厦门大学高等代数教案(08版)网站IP地址:59.71.16;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第四章线性映射 §41线性映射的概念 教学目的和要求熟练理解和掌握映射,单射,满射,一一映射,可逆映射的 定义.熟练掌握线性映射的定义与基本性质.通过再次复习正确理解和掌握线性 空间同构的性质 线性映射 定义设V,U是数域K上线性空间,映射φ:V→U称为线性映射,如果: (1)对于任意的a,B∈V,有y(a+B)=y(a)+y(6); (2)对于任意的a∈V,A∈K,有y(a)=ay(a) 当V=U时,称φ为线性变换 例1(1)零映射; (2)恒等变换idv; 3)数乘变换Aidv,其中0≠A∈K 命题1设φ:V→U是线性映射,则 (1)9(0)=0; (2)对任意的a;∈K,G1∈V,1≤i≤2,有p(a1a1+a2a2)=a1y(a1)+ 命题2设φ:V→U是线性映射 (1)设在V中a可由a1,a2,…,am线性表示,则在U中y(a)可由y(a1) y(a2),…,g(am)线性表示; (2)若是单的,在U中y(a)可由y(a1),p(a2),…,y(am)线性表示,则在 V中a可由a1,a2,…,am线性表示; (3)a1,a2,……,am在V中线性相关,则φ(a1),y(a2),…,y(am)在U中线性 相关;
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ (08 ✡) ☛☞ IP ✌✍✎ 59.77.1.116; ✏✑✎ gdjpkc.xmu.edu.cn ✒✓✔ ✕✖✗✘ §4.1 ✙✚✛✜✢✣✤ ✥✦ ✧★✩✪✫ ✬✭✮✯✰✱✲✛✜✳✴✜✳✵✜✳✶✶✛✜✳✷✸✛✜✢ ✹✺✻✬✭✱✲✙✚✛✜✢✹✺✼✽✾✚✿✻❀❁❂❃❄ ❅❆❇✮✯✰✱✲✙✚ ❈❉❊❋ ✢✚✿✻ ✶ ✻ ✙✚✛✜ ●❍ ■ V, U ❏❑▲ K ▼✙✚❈❉✳✛✜ ϕ : V → U ◆❖✙✚✛✜✳P◗❘ (1) ❙❚❯❱✢ α, β ∈ V , ❲ ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β); (2) ❙❚❯❱✢ a ∈ V, λ ∈ K, ❲ ϕ(aα) = aϕ(α). ❳ V = U ❨✳◆ ϕ ❖✙✚❩❬✻ ❭ 1 (1) ❪✛✜❫ (2) ❴❵❩❬ idV ; (3) ❑❛❩❬ λidV , ❜❝ 0 6= λ ∈ K. ❞❡ 1 ■ ϕ : V → U ❏✙✚✛✜✳❢ (1) ϕ(0) = 0; (2) ❙❯❱✢ ai ∈ K, αi ∈ V , 1 ≤ i ≤ 2, ❲ ϕ(a1α1 + a2α2) = a1ϕ(α1) + a2ϕ(α2). ❞❡ 2 ■ ϕ : V → U ❏✙✚✛✜✻ (1) ■❣ V ❝ α ✷❤ α1, α2, · · · , αm ✙✚✐❥✳❢❣ U ❝ ϕ(α) ✷❤ ϕ(α1), ϕ(α2), · · ·, ϕ(αm) ✙✚✐❥❫ (2) ❦ ϕ ❏✴✢✳❣ U ❝ ϕ(α) ✷❤ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ✙✚✐❥✳❢ ❣ V ❝ α ✷❤ α1, α2, · · · , αm ✙✚✐❥❫ (3) α1, α2, · · · , αm ❣ V ❝✙✚❧♠✳❢ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ❣ U ❝✙✚ ❧♠❫ 1
(4)若φ是单线性映射,a1,a2,…,am在V中线性无关,则y(a1) g(am)在U中线性无关 线性同构 定义线性映射φ:V→U称为同构映射,如果φ是一一的.这时,称V与 U同构,且记为g:VU.当V=U时,称φ为自同构 命题3设VU是数域K上有限维线性空间, (1)φ:V→U是线性同构当且仅当φ是可逆的线性映射,即存在同构映射 ψ:U→V使得φ=idu,vy=idr (2)VU的充分必要条件是dimv=dimU 命题4设φ:V→U是线性同构,则 (1)φ保持线性相关性不变; (2)φ将V的基映射为U的基; (3)设W是V的r维子空间,则y(W):={(a)|a∈W}也是U的r维 子空间; (4)若V=VV2,则U=y(V1)⊕φ(V2) 证明(3)首先证明y(W)是U的子空间;设a1,e2,……,m是U的基,则可证 明φ(e1),……,y(=m)是φ(W)的基 (4)先证明U=9(V)=y(V1)+φ(V2);对于任意的∈g(V)ny(V2),则存在 a1∈V,a2∈V,使β=y(a1)=y(a2).因为φ单的,所以a1=a2∈vnv2=0 故β=g(a1)=g2(0)=0 作业P1602,3;P1s05,8,13 思考P1601.(1)是;(2)是;(3)是;(4)不是;(5)不是
(4) ❦ ϕ ❏✴✙✚✛✜✳α1 , α2, · · · , αm ❣ V ❝✙✚♥♠✳❢ ϕ(α1), ϕ(α2), · · ·, ϕ(αm) ❣ U ❝✙✚♥♠✻ ♦✻ ✙✚❊❋ ●❍ ✙✚✛✜ ϕ : V → U ◆❖❊❋ ✛✜✳P◗ ϕ ❏✶✶✢✻♣❨✳◆ V ✼ U ❊❋ ✳qr❖ ϕ : V ∼= U. ❳ V = U ❨✳◆ ϕ ❖ s ❊❋✻ ❞❡ 3 ■ V, U ❏❑▲ K ▼❲t✉✙✚❈❉✳ (1) ϕ : V → U ❏✙✚❊❋❳q✈❳ ϕ ❏✷✸✢✙✚✛✜✳✇①❣❊❋ ✛✜ ψ : U → V ②③ ϕψ = idU , ψϕ = idV ; (2) V ∼= U ✢④⑤⑥⑦⑧⑨❏ dimV = dimU. ❞❡ 4 ■ ϕ : V → U ❏✙✚❊❋ ✳❢ (1) ϕ ⑩❶✙✚❧♠✚❷❩❫ (2) ϕ ❸ V ✢ ✽ ✛✜❖ U ✢ ✽ ❫ (3) ■ W ❏ V ✢ r ✉❹❈❉✳❢ ϕ(W) := {ϕ(α) | α ∈ W} ❺❏ U ✢ r ✉ ❹ ❈❉❫ (4) ❦ V = V1 LV2, ❢ U = ϕ(V1) ⊕ ϕ(V2). ❻❼ (3) ❽❾❿➀ ϕ(W) ❏ U ✢❹❈❉❫ ■ ε1, ε2, · · · , εm ❏ U ✢ ✽ ✳❢✷❿ ➀ ϕ(ε1), · · · , ϕ(εm) ❏ ϕ(W) ✢ ✽✻ (4) ❾❿➀ U = ϕ(V ) = ϕ(V1) + ϕ(V2); ❙❚❯❱✢ β ∈ ϕ(V1) ∩ ϕ(V2), ❢①❣ α1 ∈ V1, α2 ∈ V2, ② β = ϕ(α1) = ϕ(α2). ➁❖ ϕ ✴✢✳➂➃ α1 = α2 ∈ V1 ∩V2 = 0, ➄ β = ϕ(α1) = ϕ(0) = 0. ✷ ➅➆ P160 2, 3; P180 5, 8, 13. ➇➈ P160 1.(1) ❏❫ (2) ❏❫ (3) ❏❫ (4) ❷❏❫ (5) ❷❏✻ 2