厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn 3.8基变换与过渡矩阵 教学目的和要求:掌握过渡矩阵的概念及有关性质 设51,52,…,5n是K上线性空间V的一个基,mh,m,…,mn是另一个基 m=a151+a1252+…+a1n5n m=a2151+a22+…+a2n5n (*) n 151+an252+…+amn5 将*形式地记为 a11a21 mn)=(51,52,……,5n) a1222 则矩阵 12a22 ain a 称为从基51,52,…,5n到m,m2,…,mn的过渡矩阵 注(*)中a是唯一确定的,所以过渡矩阵是唯一确定的 下面考虑同一向量在不同基下的坐标 设 mn)=(51,52,…,5n) b1
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.8 ✑✒✓✔✕✖✗✘ ✙✚ ✛✜✢✣✤✥✦✧✕✖✗✘✜★✩✪✫✬✭✮✯ ✰ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✱ K ✲✳✭✴✵ V ✜✶✷✑✸ η1, η2, · · · , ηn ✱✹✶✷✑✸ η1 = a11ξ1 + a12ξ2 + · · · + a1nξn η2 = a21ξ1 + a22ξ2 + · · · + a2nξn · · · · · · · · · ηn = an1ξ1 + an2ξ2 + · · · + annξn. (∗) ✺ ∗ ✻✼✽✾✿ (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · ann (∗∗), ❀ ✗✘ A := a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · ann ❁ ✿❂✑ ξ1, ξ2, · · · , ξn ❃ η1, η2, · · · , ηn ✜ ❄❅❆❇. ❈ (∗) ❉ aij ✱❊✶❋●✜✸❍■✕✖✗✘✱❊✶❋●✜✯ ❏❑▲▼◆✶❖P◗❘◆ ✑ ❏✜❙❚✯ ✰ (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, α = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) a1 a2 . . . an = (η1, η2, · · · , ηn) b1 b2 . . . bn , 1
则(51,52,……,5n) b1(a151+a1252+…+a1n5n)+b2(a2151+a22+…+a2n25n)+…+bn(an151+ an252+…+an25n) 51(b1a11+b2 +bnan1)+52(b1a12+b2a2+…+bn2an2)+…+5n(b1a1n+ b2a2n+…+bnan) b1a1+b2a21+…+bn2an1 =(51, 52,",Sn)/b1a12+02022+..+bnan2 b1a1n+b2a2n+…+bn2an 11a2 (5,52…:502∵2 hb:h aIn a2n b1 (51,52,…,5n)A 所以我们得到a在两个不同基下的坐标有关系 hb:h 命题1设51,52,……,5n和m,m,…,m是n维线性空间V的基且 (51,52,……,5n)=(m1,m2,…,mhn)B (m,m2,……,mn)=(51,52,…,5n)A 则B=A
❀ (ξ1, ξ2, · · · , ξn) a1 a2 . . . an = (η1, η2, · · · , ηn) b1 b2 . . . bn = b1(a11ξ1+a12ξ2+· · ·+a1nξn)+b2(a21ξ1+a22ξ2+· · ·+a2nξn)+· · ·+bn(an1ξ1+ an2ξ2 + · · · + annξn) = ξ1(b1a11+b2a21 +· · ·+bnan1)+ξ2(b1a12 +b2a22 +· · ·+bnan2)+· · ·+ξn(b1a1n+ b2a2n + · · · + bnann) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) b1a11 + b2a21 + · · · + bnan1 b1a12 + b2a22 + · · · + bnan2 · · · · · · b1a1n + b2a2n + · · · + bnann = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · ann b1 b2 . . . bn = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A b1 b2 . . . bn , ❍■❯❱❲❃ α ◗❳✷❘◆ ✑ ❏✜❙❚✫✬❨ a1 a2 . . . an = A b1 b2 . . . bn . ❩❬ 1 ✰ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✢ η1, η2, · · · , ηn ✱ n ❭✳✭✴✵ V ✜ ✑❪ (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)B, (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, ❀ B = A−1 . 2
证明记B=(B1,B2,…,Bn),B1∈Km×1,由上面的讨论知道 5=(mh,m2,…,mn)B2=(51,52,…,5n)AB1 所以 (51,2,…,5n)=(51,52,……,5n)(AB1,AB2,……,ABn)=(51,52,…,5n)AB, 故有AB=1,所以B=A-1.口 命题2设51,52,…,5n是n维空间V的一个基,m,m2,……,mn和(1,(2,…,Sn 是另一个基,且 (m,m2,…,m)=(51,52,…,5n)A, (1,2,…,<n)=(m,m2,…,m)B, 则 (1,(2,…,(n)=(51,52,……,5n)AB 证明直接验证.口 定理设51,2,…,5n和m,m,…,mn是n维空间V的向量组,且 n (1)若51,52,…,5n和m1,m2…,mn2是V的一个基,则A可逆; (2)若m,m,……,mn是V的一个基,A可逆,则51,52,……,5n是V的一个基 3)若51,2,……,5n是V的一个基,A可逆,则m1,m,……,mn是V的一个基 证明(2)由已知得dimV=n,且mh,n,…,mn线性无关,可由51,52,……,5n线 性表示,则V的任意向量均可由51,52,……,5n线性表示,所以51,52,…,5n是V的 基. (3)(mn,m,…,m)A-1=(51,52…,n),由(2)即得.口 例1在K3×1中,已知51=(1,0,-1),52=(2,1,1),53=(1,1,1);m (0,1,1),n2=(-1,1,0)’,73=(1,2,1) (1)求证:51,2,53是K3×1的基,m,m2,7是K3×1的基
❫❴ ✾ B = (B1, B2, · · · , Bn), Bi ∈ Kn×1 , ❵✲ ❑✜❛❜❝❞ ξi = (η1, η2, · · · , ηn)Bi = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)ABi , ❍■ (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)(AB1, AB2, · · · , ABn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)AB, ❡✫ AB = I, ❍■ B = A−1 . ✷ ❩❬ 2 ✰ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✱ n ❭ ✴✵ V ✜✶✷✑✸ η1, η2, · · · , ηn ✢ ζ1, ζ2, · · · , ζn ✱✹✶✷✑✸❪ (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, (ζ1, ζ2, · · · , ζn) = (η1, η2, · · · , ηn)B, ❀ (ζ1, ζ2, · · · , ζn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)AB. ❫❴ ❢❣❤✐✯ ✷ ❥❦ ✰ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✢ η1, η2, · · · , ηn ✱ n ❭ ✴✵ V ✜❖P❧✸❪ (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A. (1) ♠ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✢ η1, η2, · · · , ηn ✱ V ✜✶✷✑✸❀ A ♥♦♣ (2) ♠ η1, η2, · · · , ηn ✱ V ✜✶✷✑✸ A ♥♦✸❀ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✱ V ✜✶✷✑♣ (3) ♠ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✱ V ✜✶✷✑✸ A ♥♦✸❀ η1, η2, · · · , ηn ✱ V ✜✶✷✑ ✯ ❫❴ (2) ❵q❝ ❲ dimV = n, ❪ η1, η2, · · · , ηn ✳ ✭r✬✸♥❵ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✳ ✭st✸ ❀ V ✜✉✈❖P✇♥❵ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✳ ✭st✸❍■ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✱ V ✜ ✑ ✯ (3)(η1, η2, · · · , ηn)A −1 = (ξ1, ξ2, · · · , ξn), ❵ (2) ①❲✯ ✷ ② 1 ◗ K3×1 ❉✸q❝ ξ1 = (1, 0, −1)0 , ξ2 = (2, 1, 1)0 , ξ3 = (1, 1, 1)0 ; η1 = (0, 1, 1)0 , η2 = (−1, 1, 0)0 , η3 = (1, 2, 1)0 . (1) ✤✐✥ ξ1, ξ2, ξ3 ✱ K3×1 ✜ ✑✸ η1, η2, η3 ✱ K3×1 ✜ ✑ ✯ 3
(2)求从基51,5253到m,m2,B的过渡矩阵 证明(1)51,5253线性无关台(5553)x2=0只有零解 兮|1,52,53≠0 121 121 k2,=011 011 1≠0,所以51,5253是K3x的 基 同理可证,m,m,3是K3×的基 100 0 121 (2)记e1 e=0,(51,52,53)=(e,e2e2)011 0 (e1,e2,e3)A,(mn,m,m)=(e1,e2,e)112|=(e;e2,e3)B,则(mn,m,m) (e1,e2,e3)B=(51,52,53)A-1B,所以A-1B= 即从基51,52,53 244 到m,m,7的过渡矩阵为-1-3-2 244 作业:P8,2(2),3(2) 思考题:在F[x]2中,(1)求证:1,1-x,1-m2是基 (2)求基1,x,x2到基1,1-x,1-x2的过渡矩阵
(2) ✤ ❂✑ ξ1, ξ2, ξ3 ❃ η1, η2, η3 ✜ ✕✖✗✘✯ ❫❴ (1) ξ1, ξ2, ξ3 ✳ ✭r✬ ⇔ (ξ1, ξ2, ξ3) x1 x2 x3 = 0 ③ ✫④⑤ ⇔ |ξ1, ξ2, ξ3| 6= 0, |ξ1, ξ2, ξ3| = 1 2 1 0 1 1 −1 1 1 = 1 2 1 0 1 1 0 3 2 = −1 6= 0, ❍■ ξ1, ξ2, ξ3 ✱ K3×1 ✜ ✑ ✯ ◆⑥ ♥ ✐ ✸ η1, η2, η3 ✱ K3×1 ✜ ✑ ✯ (2) ✾ e1 = 1 0 0 , e2 = 0 1 0 , e3 = 0 0 1 , (ξ1, ξ2, ξ3) = (e1, e2, e3) 1 2 1 0 1 1 −1 1 1 = (e1, e2, e3)A, (η1, η2, η3) = (e1, e2, e3) 0 −1 1 1 1 2 1 0 1 = (e1, e2, e3)B, ❀ (η1, η2, η3) = (e1, e2, e3)B = (ξ1, ξ2, ξ3)A−1B, ❍■ A−1B = 0 1 1 −1 −3 −2 2 4 4 , ①❂✑ ξ1, ξ2, ξ3 ❃ η1, η2, η3 ✜ ✕✖✗✘✿ 0 1 1 −1 −3 −2 2 4 4 . ⑦⑧✥ P138, 2(2), 3(2) ⑨▲⑩✥◗ F[x]2 ❉✸ (1) ✤✐✥ 1, 1 − x, 1 − x 2 ✱✑ ✯ (2) ✤ ✑ 1, x, x2 ❃✑ 1, 1 − x, 1 − x 2 ✜ ✕✖✗✘✯ 4