(a)=(y-p(y)(a) (y-Aid)4(a)=0.取l=max{h1,l2,…,l},则有r=0.因此r是幂零的线性变 换 下面证明唯一性.设另有满足条件的分解φ=a1+n1,由a1n1=1a1得到 a1(y-a1)=(9-01)1,所以a1和φ可交换,同理φ和n1可交换,因为a和 T都是φ的多项式,所以显然a1和a可交换,n1和r可交换,故a和a1可同 时对角化,即σ-σ1可对角化.另一方面,从r及r1的可交换和幂零性容易推 出1-T也是幂零的线性变换.事实上,若r3=0,7=0.,则(n1-)+t=0.但 故 定理6设A是复方阵.则A可分解为A=B+C,其中C是幂零阵,B是 相似于对角阵的方阵,B和C都是A的多项式,且CB=BC,并且这种分解是 唯一的 八.若当小块的决定 设A1是φ的特征值,R(入1)=Ker(y-A1id)}≠Ker(y2-1id)4-1,记属于A1的 阶 Jordan小块个数为c1,属于λ1的二阶 Jordan小块的个数为c2,…,属于λ1的l 阶 Jordan小块个数为e,f(A1)=VV2…V,而dmR(A1)=A的代数重数m1
sk V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs), R(λi) = Ker(ϕ − λiid) li , 1 ≤ i ≤ s. jm (λ − λ1) l1 ,(λ − λ2) l2 , · · · ,(λ − λs) ls xxM5BkG'n-t r 3N+ p(λ), *'1 b( i, 1 ≤ i ≤ s, r gi(λ), *' p(λ) − λi = gi(λ)(λ − λi) li . Y q(λ) = λ − p(λ). } σ = p(ϕ), τ = q(ϕ), s ϕ = σ + τ . 1m b( αi ∈ R(λi), W αi ∈ Ker(ϕ − λiid) li , k (p(ϕ) − λiid)(αi) = gi(ϕ)(ϕ − λiid) li (α1) = 0, D p(ϕ)(αi) = λiαi , 1 ≤ i ≤ s. v[ p(ϕ) o1aN 1 b αi ∈ R(λi), e p(ϕ)(αi) = λiαi , 6` τ li (αi) = (ϕ − p(ϕ))li (αi) = (ϕ − λiid) li (αi) = 0. l = max{l1, l2, · · · , ls}, sk τ l = 0. e τ .{(LU Q Gy?_U$|k ;^(<f ϕ = σ1 + τ1, j σ1τ1 = τ1σ1 '& σ1(ϕ − σ1) = (ϕ − σ1)σ1, 6` σ1 K ϕ o`Q<t ϕ K τ1 o`Qe σ K τ .. ϕ (3N+6`J σ1 K σ o`Q τ1 K τ o`QD σ K σ1 o< (1aNW σ − σ1 o1aN|_9 τ V τ1 (o`QK{U a= τ1 − τ ℄.{(LU Q-)" τ s = 0, τ t 1 = 0, s (τ1 − τ ) s+t = 0. $ σ − σ1 = τ1 − τ , D σ1 = σ, τ1 = τ . 2 6’ $ A .=9ws A o<f A = B + C, C .{w B . M4m1aw(9w B K C .. A (3N+ CB = BC, v<f. ?_( %Pq(l- $ λ1 . ϕ (9x}R(λ1) = Ker(ϕ−λ1id) l 6= Ker(ϕ−λ1id) l−1 , Y0m λ1 ( _d Jordan PqA1 c1, 0m λ1 (5d Jordan Pq(A1 c2, · · ·, 0m λ1 ( l d Jordan PqA1 cl . R(λ1) = V1⊕V2⊕· · ·⊕Vt , 4 dimR(λ1) = λ1("11m1. 9
J(A1,r1) J(A1, ry R(A1)对应 J(1, rt) 记b1= dim Ker(y-A1id),b2= dim Ker((y-入1id)2,…,b= dim Ker(y9-A1) 则有 b1 qq +C+…+ b2 +2(c2+…+q) b +2c2+3(c3+ bx-1=c1+2c2+……+(l-2)c-2+(-1)(-1+c) b=C1+2c2+…+(-1)e-1+la 解非明次线性方程组 1 1 b1 122.2 2 CL Ct 123.33 b2 3 l-1 L-1 bu 12 b 011 b2-b1 000 11b-1-b b- br 2b1-b2 2b2-b1-b3 001 00 2b3-b2-b 000
R(λ1) 1g J(λ1, r1) J(λ1, r2) . . . J(λ1, rt) m1 . Y b1 = dim Ker(ϕ−λ1id), b2 = dim Ker(ϕ−λ1id) 2 , · · ·, bl = dim Ker(ϕ−λ1I) l , sk b1 = c1 + c2 + · · · + cl , b2 = c1 + 2(c2 + · · · + cl), b3 = c1 + 2c2 + 3(c3 + · · · + cl), · · · bl−1 = c1 + 2c2 + · · · + (l − 2)cl−2 + (l − 1)(cl−1 + cl), bl = c1 + 2c2 + · · · + (l − 1)cl−1 + lcl . f; LU9 1 1 1 · · · 1 1 1 2 2 · · · 2 2 1 2 3 · · · 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · 1 2 3 · · · l − 1 l − 1 1 2 3 · · · l − 1 l c1 c2 c3 · · · cl−1 cl = b1 b2 b3 · · · bl−1 bl , 1 1 1 · · · 1 1 b1 1 2 2 · · · 2 2 b2 1 2 3 · · · 3 3 b3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 2 3 · · · l − 1 l − 1 bl−1 1 2 3 · · · l − 1 l bl −→ 1 1 1 · · · 1 1 b1 0 1 1 · · · 1 1 b2 − b1 0 0 1 · · · 1 1 b3 − b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 1 bl−1 − bl−2 0 0 0 · · · 0 1 bl − bl−1 −→ 1 0 0 · · · 0 0 2b1 − b2 0 1 0 · · · 0 0 2b2 − b1 − b3 0 0 1 · · · 0 0 2b3 − b2 − b4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 0 2bl−1 − bl−2 − bl 0 0 0 · · · 0 1 bl − bl−1 , 10