厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第七章相似标准形 81入-矩阵 教学目的与要求掌握多项式矩阵(λ-矩阵)的定义以及和矩阵多项式的关 系;理解初等λ-阵的定义;掌握λ-矩阵的相抵与运算;熟练掌握可逆λ-矩阵 的充要条件;理解λ_矩阵的带余除法;熟悉数字矩阵相似与相应特征矩阵的相 抵的联系 λ-矩阵的定义和运算 定义1设K是一个数域,形如 a11()a12( A(入)= a21(A)a2() a2n(入) anm1(入)am2(入) 的m×n矩阵,其中a(入)∈K[入,称为多项式矩阵,或λ-矩阵,也记为A(入)= 多项式矩阵A(可表示为 A(A)=MX+M1-1-1+…+M1A+M0 其中M为m×n阶数字矩阵,1≤i≤L.上式称为l次矩阵多项式.因此,一个 多项式矩阵可以写为系数为数字矩阵的多项式,反之,一个系数为数字矩阵的多 项式也可以写为项式矩阵. 例1 2-1入+3 A(入) 00 10 例2A 则M-A 入-1-2 3入-4
g !8& P Æ OYUM℄ZV =/}V> (λ− V>) $,*(F?V>/}$; \T% λ− >$,*= λ− V>$'58_=Ym λ− V> $# M\T λ− V>$ 42IV>5- ?V>$ '$^ & λ− V>$,*?8 N[ 1 x K &96 s A(λ) = a11(λ) a12(λ) · · · a1n(λ) a21(λ) a22(λ) · · · a2n(λ) · · · · · · · · · · · · am1(λ) am2(λ) · · · amn(λ) , $ m ×n V>nG aij (λ) ∈ K[λ], /}V>D λ− V>$H A(λ) = (aij (λ))m×n. /}V> A(λ) Y ~ A(λ) = Mlλ l + Ml−1λ l−1 + · · · + M1λ + M0, nG Mi m × n RIV> 1 ≤ i ≤ l. w} l V>/}+&9 /}V>Y( IV>$/}3C&9IV>$/ }$Y( }V> R 1 A(λ) = λ 2 − 1 λ + 3 1 λ 3 + 2λ = 0 0 0 1 λ 3 + 1 0 0 0 λ 2 + 0 1 0 2 λ + −1 3 1 0 . R 2 A = 1 2 3 4 , ; λI − A = λ − 1 −2 −3 λ − 4 . 1
设A∈Km×n,称多项式矩阵M-A为矩阵A的特征矩阵. 定义两个m×n阶入-矩阵A()和B()相等为a3()=b3(入),1≤i≤m, 1≤j≤m;定义加法为A(入)+B(A)=(ax())+b1()mxn;定义数乘为cA(A) ca1()mxn,c∈K;定义m×n阶A-矩阵A(和n×s阶入-矩阵B(A)的乘 法为A(入)mxnB(入)nx8=(k=1(ak)bk(入)mx定义n阶入一矩阵的行列式与数 字矩阵的行列式的定义相同;定义η阶λ矩阵的伴随矩阵与数字矩阵的行列式 的定义相同. 注1设A(λ)为s次矩阵多项式,但|4(入川可能是0或常数 例 10 入-1入 入s0 0 入A+1 注2A(),B(入)分别为s,t次矩阵多项式,但A(A)B(可能为0 例4 (0b)(2x) 矩阵的初等变换 定义2对λ一矩阵A(λ)施行的下列三种变换称为λ一矩阵的行初等变换 (1)互换变换:将A()矩阵两行互换; (2)数乘变换:将A(λ)的第讠行乘以非零常数c(第二类); (3)消去变换:将A(入的第讠行乘以f(入后加到第j行上去(第三类). 相应地,有列的初等变换的定义.下列三种矩阵称为初等入-矩阵 (1)互换矩阵P将In矩阵互换第i,行得到; (2)数乘矩阵P(c):将ln的第讠行乘以非零常数c得到 (3)消去矩阵P3(f(从):将In的第i行乘以∫(入)后加到第j行得到
x A ∈ Kn×n , /}V> λI − A V> A $ W_P^. ,*`9 m × n R λ− V> A(λ) ? B(λ) % aij (λ) = bij (λ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n; ,*I2 A(λ) + B(λ) = (aij (λ) + bij (λ))m×n; ,* cA(λ) = (caij (λ))m×n, c ∈ K; ,* m × n R λ− V> A(λ) ? n × s R λ− V> B(λ) $ 2 A(λ)m×nB(λ)n×s = (Σn k=1(aikλ)bkj (λ))m×s. ,* n R λ− V>$ a}5 IV>$ a}$,* ,* n R λ− V>$ V>5IV>$ a} $,* a 1 x A(λ) s V>/}! |A(λ)| Yl 0 D R 3 1 0 −λ s 0 = 0, λ − 1 λ λ λ + 1 = −1. a 2 A(λ), B(λ) 6 s, t V>/}! A(λ)B(λ) Yl 0. R 4 λ 1 0 0 1 −λ −λ λ2 = 0. 1 λ− V>$% C N[ 2 . λ− V> A(λ) z $avH C λ− V>$ % C (1) BC CN A(λ) V>` BC (2) CN A(λ) $* i (5b c(*1[); (3) r CN A(λ) $* i ( f(λ) AI"* j wr (*v[). -(0a$% C$,*avHV>% λ− V> (1) BCV> Pij : N In V>BC* i, j #" (2) V> Pi(c): N In $* i (5b c #" (3) rV> Pij (f(λ)): N In $* i ( f(λ) AI"* j #" 2
0 Pi(c) T(f(入) f(入) 易见,|P|=-1,|P(c)=c,T3(f(入)=1 定理1对4(入)施行行(列)的初等变换等于对其左(右)乘相应的初等入-矩 阵. 证明同数字矩阵的证明一样 定义3若A()和B(入)都是入-矩阵,且A(入)经过初等变换后可变为B(A) 则称入-矩阵A(X)和B()相抵,记作A(B(A) 相抵关系是一种等价关系,即满足(1)反身性:A(A)A(A;(2)对称性: A(入)B(),则B()兰A());(3)传递性:A()坐B(A),B()C(),则 A(入)C(入 引理1设入一矩阵A(入)相抵于对角入-矩阵dag{d1(入),d2(A),…,dn()},入
Pij = 1 · · · 1 0 · · · 1 · · 1 · · · 0 1 · · · 1 , Pi(c) = 1 · · · 1 c 1 · · · 1 , Tij (f(λ)) = 1 . . . 1 . . . f(λ) 1 . . . 1 . )L |Pij | = −1, |Pi(c)| = c, |Tij (f(λ))| = 1. NQ 1 . A(λ) z (a) $% C%3.nK (1) -$% λ− V > `S IV>$Ah&" 2 N[ 3 u A(λ) ? B(λ) - λ− V>o A(λ) U=% CAY B(λ), ; λ− V> A(λ) ? B(λ) 'HL A(λ) ∼= B(λ). ';&H%K;GfJ (1) 3y A(λ) ∼= A(λ); (2) . A(λ) ∼= B(λ), ; B(λ) ∼= A(λ); (3) + A(λ) ∼= B(λ), B(λ) ∼= C(λ), ; A(λ) ∼= C(λ). \Q 1 x λ− V> A(λ) '3.O λ− V> diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ)}, λ− 3
矩阵B(入)相抵于对角入一矩阵dag{d1(),d2(入),…,dn(},且d1(入,Z2(入),……,dn(入) 是d1(入),d2(入,…,d(入)的一个置换,则A()相抵于B(入 可逆λ一矩阵 定义4若A(入),B()都是n阶入一矩阵,且 A(入)B(入)=In,B(4(A)=Ln, 则称A(入)为可逆入一矩阵,B(川是A(的逆入一矩阵,记为A-1(X) 初等入一矩阵是可逆阵事实上,P3P;=ln;P(c)P(C-1)=n;(3)T(f()T2(-f(A) 命题1A-矩阵的逆入矩阵若存在,必唯一 证明B(入),C(A均为A())的逆入-矩阵,则B())=B(川)n=B()A(C()= InC(入)=C() 命题2可逆入矩阵的乘积也是可逆入-矩阵,且(A()B()-1=B-1(入)A-1(入) 证明与数字矩阵一样证明.口 定理2一个n×n阶入-矩阵A())可逆的充分必要条件是|A(为一非零 常数 证明充分性设d=|A(刈≠0,则矩阵4()也是个A-矩阵,而 4()4(x)=a4(A)A(x)==4()4( 必要性.|4(米川B(川)=|=1,|A4(川,|B(川)都是A的多项式,所以 1A()|,|B(刈)为零次多项式,故只能是非零常数.口 四.入-矩阵的带余除法 引理2设M(入),N(入)为n阶λ-矩阵,且都不为零,又设B为n阶数字矩 阵,则必存在入一矩阵Q(A及S(λ)和数字矩阵R及T,使下式成立 M(从)=(MI-B)Q(入)+R N(A)=S(从)(A-B)+T
V> B(λ) '3.O λ− V> diag{d ′ 1 (λ), d′ 2 (λ), · · · , d′ n (λ)}, o d ′ 1 (λ), d′ 2 (λ), · · · , d′ n (λ) d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ) $&9FC; A(λ) '3 B(λ). vYm λ− V> N[ 4 u A(λ),B(λ) - n R λ− V>o A(λ)B(λ) = In, B(λ)A(λ) = In, ; A(λ) Ym λ− V> B(λ) A(λ) $m λ− V>H A−1 (λ). % λ− V>Ym>{wPijPij = In; Pi(c)Pi(c −1 ) = In; (3) Tij (f(λ))Tij (−f(λ)) = In. TX 1 λ− V>$m λ− V>u : & `S B(λ), C(λ) W A(λ) $m λ− V>; B(λ) = B(λ)In = B(λ)A(λ)C(λ) = InC(λ) = C(λ). 2 TX 2 Ym λ− V>$E$Ym λ− V>o (A(λ)B(λ))−1 = B−1 (λ)A−1 (λ). `S 5IV>&"Ah 2 NQ 2 &9 n × n R λ− V> A(λ) Ym$6 # M |A(λ)| &5b `S 6 x d = |A(λ)| 6= 0, ;V> 1 dA⋆ (λ) $&9 λ− V>0 A(λ) 1 dA⋆ (λ) = 1 dA(λ)A⋆ (λ) = In = 1 dA⋆ (λ)A(λ). # |A(λ)||B(λ)| = |In| = 1, |A(λ)|, |B(λ)| - λ $/} ( |A(λ)|, |B(λ)| b/}:El5b 2 λ− V>$ 42 \Q 2 x M(λ), N(λ) n R λ− V>o-b2x B n RIV >; : λ− V> Q(λ) F S(λ) ?IV> R F T, |}℄ M(λ) = (λI − B)Q(λ) + R; (1) N(λ) = S(λ)(λI − B) + T. (2) 4
证明将M()写为 M()=MmAm+Mm-1Am-I+.+MiA+Mo, 其中Mm≠0,对m用归纳法.若m=0,取Q(A)=0,已适合要求.假设对小于 m次的矩阵多项式(1)式成立,令Q1(A)=Mmm-1,则 M()-(AⅠ-B)Q1(A)=(BMn+Mm-1)Mm-1+…+M0 为一个次数小于m的矩阵多项式,由归纳假设,得 M(入)-(M-B)Q1()=(M-B)Q2())+R. 所以M(=(M-B)(Q1()+Q2()+R 令Q(川=Q1()+Q2()即得.同理可证(2)式成立 五.数字矩阵的相似与特征矩阵的相抵 定理3设A,B是数域K上的矩阵,则A与B相似的充分必要条件是入一矩 阵M-A与一B相抵 证明必要性.若A与B相似,则存在K上可逆矩阵P,使B=P-1AP P(AI-A)P=AI-P-AP=AI-B 把P看成是一常数入一矩阵,上式表明M-A与M一B相抵 充分性.若MⅠ-A与M-B相抵,则存在M(及N(入,使 M(入)(M-A)N(=A-B 其中M(入),N(λ)为有限个初等矩阵之积,是可逆矩阵,可将上式改写为 M()(M-A)=(-B)N-(入) 由引理可设M(=(M-B)Q(入)+R,代入上式,整理得 R(AI-A)=(A-B)IN(A)-Q()(AI-A)]
`S N M(λ) M(λ) = Mmλ m + Mm−1λ m−1 + · · · + M1λ + M0, nG Mm 6= 0, . m ./} (1) }℄d Q1(λ) = Mmλ m−1 , ; M(λ) − (λI − B)Q1(λ) = (BMm + Mm−1)λ m−1 + · · · + M0 &93 m $V>/}/$5 ?V>$' NQ 3 x A, B 6 K w$V>; A 5 B $6 # M λ− V > λI − A 5 λI − B ' `S # u A 5 B ; : K wYmV> P, | B = P −1AP. P −1 (λI − A)P = λI − P −1AP = λI − B P X& λ− V>w} h λI − A 5 λI − B ' 6 u λI − A 5 λI − B '; : M(λ) F N(λ), | M(λ)(λI − A)N(λ) = λI − B, nG M(λ), N(λ) 09%V>CEYmV>YNw}7 M(λ)(λI − A) = (λI − B)N −1 (λ), /,\Yx M(λ) = (λI − B)Q(λ) + R, tw}\# R(λI − A) = (λ − B)[N −1 (λ) − Q(λ)(λI − A)]. 5
上式左边是一次多项式是故式中中括阵为分必须是零次的是即为数字矩阵.设为 R(AI-A)=(I-B)P=(R-P)A=RA-BP 再比理次数得R=P,RA=BP.只须证P为可逆阵即可是由设 P=N()-Q()(AI-A PN()+Q(从)(A-A)N(入)=I 而(-A)N(入)=M-1((M-B),所以PN(+Q(AM-1(M-B)=L 由引引是可设N(=S(λ)(M-B)+T,性入上式整引证是得 IPS()+Q()M(A)J(I-B)+PT=I 比理次数是即知方括阵内矩阵必须为零是故PT=Ⅰ,即P非零.口 注3由证明过程可知是若有P,Q,使M-A=P(A-B)Q,则A,B相似 例5设∫(入),g()是互素的多项式是证明下列入一矩阵相抵 f(X)0 (入)0 1 0 09() 0f())(0f()9( 证明由足设是存在多项式(入),(入),使f(入()+9(A()=1,所以 f(入)0 f(入) f() 09(A) f()a(入)g(A) f()(入)+9()(入)g(A) f()0 f(A)-f(入)g(入) 0-f()9(入) 19(入) 0f(g(入) 0 0f()g(入) 同引可得另明论 作业:P2351.2. 补充1:若f(,9(x互素是证明(00、)相抵于(0f(() 0f() 补充2:若A(入相抵于C(入,B(入)相抵于D(),证明 0B(X) 抵于(C)n0 0D(
w}K &/}:}GGZ>6 b$GIV>x P, G R(λI − A) = (λI − B)P =⇒ (R − P)λ = RA − BP. 9Q# R = P, RA = BP. E A P Ym>GY/x P = N −1 (λ) − Q(λ)(λI − A) P N(λ) + Q(λ)(λI − A)N(λ) = I 0 (λI − A)N(λ) = M−1 (λ)(λI − B), ( P N(λ) + Q(λ)M−1 (λI − B) = I. /,\Yx N(λ) = S(λ)(λI − B) + T, tw}\A# [P S(λ) + Q(λ)M−1 (λ)](λI − B) + P T = I. QGB4Z>kV> b: P T = I, G P 5b 2 a 3 /Ah=YBu0 P, Q, | λI − A = P(λI − B)Q, ; A, B R 5 x f(λ), g(λ) B$/}Aha λ− V>' f(λ) 0 0 g(λ) , g(λ) 0 0 f(λ) , 1 0 0 f(λ)g(λ) . `S /Jx :/} u(λ), v(λ), | f(λ)u(λ) + g(λ)v(λ) = 1, ( f(λ) 0 0 g(λ) −→ f(λ) 0 f(λ)u(λ) g(λ) −→ f(λ) 0 f(λ)u(λ) + g(λ)v(λ) g(λ) = f(λ) 0 1 g(λ) −→ f(λ) −f(λ)g(λ) 0 0 −→ 0 −f(λ)g(λ) 1 0 −→ 0 f(λ)g(λ) 1 0 −→ 1 0 0 f(λ)g(λ) . \Y# &Se L% P235 1. 2. Æ 1: u f(λ), g(λ) BAh g(λ) 0 0 f(λ) '3 1 0 0 f(λ)g(λ) . Æ 2: u A(λ) '3 C(λ), B(λ) '3 D(λ), Ah A(λ) 0 0 B(λ) '3 C(λ) 0 0 D(λ) . 6