厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.1 多项式矩阵（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 矩阵的若当标准形是C上矩阵在相似关系下的标准形.若当标准形是矩阵理论的重要组成部分,也是 高等代数课程最精华的部分.§7.1讨论多项式矩阵的基础内容,证明数字矩阵的相似与它们的特征矩阵相抵 的联系.§72讨论多项式矩阵的矩阵的法式.§7.3介绍数字矩阵的行列式因子,不变因子和初等因子,它 们互相确定且是数字矩阵在相似关系下的不变量.§7.4是本章的重点,C上方阵都相似于若当标准形,若 当标准形实质上由矩阵的初等因子组唯一确定,这是本章的主结论,对应的线性空间的分解理论,在第75 讨论,这同样是线性空间理论的精华内容 7.1多项式矩阵 本章继续关注n阶方阵的相似标准形.对应地,线性空间分解成为不变子空间的直和.相似标准形比较 复杂,人们发现,两个矩阵A,B的相似和AE-A和AE一B的相抵有密切关系.注意到,AE一A形如 A-a11 一a1n 其中元素含有未定元λ.一般地,设F是一个数域,形如 a1(0)a12(入) a21()a22(A) a2n(A) A(A) am1()am2(入) mn(入) 的m×n矩阵,其中a1(从∈F[N(=1 m;j=1,2,…,n),称为多项式矩阵,或λ-矩阵,也 记为A(A)=(a(入)mxn 一个多项式矩阵可以写为系数为数字矩阵的多项式,反之,一个系数为数字矩阵的多项式可以写为多项 式矩阵.如, 2-1入+3 00 1A3+2入 01/+/10 00 入+ 与数字矩阵一样,A一矩阵有相等,加法,数乘,乘法,只是将数的运算换成多项式的运算.同样,有 入一矩阵的行列式,伴随矩阵和秩的概念,它们和数字矩阵的定义相同.下面考虑A一矩阵的相抵 定义7.11对A-矩阵A()施行的下列三种变换称为A一矩阵的行初等变换 (1)互换变换:将A()矩阵两行互换; (2)倍法变换:将A(的第i行乘以非零常数c (3)消法变换:将A(入)的第行乘以f(后加到第j行上去

(r8:& U T IP (^ 59.77.1.116; Mw gdjpkc.xmu.edu.cn  Æ ^W% "Æi2 C ^WR->&'%Æi2
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§7.1  UN7>h n X4W%-Æi2
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s1*￾j;^W A, B %-C λE − A C λE − B %-'Ht~>&
hA#￾ λE − A 2   λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n . . . . . . . . . −an1 −an2 · · · λ − ann   , }dNBH#,N λ. =(￾Æ F =;M￾2 A(λ) =   a11(λ) a12(λ) · · · a1n(λ) a21(λ) a22(λ) · · · a2n(λ) . . . . . . . . . am1(λ) am2(λ) · · · amn(λ)   % m × n ^W￾}d aij (λ) ∈ F[λ](i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n), " x|, H λ− ^W￾< M" A(λ) = (aij (λ))m×n. =;/.^W ?1"&"k^W%/.￾3\￾=;&"k^W%/. ?1"/. ^W
￾  λ 2 − 1 λ + 3 1 λ 3 + 2λ  =  0 0 0 1  λ 3 +  1 0 0 0  λ 2 +  0 1 0 2  λ +  −1 3 1 0  . Lk^W=:￾ λ− ^WH-&￾O2￾￾2￾_T%OG/.%O
:￾H λ− ^W%3l￾^WCb%9|￾sCk^W%,B-
'ubo λ− ^W%-'
w 7.1.1 . λ− ^W A(λ) 3%'le G" λ− ^W% tus{. (1) z{s{: T A(λ) ^Wj3EG (2) rys{: T A(λ) %) i 3?5m c; (3) ys{: T A(λ) %) i 3? f(λ) DO#) j 3
1

相应地,有列初等变换的定义 定义7.1.2如果A-矩阵4(入)经过有限次入-矩阵的初等变换后变为B(入),则称A-矩阵4(X) 和B(相抵记作A()≈B( 与数字矩阵一样,A-矩阵的相抵关系满足(1)反身性,即A()≈A():(2)对称性,即若4(A)≈ B(入),则B(A)≈A();(3)传递性,即若A()≈B(A)且B(A)≈C(A),则A()≈C(A 例2设 1()=diag(d1(入),d2(入),……,dn() B(入)=diag(d1(),d2(入),…,dn(A), 且d1(入),d2(入),…,dn(A)是d1(A),d2(),……,dn()的一个置换,则 A(A)≈B(A) 证明只要做相应的互换变换即可 与数字矩阵一样,对单位矩阵作一次A一矩阵初等变换所得到的矩阵称为初等入_矩阵 (1)互换矩阵:将单位阵的第讠行与第j行互换,记为E(i,) (2)倍法矩阵:将单位阵的第i行乘以一个非零常数c,记为E(i(c) (3)消法矩阵:将单位阵的第j行乘以一个多项式∫(x)加到第讠行,记为E(i,j(f(x) 注意到λ一矩阵的互换矩阵,倍法矩阵与数域上的互换矩阵,倍法矩阵一致.消法矩阵的形式如下 f(a) E(i,(f(r))) (j) 同数字矩阵的证明一样,有 定理711设4(A)是m×n阶的A-矩阵,对A(A)作一次行的初等变换相当于左乘一个m阶相 应入-初等矩阵,对A(A作次列的初等变换相当于右乘一个n阶相应的初等入一矩阵 对于n阶λ一方阵,可以定义可逆λ一矩阵 定义71.3若A(入),B(入)都是n阶入一矩阵,且 A(A)B()=En, B(A)A(A)=En, 则称A(入)为可逆A-矩阵B()是A()的逆入一矩阵,记为A-1() 与数字矩阵情况一样容易证明,若λ-矩阵A()的逆入-矩阵若存在,必唯一可逆入一矩阵4(A 和B(A)的乘积也是可逆入一矩阵,且(A(A)B(A)-1=B-1()A-1()

-E(￾H ￾tus{ %,B
w 7.1.2  λ− ^W A(λ) ℄AH+ λ− ^W%& GD " B(λ), S λ− ^W A(λ) C B(λ)v, Mq A(λ) ≃ B(λ). Lk^W=:￾ λ− ^W%-'>&ql (1) 34￾L A(λ) ≃ A(λ); (2) .4￾L A(λ) ≃ B(λ), S B(λ) ≃ A(λ); (3) *4￾L A(λ) ≃ B(λ)  B(λ) ≃ C(λ), S A(λ) ≃ C(λ).  2 Æ A(λ) = diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ)), B(λ) = diag(d ′ 1 (λ), d′ 2 (λ), · · · , d′ n(λ)),  d ′ 1 (λ), d′ 2 (λ), · · · , d′ n (λ)  d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ) %=;aG￾S A(λ) ≃ B(λ).
_;p-E%EG GL
Lk^W=:￾.!$^Wq= λ− ^W& G$#%^W" tu λ− |. (1) z{|: T!$W%) i 3L) j 3EG￾M" E(i, j); (2) ry|: T!$W%) i 3?=;5m c, M" E(i(c)); (3) y|: T!$W%) j 3?=;/. f(x) O#) i 3￾M" E(i, j(f(x))). hA# λ− ^W%EG^W￾2^WLM%EG^W￾2^W=`
/2^W%2' E(i, j(f(x))) =   1 . . . 1 · · · f(x) . . . . . . . . . 0 · · · 1 . . . 1   (i) (j) . k^W%Zv=:￾H w~ 7.1.1 Æ A(λ)  m × n X% λ− ^W￾. A(λ) q=3%& G-"Jo=; m X￾E λ− &^W￾. A(λ) q=l%& G-"JI=; n X-E%& λ− ^W
.J n X λ− 4W￾ ?,B { λ− ^W
w 7.1.3 A(λ),B(λ) - n X λ− ^W￾ A(λ)B(λ) = En, B(λ)A(λ) = En, S A(λ) " } λ− |, B(λ)  A(λ) %{ λ− ^W￾M" A−1 (λ). Lk^W￾f=:Zv￾ λ− ^W A(λ) %{ λ− ^W R￾!=
{ λ− ^W A(λ) C B(λ) %J< { λ− ^W￾ (A(λ)B(λ))−1 = B−1 (λ)A−1 (λ). 2

直接概解介初等入一矩阵均可逆,P(,j)-1=P(i,j),P((c)-1=P(i(c-1),P(i,jf(x)-1 P(i,j(_f(入).易见,detP(i,j)=-1,detP(i(c)=c,detP(i,j(f(入)=1 名切7.12一个n阶入-矩阵A(A)可逆的充分必个大件成detA(入)当一非零常乘 证明充分方标det4(A)当一非零常乘,则矩阵ax4()也成一个A-矩阵其课A4(x)”成 A(入)的伴随矩阵.且 A( A()'=En detA(a) A()*A(入) 础以A(入)可逆且 4(x)-1=aA(4(x) 必个方.和当 det A(A)det b(a)=det En=1, 考虑到detA()和detB()都成λ的多对称,础以detA(A),detB()只能成零次多对称,故成非零常 当讨论乘量矩阵的都程与λ一矩阵的都抵关等,非第解明一个或关λ-矩阵带余除法的后 引切71.1标M(入),N(成非零n阶λ-矩阵,B当n阶乘量矩阵,则必存在入一矩阵Q(川和 S()以及乘量矩阵R和T,常抵称成立 M()=(E-B)Q()+R Y(A)=S(入)(AE-B)+T 证明将M()发当 其课Mmn≠0. 的们对m华归纳法.比m=0,:Q(=0,关满列个.,假标对般意小于m次的矩阵多对称(1) 称成立.令Q1()=MmAm-1,则 M(从)-(AE-B)Q1(从)=(BMm+Mm-1)m-1+Mm=2Xm-2+…+M0 当一个次乘小于m的矩阵多对称,根据归纳假标,介存在A-矩阵Q2()和乘量矩阵R,常得 M()-(E-B)Q1()=(E-B)Q2(A)+R 础以M(A)=(AE-B)(Q1()+Q2(从)+R.令Q(=Q1(A)+Q2(),即得结论(1).同理可解(2) 称成立 名切713标A,B成乘记F上的矩阵,则A都程于B的充分必个大件成AE一A~AE一B. 证明必个方.比A都程于B,则存在F上可逆矩阵P,常B=P-1AP.础以 P-(E-A)P=AE-P-AP=AE-B

℄W9Z￾[& λ− ^W` {￾P(i, j) −1 = P(i, j), P(i(c))−1 = P(i(c −1 )), P(i, j(f(λ)))−1 = P(i, j(−f(λ))). R￾ detP(i, j) = −1, detP(i(c)) = c, detP(i, j(f(λ))) = 1. w~ 7.1.2 =; n X λ− ^W A(λ) {%6;S detA(λ) "=5m

64
Æ detA(λ) "=5m￾S^W 1 detA(λ)A(λ) ∗ &￾5)Zv=;H> λ− ^WK2%Dg
~ 7.1.1 Æ M(λ), N(λ) 5m n X λ− ^W￾ B " n Xk^W￾SR λ− ^W Q(λ) C S(λ) ?Kk^W R C T , 'h M(λ) = (λE − B)Q(λ) + R; (1) N(λ) = S(λ)(λE − B) + T. (2)
T M(λ) 1" M(λ) = Mmλ m + Mm−1λ m−1 + · · · + M1λ + M0, }d Mm 6= 0. %s. m F?x2
m = 0, Q(λ) = 0, >ql;

PÆ.A0J m %^W/. (1) h
n Q1(λ) = Mmλ m−1 , S M(λ) − (λE − B)Q1(λ) = (BMm + Mm−1)λ m−1 + Mm−2λ m−2 + · · · + M0 "=;0J m %^W/.
<_?xPÆ￾[R λ− ^W Q2(λ) Ck^W R, $ M(λ) − (λE − B)Q1(λ) = (λE − B)Q2(λ) + R. ? M(λ) = (λE − B)(Q1(λ) + Q2(λ)) + R. n Q(λ) = Q1(λ) + Q2(λ), L$Yp (1). g Z (2) h
✷ w~ 7.1.3 Æ A, B M F %^W￾S A -J B %6;S λE − A ≃ λE − B.
;4
A -J B, SR F  {^W P,  B = P −1AP. ? P −1 (λE − A)P = λE − P −1AP = λE − B. 3

把P看成是一常数λ一矩阵,上式表明AE-A~AE一B 充分性.若AE-AAE-B,则存在可逆A-矩阵M(A)和N(),使得 M(入)(AE-A)N(=AE-B. 将上式改写为 M()(AE-A)=(AE-B)N-1() 由引理711,可设M(从)=(AE-B)Q(从)+R,代入上式,整理得 R(AE-A)=(E-B)IN-I(A)-Q()(AE-A)1 上式左边是一次多项式,故右式中N-()-Q(A)(AE-A)必须是零次的,即为数字矩阵,记为P.即 R(AE-A)=(- B)P 整理,得 (R-P)A=RA-BP 再比较次数得R=P1RA=BP,即 PA=BP 现在只须证数字矩阵P为可逆阵即可.因为 P=N-1(A)-Q()(AE-4) 右乘N(),得 PN(入)+Q(从(AE-A)N(入)=E 而由于(AE-A)N()=M-1(A)AE-B),所以PN()+Q(A)M-1(AE-B)=E.由引理711 可设N(A)=S(从(AE-B)+T,代入上式整理后,得 PS()+Q()M()(E-B)+PT=E 比较次数,即知PS()+Q()M-1(()=0,故PT=E,即P为可逆阵 习题 1.若A()≈C(A),B(A)≈D(,证明: A(入)0 (入)0 0B(入) 0 D(

 P a= λ− ^W￾v λE − A ≃ λE − B. 64
λE − A ≃ λE − B, SR { λ− ^W M(λ) C N(λ), $ M(λ)(λE − A)N(λ) = λE − B. T81" M(λ)(λE − A) = (λE − B)N −1 (λ). GDg 7.1.1, Æ M(λ) = (λE − B)Q(λ) + R, ￾Yg$ R(λE − A) = (λE − B)[N −1 (λ) − Q(λ)(λE − A)]. o=/.￾=Id N −1 (λ) − Q(λ)(λE − A) 6m%￾L"k^W￾M" P. L R(λE − A) = (λE − B)P. Yg￾$ (R − P)λ = RA − BP. Q V$ R = P, RA = BP, L P A = BP. *R_6Zk^W P " {WL
C" P = N −1 (λ) − Q(λ)(λE − A), I N(λ), $ P N(λ) + Q(λ)(λE − A)N(λ) = E. 0GJ (λE − A)N(λ) = M−1 (λ)(λE − B), ? P N(λ) + Q(λ)M−1 (λE − B) = E. GDg 7.1.1, Æ N(λ) = S(λ)(λE − B) + T , YgD￾$ [P S(λ) + Q(λ)M−1 (λ)](λE − B) + P T = E. V￾L[ P S(λ) + Q(λ)M−1 (λ)(λ) = 0, = P T = E, L P " {W
✷  1. A(λ) ≃ C(λ), B(λ) ≃ D(λ), Zv  A(λ) 0 0 B(λ)  ≃  C(λ) 0 0 D(λ)  . 4