厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 §83对称变换,对称矩阵 首先讨论欧氏空间的线性变换在不同的标准正交基下的矩阵的正交相似关系 设51,52,……,5n和m 7hn是n维欧氏空间v的的标准正交基,T是从基m1,m2,…,Tn到 ≤1,52,…,Sn的过渡矩阵,是正交矩阵,即 (51,2,……,5n)=(m,m2,…,mn)T 设φ是n维欧氏空间V的线性变换,φ在两个标准正交基下的矩阵分别是A,B,即 则有B=T-1AT 定义8.31设A,B是R上n阶方阵,如果存在正交矩阵T,使得 B=T-IAT= TTAT 则称A正交相似于B. 从上面的分析直接得到如下定理 定理8.3.1R上两个n阶方阵A,B正交相似的充分必要条件是它们为欧氏空间v上同一个线性变换 在不同的标准正交基下的矩阵 定理83.2Rn×n上的正交相似关系满足:(1)反身性,即A正交相似于A:(2)对称性,即若A正 交相似于B,则B正交相似于A;(3)传递性,即若A正交相似于B,B正交相似于C,则A正交相似于 证明根据定义和正交矩阵的性质 对于欧氏空间的线性变换,重要的任务是寻找正交相似下的标准形.下面讨论一类特殊的但重要的对称 变换,下一节将讨论正交变换 定义8.32设φ是n欧氏空间v上的线性变换,如果满足对于任意的a,B∈V,都有 (y(a),B)=(a,g(B), 则称φ是对称变换 定理8.3.3设φ是n维欧氏空间的线性变换,则下列条件等价:
-o92# Q #R IP $℄ 59.77.1.116; Ms gdjpkc.xmu.edu.cn | §8.3 ~}~ .lw^L"06CP !"aWOE,"XU"WO19+ ξ1, ξ2, · · · , ξn = η1, η2, · · · , ηn Æ n %w^L V ""aWOE T ÆE η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn "306C P !"aWOE,"XU jo 8.3.2 R n×n "WO19+m (1) .6G A WO1K A; (2) *Æ6G A W O1K B, Q B WO1K A; (3) &6G A WO1K B, B WO1K C, Q A WO1K C. {r 5Y'C=WOXU"6^ ✷ *Kw^L"06C`a " `TNlWOC jx 8.3.2 ϕ Æ n w^L V "06C;m *KB" α, β ∈ V , (I (ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), QÆ ϕ Æ kihl. jo 8.3.3 ϕ Æ n %w^L V "06CQ,g M#K 1
(1)是对称变换 (2)存在V的一个标准正交基51,52,…,5n,有使得(y(5),5)=(,y(5)),1≤i,j≤n; (3)φ在V的任一个标准正交基下的矩阵是对称阵; (4)在V的某一个标准正交基下的矩阵是对称阵 证明(1)→(2)显然 (2)→(3)设1,2,……,5n为V的一组标准正交基,则 y(51,52,……,5n)=(51,52 记A=(a1)nxn,则 (y(51),5)=(a1i51+a2252+…+ann,5)=aji, (5,p(5))=(51,a1j51+a252+…+an5n,5)=a 所以a ≤n,即A (4)→(2)设51,52,…,5n为V的一组取定的标准正交基, y(51,52 )=(51,52,…,5n)A (y(51),5)=(a1i51+a252+…+ani5n,5)=a (5,y(5)=(1,a151+a252+…+an15n,5)=ai 所以(y(52),5) (5),1≤i,j≤n. (2)→(1)对于V的标准正交基51,52,…,5n,任取a,B∈V,a=a151+a252+…+ann, B=b151+b252+…+bn5n,所以 (y(a),B)=(a1g(51)+a2y(52)+…+an(n),b51+b22+…+bnn) 分11(人5) (a151+a252+…+anEn,b19(51)+b2y(52)+…+bny9(5n) (a,(B)) 从证明的过程中我们看到,在取定欧氏空间的一个标准正交基的前提下,对称变换和实对称矩阵是一一 对应的.下面讨论对称变换或对称矩阵在正交相似下的标准形 定理8.3.4设A是实对称阵,则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量在Rn中相互正 交 证明设 AX=AX 其中A∈C,X=(x1,x2,…,xn)≠0∈Cn.则从AX=A0X得到AX=A0X,所以 XIX
(1) ϕ Æ*ÆC (2) P V ">3aWOE ξ1, ξ2, · · · , ξn, I ! (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj )), 1 ≤ i, j ≤ n; (3) ϕ P V ">3aWOE,"XUÆ*ÆU (4) ϕ P V "t>3aWOE,"XUÆ*ÆU {r (1) ⇒ (2) / (2) ⇒ (3) ξ1, ξ2, · · · , ξn $ V ">daWOEQ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, I A = (aij )n×n, Q (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , A aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n, G A = AT . (3) ⇒ (4) / (4) ⇒ (2) ξ1, ξ2, · · · , ξn $ V ">d'"aWOE ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, y_ AT = A. Q (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , A (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj )), 1 ≤ i, j ≤ n. (2) ⇒ (1) *K V "aWOE ξ1, ξ2, · · · , ξn, α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, A (ϕ(α), β) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ϕ(ξk), ξl) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ξk, ϕ(ξl)) = (a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (α, ϕ(β)) . ✷ Xr"3aWOE"| ,*ÆC= *ÆXUÆ>> *F",ql*ÆCD*ÆXUPWO1,"a4 jo 8.3.4 A Æ *ÆUQ A " V\$ }K ! V\" V3fP R n _1W O {r AX = λX, y_ λ ∈ C, X = (x1, x2, · · · , xn) T 6= 0 ∈ C n. Q AX = λ0X ! AX = λ0X, A XT AX = λ0XT X. 2
另一方面,从XA=X得到 XAX=AX X 因地X≠0,所以XX≠0.节果X=A,即∈R 变λ,称A的两个不得代征值,X,Y分别称充价λ,μ的代征个量,即AX=AX,A 而入≠p,价称X7Y=0,即(X,Y)=0 修门834变称n维欧氏空间V的对称变换教的代征值,地不数,且充价不得代征值的代征 定门835变A称R必n阶对称矩阵.教存在正交阵T,使得T-14T=TTAT地对角阵,对角 线将素地A的代征值 证明对A的阶数n列数关归纳法.当n=1时,结论方,成立.假变结论对n-1阶的对称矩阵成 立.考虑n阶对称阵.由定理8.3.4,据A必有不代征值λ1和分应的代征个量X1,将X1单递化还记成 X1,并将X1扩地的标类正交基X1,X2,…,Xn教 A(X1 n)=(X1,X2,……,Xn) 令T=(X1,X2,……,Xn),教T1地正交阵,且 又因地 aA1)故a=0,41=4,根据归纳假变,存在正交 阵T2,使得 T2 A1T2 1O),教T地正交阵,且有 令T=n(OT2 TTAT= 定门83.5”变称n维欧氏空间V必的对称变换,教存在v的一个标类正交基,使得φ在节个基 下的矩阵称对角阵,且节组基恰地2的n个线性都关的代征个量 引门831变A,A,…,An称n个有序不数,A(1),(2)…,A(n)称A1,A2,……An的一个排 列,教diag{h1,A2,…,Mn}正交分似价dag{(1),A(2),…,A(n)}
i>/q XT A = λXT ! XT AX = λXT X. D$ X 6= 0, A XT X 6= 0. T; λ = λ, G λ ∈ R. λ, µ Æ A "e3 ! V\ X, Y 1 ÆK λ, µ " V3fG AX = λX, AY = µY . T ; λXT Y = X T AY = µXT Y. , λ 6= µ, KÆ XT Y = 0, G (X, Y ) = 0. ✷ jo 8.3.4’ ϕ Æ n %w^L V "*ÆCQ ϕ " V\$ }K ! V\" V 3f1WO jo 8.3.5 A Æ R n S*ÆXUQPWOU T , ! T −1AT = T TAT $*PU*P 0N$ A " V\ {r * A "S n g9:u- n = 1 Ul/dJUl* n − 1 S"*ÆXU d\k n S*ÆUH'b 8.3.4, Y A I V\ λ1 =1F" V3f X1, N X1 &ABI X1, N X1 _$ R n "aWOE X1, X2, · · · , Xn. Q A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn) λ1 α T O A1 . j T1 = (X1, X2, · · · , Xn), Q T1 $WOU} T −1 1 AT1 = λ1 α T O A1 , JD$ AT = A, A λ1 α T O A1 = λ1 O α A1 . 8 α = 0, A1 = AT 1 . 5Y:uJPWO U T2, ! T −1 2 A1T2 = λ2 . . . λn . j T = T1 1 O O T2 , Q T $WOU}I T −1AT = λ1 λ2 . . . λn . ✷ jo 8.3.5’ ϕ Æ n %w^L V "*ÆCQP V ">3aWOE ! ϕ PT3E ,"XUÆ*PU}TdE{$ ϕ " n 306(9" V3f yo 8.3.1 λ1, λ2, · · · , λn Æ n 3I8 λσ(1), λσ(2), · · · , λσ(n) Æ λ1, λ2, · · · , λn ">3x gQ diag{λ1, λ2, · · · , λn} WO1K diag{λσ(1), λσ(2), · · · , λσ(n)}. 3
证明两个矩阵可以正过对换对在线的的元素得到.互换维讠个对在线元素和维j个对在线元素相当于 先后左乘互换矩阵E(G,j).下E(,j)是正交阵且E(i,j)-1=E(i,j)=E(i,j) 根据引理,从定理8.3.5知下面的推论 推论8.3,1章A,B是实对称矩阵,则下列叙述是等价的 (1)A正交相似于B (2)A和B有相同的特征值; (3)A和B有相同的特征多项 下面我们通过具体的例子来说明对实对称矩阵A,矩求正交矩阵T,使得TTAT是对在阵 例1求正交矩阵T,使TT为对在阵,引中 A 25-4 解 -22 det(aE-a) -2A-54 A-1)-2-54 4A-5 0入-1A-1 =(X-1)-2-94|=(X-1)(x2-11+10)=(-12(X-10) 0 因似A的特征值是A1=1,A2=1,λ3=10 对λ=10,求征齐素线性方程组(10E-4)X=0,得到基数征系 122 51=( 对入=1,求征齐素线性方程组(E-4)X=0,得到基数征系(0,1,1)与(2,-1,0)2,用 Schmidt 方法将引正交以,再单位以,得 52=( 53=( √I8 因似 则 TTAT 001 从例子可以看出以实对称阵A为对在以的方法: (1)由算A的特征多项式det(AE-A),求出所有根,必在卫中;
{r e3XU℄AW~WOXU T , ! T T AT Æ*PU p 1 ~WOXU T , T TAT $*PUy_ A = 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 . n det(λE−A) = λ − 2 −2 2 −2 λ − 5 4 2 4 λ − 5 = λ − 2 −2 2 −2 λ − 5 4 0 λ − 1 λ − 1 = (λ−1) λ − 2 −2 2 −2 λ − 5 4 0 1 1 = (λ − 1) λ − 2 −4 2 −2 λ − 9 4 0 o 1 = (λ − 1)(λ 2 − 11λ + 10) = (λ − 1)2 (λ − 10) D A " V\Æ λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 10. * λ = 10, ~Vz06/d (10E − A)X = 0, ! EV+ ξ1 = (− 1 3 , − 2 3 , 2 3 ) T . * λ = 1, ~Vz06/d (E − A)X = 0, ! EV+ (0, 1, 1)T L (2, −1, 0)T , G Schmidt /-NyWOAO &A! ξ2 = (0, 1 √ 2 , 1 √ 2 ) T , ξ3 = ( 4 √ 18 , − 1 √ 18 , 1 √ 18 ) T . D T = − 1 3 0 √ 4 18 − 2 3 √ 1 2 − √ 1 18 2 3 √ 1 2 √ 1 18 , Q T TAT = 10 0 0 0 1 0 0 0 1 . b℄A[A *ÆU A $*PA"/- (1) H A " V+2 det(λE − A), ~I5P R _ 4
(2)对每个特征值A,解线性方程组(AE-A)X=0,得到特征子空间的一组基,施行 Schmidt正交 化,单位化,得到特征子空间的一组标准正交基; (3)将不同特征子空间的标准正交基凑成R的标准正交基1, 令T=(1,72,…,mn) 则T-1AT为对角矩阵,对角元素分别是对应于m1,2,…,mn的全部特征值A1,A2,…,A 例2设A是3阶实对称矩阵,A的特征值为2,1,1.已知属于特征值2的特征向量X1=(1,1,0) 又向量X2=(1,-1,0)是属于特征值1的特征向量,求矩阵A. 解由定理834知A有特征向量与X1,X2都正交.设之为X3=(x1,x2,x3) 解得X3=(0,0,1)2.将X1,X2,X3单位化,得 1.0),=(0,0,1) 记 r=012102=(支 001 A=T )-(-)(2,)(-;) 例3设三阶实对称阵A的各行元素之和为3,向量a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)是线性方 程组AX=0的两个解 (1)求A的特征值和特征向量; (2)求正交矩阵T和对角阵B,使得T-1AT=TAT=B 3)求A和(4-E)° 解(1)因为A的各行元素之和为3,所以 所以A的属于特征值3的特征向量为ka3=k3(1,1,1),其中k3为非零常数 又因为向量a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)是线性方程组AX=0的两个解.所以A的属于 特征值0的特征向量为k1a1+k2a2,其中k1,h2为不全为零的常数 (2)对a1,a2做正交化,得到 单位化得到 (-1,2,-1) 1,0.1)2,7=方(,1,1)
(2) *n3 V\ λi , V06/d (λE − A)X = 0, ! Vb^L">dE 5 Schmidt WO A &A! Vb^L">daWOE (3) N ! Vb^L"aWOE R n "aWOE γ1, γ2, · · · , γn, j T = (γ1, γ2, · · · , γn), Q T −1AT $*PXU*PN1 Æ*FK γ1, γ2, · · · , γn " V\ λ1, λ2, · · · , λn. p 2 A Æ 3 S *ÆXU A " V\$ 2, 1, 1. YK V\ 2 " V3f X1 = (1, 1, 0)T , J3f X2 = (1, −1, 0)T ÆK V\ 1 " V3f~XU A. n H'b 8.3.4 Y A I> V3fL X1, X2 (WOZ$ X3 = (x1, x2, x3) T , ! x1 + x2 = 0 x1 − x2 = 0 V! X3 = (0, 0, 1)T . N X1, X2, X3 &A! Y1 = ( 1 √ 2 , 1 √ 2 , 0)T , Y2 = ( 1 √ 2 , − 1 √ 2 , 0)T , Y3 = (0, 0, 1)T . I T = (Y1, Y2, Y3) = √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 , Q A = T 2 1 1 T T = √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 2 1 1 √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 . p 3 S *ÆU A "45NZ=$ 3, 3f α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T Æ06/ d AX = 0 "e3V (1) ~ A " V\= V3f (2) ~WOXU T =*PU B, ! T −1AT = T TAT = B; (3) ~ A = (A − 3 2E) 6 . n (1) D$ A "45NZ=$ 3, A A 1 1 1 = 3 1 1 1 . A A "K V\ 3 " V3f$ k3α3 = k3(1, 1, 1)T , y_ k3 $0h JD$3f α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T Æ06/d AX = 0 "e3VA A "K V\ 0 " V3f$ k1α1 + k2α2, y_ k1, k2 $ $h" (2) * α1, α2 fWOA! β1 = α1 = (−1, 2, −1)T , β2 = 1 2 (−1, 0, 1)T . &A! γ1 = 1 √ 6 (−1, 2, −1)T , γ2 = 1 √ 2 (−1, 0, 1)T , γ3 = 1 √ 3 (1, 1, 1)T . 5
令T=(1,2,3),则 T-AT=TAT=B 000 A(a1,a2,a3)=(0,0,3a3) 所以 A=(0,0,3a3)(a1,a2,a3)-1 记P=(a1,a2,a3),则 A=P000P-1 003 所以 00 0 ()°E. 00 1.求正交矩阵T,使TAT为对角阵,其中A为 1-22 A 2-24 2.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,U是φ-不变子空间,则U-也是φ-不变子空间 3.证明n维欧氏空间的两个对称变换,v有公共的由它们的特征向量组成的标准正交基的充要条件 是yv 4.已知λ1=6,A=λ3=3是实对称阵的三个特征值.且对应于A2=A3的特征向量为 a2=(-1,0,1),a3=(1,-2,1),求A的对应于A1的特征向量及A 5.已知 (1,-2,1),a2=(-1,a,1)2依次是三阶不可逆实对称阵A的属于特征值 1,A2=-1的特征向量.求 (2)42010,其中B=(1,1,1)r 6.设y是n维欧氏空间V上的对称变换,y2=,则存在V的一个标准正交基,使得φ在此基下 的矩阵为diag{Er,0} 7.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换, idv,则存在V的一个标准正交基,使得φ在此基 下的矩阵为diag{Er,-En-r}
j T = (γ1, γ2, γ3), Q T −1AT = T TAT = B = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 . (3) D$ A(α1, α2, α3) = (0, 0, 3α3). A A = (0, 0, 3α3)(α1, α2, α3) −1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . I P = (α1, α2, α3), Q A = P 0 0 0 0 0 0 0 0 3 P −1 . A (A − 3 2 E) 6 = P −3 2 0 0 0 −3 2 0 0 0 3 2 6 P −1 = (3 2 ) 6E. vt 1. ~WOXU T , T TAT $*PUy_ A $ (1) A = 1 −2 0 −2 2 −2 0 −2 3 , (2) A = 1 −2 2 −2 −2 4 2 4 −2 . 2. ϕ Æ n %w^L V "*ÆC U Æ ϕ− b^LQ U ⊥ =Æ ϕ− b^L 3. Xr n %w^L"e3*ÆC ϕ, ψ I67"Hp" V3fd"aWOE"3aWOE ! ϕ PE, "XU$ diag{Er, 0}. 7. ϕ Æ n %w^L V "*ÆC ϕ 2 = idV , QP V ">3aWOE ! ϕ PE ,"XU$ diag{Er, −En−r}. 6