厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.3 不变因子

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 7.3不变因子 教学目的与要求熟练掌握入矩阵的行列式因子和不变因子的定义;熟练掌 握λ一矩阵相抵与行列式因子及不变因子的关系;熟练掌握矩阵相似与行列式因 子及不变因子的关系;领会矩阵相似与数域扩大无关 行列式因子 定义1设A(λ)是n阶入-矩阵,k是小于等于m的某个自然数,如果A(入) 的所有k阶子式的最大公因式(它是首一多项式)不等于零,则称这个多项式为 A(入)的k阶行列式因子,记为Dk(入) 注1若r(A(A)=T,则A(A)有r个行列式因子 注2任意的A∈Kn×n,M-A必有n个行列式因子 例 (A+1) 的行列式因子为1,-1,(-1)2(+1); 的行列式因子为1,A-1,(-1)2(A+1) (入-1)(A+1) (A+1) 的行列式因子为1,1,(A-1)2(+1 例2求下列矩阵的行列式因子

℄3#|I * IP %1 59.77.1.116; %` gdjpkc.xmu.edu.cn §7.3 Æ5 =FC;JGD yV+ λ− M-!Yv5:Æ5!'yV+  λ− M-Æ$#Yv5Æ5!7 yV+M-Æ}#Yv 5Æ5!7 [=M-Æ}#{$R 7

Yv5 <H 1 s A(λ) w n J λ− M-￾ k w""" n !a46k{￾n8 A(λ) !! k J5v!95v (￾wx*v) Æ""Z￾(,4*v A(λ) ! k JYv5￾C Dk(λ). L 1 o r(A(λ)) = r, ( A(λ) ! r 4Yv5
L 2 l! A ∈ Kn×n , λI − A ! n 4Yv5
 1   (λ − 1) (λ + 1) (λ − 1)   !Yv5 1, λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 1);   1 (λ − 1) (λ − 1)(λ + 1)   !Yv5 1, λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 1);   1 (λ + 1) (λ − 1)2   !Yv5 1, 1,(λ − 1)2 (λ + 1).  2 gYM-!Yv5 1

d1(入) d2(入) A(入 d(入) 0 其中d(入)为首一多项式,且d(从)d2+1(入),=1,2,……,r-1 解A()的行列式因子为 D1()=d1(),D2()=d1(入)d2(),…,D1()=d1(入)d2(…d( 引理1设D1(入,D2()),…,D(是A(A)的行列式因子,则D(从D2+1(A, 对一切i=1,2,…,r-1成立 证明设A+1()是A()的任一i+1阶子式,即在A(入)中任意取出i+1行, i+1列组成的行列式,将这个行列式按一行展开,则其每一展开项都是一个多项式 与一个i阶子式的乘积,由于D(入)是所有i阶子式的公因子,则D(川|A2+1(), 而D2+1(入)是所有这类A2+1(A)的公因子,因此D(入)D1+1().口 不变因子 定义2设D1(入),D2(A),…,D(川是入-矩阵A(A)的行列式因子,则91(入)= D1(A),92(A)=D2(/D1(A),…,9()=D(M/D-1(入),称为4(入)的不变因子 例1中不变因子分别为1,A-1,(A+1)(入-1);1,A-1,(入+1)(A-1;1,1,(A+ 1)(A-1)2 例2中的不变因子为d1(入),d2(入),……,d() 定理1相抵的入-矩阵有相同的行列式因子,从而有相同的不变因子 证明只需证明行列式因子在任意的初等变换下保持不变即可 (1)第一类初等变换:交换A()的任意两行,则A()的i阶子式最多改变一 个符号,所以行列式因子(首一)保持不变 (2)第二类初等变换:A(X)的i阶子式与变换后的阶子式最多差一个非零 常数,故行列式因子(首一保持不变

A(λ) =   d1(λ) d2(λ) . . . dr(λ) 0 . . . 0   3 di(λ) x*v￾e di(λ)|di+1(λ), i = 1, 2, · · · , r − 1. > A(λ) !Yv5 D1(λ) = d1(λ), D2(λ) = d1(λ)d2(λ), · · ·, Dr(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dr(λ). I? 1 s D1(λ), D2(λ), · · · , Dr(λ) w A(λ) !Yv5￾( Di(λ)|Di+1(λ), )d i = 1, 2, · · · , r − 1 U
KB s Ai+1(λ) w A(λ) !l i+1 J5v￾A' A(λ) 3lh i+1 ￾ i+1 Y8!Yv￾G,4Yv)P￾( \)P(w4*v #4 i J5v!?￾ " Di(λ) w! i J5v!55￾( Di(λ)|Ai+1(λ), + Di+1(λ) w!,S Ai+1(λ) !55￾ Di(λ)|Di+1(λ). 2 ,
Æ5 <H 2 s D1(λ), D2(λ), · · · , Dr(λ) w λ− M- A(λ) !Yv5￾( g1(λ) = D1(λ), g2(λ) = D2(λ)/D1(λ), · · · , gr(λ) = Dr(λ)/Dr−1(λ),  A(λ) !Æ5
T 1 3Æ5.  1, λ−1,(λ+1)(λ−1); 1, λ−1,(λ+1)(λ−1); 1, 1,(λ+ 1)(λ − 1)2 . T 2 3!Æ5 d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ). <? 1 Æ$! λ− M-!Æ!Yv5￾+!Æ!Æ5
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(1) &S"<H< A(λ) !lW￾( A(λ) ! i J5v9*2 409￾Yv5 (x) Æ
(2) &,S"< A(λ) ! i J5v#<;! i J5v9*4-Z {￾6Yv5 (x) Æ
2

(3)第三类初等变换:记变换后的矩阵为B(),B()的i阶子式与A()的i 阶的行列式为下列三种情形之一 (a)子式完全相同,q不属于{k1,…,A},A)+B(A) (b)p=k,q=k,则 k B(入) k1 k…A;)=A(( kt k lt (c)p=ks,q不属于{k1,…,k}, BO)CK k2……k =4)(h q 4)+f(A)A(×)(t1 所以 D(JA(X)L D(A)|A((k…k k1k1 l1 lt 这样 DM)B((k…k…k2…k l 对于任意的k1,…,k,l,…,,故D()B(A)的行列式因子D2(入),同时A()也可 由B(λ)经第三类初等变换得到,所以D(川D(A,而D(入,D(A为首一多项 式,所以D(入=D() 三.矩阵相似的全系不变量 定理2数域K上的n阶数字矩阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征 矩阵A-A和MI-B具有相同的行列式因子或不变因子 证明显然,不变因子被行列式因子唯一确定,行列式因子也被不变因子唯 确定. D2(入)=d1(入,d2(,…,d4(入),i=1,2,……,n 所以数字矩阵A,B相似←→M-A与M-B相抵←-A,M一B有相同

(3) &pS"Æ5
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Di(λ) = d1(λ), d2(λ), · · · , di(λ), i = 1, 2, · · ·, n {7M- A, B Æ} ⇐⇒ λI − A # λI − B Æ$ ⇐⇒λI − A, λI − B !Æ 3

行列式因子或不变因子,即 d1(入) d2(入) Ⅰ-A全 全AⅠ-B d1(入) 注3A-A的行列式因子及不变因子均称为A的行列式因子及不变因子 推论1设F,K是复数域C上的两个数域FsK,若A与B是F上的两个 矩阵,则A,B在F上相似的充分必要条件是A,B在K上相似 证明必要性.设A,B在F上相似,则A,B在K上相似 充分性.设A,B在K上相似,则-A与M-B有相同的行列式因子 进而有相同的不变因子,而行列式因子的计算只涉及多项式的加,减,乘,公因 式及数的加,减,乘,除,而数域对加,减,乘,除封闭及数域上的多项式对加, 减,乘,公因式运算封闭,所以D()仍是F上多项式,所以d(入)也是F上多 项式,与初等变换相对应的矩阵也是F上的λ一矩阵,即在F上存在可逆入矩 阵P(),Q(入),M(),N(入),使得 P(入)(A-A)Q(A)=M()(M-B)N()=diag{d1(入),d2(入),……,dn(入)}, 表明M-A与M-B在F上相抵,所以A,B在F上相似.口 作业:P242,1(1),2(1),3

Yv5>Æ5￾A λI − A ∼=   d1(λ) d2(λ) . . . dn(λ)   ∼= λI − B. 2 L 3 λI − A !Yv5Æ5O A !Yv5Æ5
EA 1 s F, K w1{$ C q!W4{$ F ⊆ K, o A # B w F q!W4 M-￾( A, B ' F qÆ}!. Fw A, B ' K qÆ}
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s A, B ' F qÆ}￾( A, B ' K qÆ}
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s A, B ' K qÆ}￾( λI − A # λI − B !Æ!Yv5 ￾K+!Æ!Æ5￾+Yv5!B~2r*v!D￾E￾￾5 v{!D￾E￾￾￾+{$)D￾E￾￾/ {$q!*v)D￾ E￾￾5v&~/ ￾ Di(λ) mw F q*v￾ di(λ) w F q* v￾#"<Æ)!M-w F q! λ− M-￾A' F q'Qb λ− M - P(λ), Q(λ), M(λ), N(λ), u P(λ)(λI − A)Q(λ) = M(λ)(λI − B)N(λ) = diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ)}, _ λI − A # λI − B ' F qÆ$￾ A, B ' F qÆ}
2 : P242, 1(1), 2(1), 3. 4