厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §34向量的线性关系 教学目的和要求熟练掌握线性相关,线性无关的定义,掌握判定向量组的线性 关系的方法.结合作业,严格数学推理逻辑和表达能力的训练 定义设V是K上线性空间,若存在a1,a2,…,am,B∈V,使得 B=a1a1+a22+…+ama 则称B是a1,a2,……,am的线性组合,或称β可由a1,a2,…,am线性表出 定义设V是数域K上线性空间,a1,a2,……,am是V中m个向量,若存在 不全为零的数a1,a2,…,am使 a1a1+a2Q2+…+amm=0, 则称a1,a2,…,am线性相关.反之,若不存在不全为零的数a1,a2,……,am使得 a101+a22+…+ am am=0,则称a1,a2,……,am线性无关 注1线性无关的等价定义:若存在a1,a2,…,am使得a1a1+a202+…+amam= 0,则 - am 注2定义中a1,a2,…,am必须属于K.在线性空间RC中,1,是线性无关; 在线性空间cC中,1,是线性相关的 例1(1)设a∈V,则a线性相关的充分必要条件是a=0 (2)包含0向量的向量组必线性相关 (3)设a,B∈V,则a,B线性相关的充分必要条件是a,β成比例.特别地,设 a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)是K1xn中两个n维行向量,则a,B线性 相关的充分必要条件是a1:b1=a2:b2=…=an:bn 例2记e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,……,0),…,en=(0,0,…,1)是n维标准单 位行向量,则它们线性无关 例3设a1=(1,0,1),a2=(-1,2,2),a3=(1,2,4).因为2a1+a2-a3=0,所 以a1,a2,a3线性相关
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.4 ✑ ✒✓✔✕✖✗ ✘✙ ✚✛✜✢✣ ✤✥✦✧✔✕★✖✩✔✕✪✖✓✫✬✩✦✧✭✫ ✑ ✒✮✓✔✕ ✖✗✓✯✰✱✲✳✴✵✩✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂✓❃✥✱ ❄❅ ❆ V ❇ K ❈ ✔✕❉❊✩❋●❍ α1, α2, · · · , αm, β ∈ V , ■❏ β = a1α1 + a2α2 + · · · + amαm, ❑▲ β ❇ α1, α2, · · · , αm ✓✔✕✮✳✩▼▲ β ◆❖ α1, α2, · · · , αm ✔✕✿P✱ ❄❅ ❆ V ❇ ✸◗ K ❈ ✔✕❉❊✩ α1, α2, · · · , αm ❇ V ❘ m ❙✑✒✩❋●❍ ❚❯❱❲✓✸ a1, a2, · · · , am ■ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0, ❑▲ α1, α2, · · · , αm ✔✕★✖✱❳❨✩❋❚●❍❚❯❱❲✓✸ a1, a2, · · · , am ■❏ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0, ❑▲ α1, α2, · · · , αm ✔✕✪✖✱ ❩ 1 ✔✕✪✖✓❬❭✫✬❪❋●❍ a1, a2, · · · , am ■❏ a1α1+a2α2+· · ·+amαm = 0, ❑ a1 = a2 = · · · = am = 0. ❩ 2 ✫✬❘ a1, a2, · · · , am ❫❴❵❛ K. ❍✔✕❉❊ RC ❘ ✩ 1, i ❇ ✔✕✪✖❜ ❍✔✕❉❊ CC ❘ ✩ 1, i ❇ ✔✕★✖✓✱ ❝ 1 (1) ❆ α ∈ V , ❑ α ✔✕★✖✓❞❡❫❢❣❤❇ α = 0; (2) ✐❥ 0 ✑ ✒✓✑ ✒✮ ❫ ✔✕★✖❜ (3) ❆ α, β ∈ V , ❑ α, β ✔✕★✖✓❞❡❫❢❣❤❇ α, β ❦❧♠✱♥♦♣✩❆ α = (a1, a2, · · · , an), β = (b1, b2, · · · , bn) ❇ K1×n ❘ q ❙ n rs✑✒✩❑ α, β ✔✕ ★✖✓❞❡❫❢❣❤❇ a1 : b1 = a2 : b2 = · · · = an : bn. ❝ 2 t e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1) ❇ n r✉✈✇ ① s✑✒✩❑②③✔✕✪✖✱ ❝ 3 ❆ α1 = (1, 0, 1), α2 = (−1, 2, 2), α3 = (1, 2, 4). ④ ❱ 2α1 + α2 − α3 = 0, ⑤ ⑥ α1, α2, α3 ✔✕★✖✱ 1
例4判定(2,3,0),(-1,4,0),(0,0,2)是线性相关还是线性无关 解设a1(2,3,0)+a2(-1,4,0)+a3(0,0,2)=0.考虑线性方程组 2a1-a2=0; 3a1+4a2=0; 解得a1=0,a2=0,a3=0.所以(2,3,0),(-1,4,0),(0,0,2)是线性无关的 例子说明我们可以将n维行(列)向量的线性相关性问题转化为线性方程组问 题.事实上,我们有一般的结论: 例5设6,a1,a2,…,am∈Knx.则 (1)B可由a1,a2,……,am线性表示B=a1a1+a2a2+…+amm有解; (2)a1,a2,…,am线性无关台a1a1+a22+…+amam=0只有零解; 3)a1,a2,…,am线性相关兮a1a1+a2a2+…+amam=0有非零解 定理1若a1,a2,…,am是线性相关的向量,则任一包含这组向量的向量组必 线性相关 证明考虑因为包含a1,a2,……,am的向量组a1,a2,…,am,B1,A,…,B,因为 a1,a2,…,am线性相关,故存在一组不全为零的数a1,a2,……,am使得a1a1+aa2+ …+amam=0.所以存在一组不全为零的数a1,a2,…,am,b1=b2 使得a1a1+a22+…+am(m+b11+b22+…+bB=0.故a1,a2,…,am 1,B2,……,β。线性相关 定理2设a1,a2,……,am是K上线性空间V的向量,则a1,a2,……,am线性相 关充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 证明必要性.设a1,a2,…,am线性相关,则存在一组不全为零的数a1,a2,…,am 使得a11+a242+…+amm=0.不妨设a1≠0,则有a1=-an2-a2…-aam 即a1是其余向量的线性组合 充分性,设在向量组a1,a2,…,am中,有一个向量是其余向量的线性组合.不 妨设a1是其余向量的线性组合.则存在a1,a2,……,am使得a1=a22+…+ am Cm 这样,存在一组不全为零的数-1,a2,…,am使得(-1)a1+a2Q2+…+anmm=0 故a1,a2,…,am线性相关
❝ 4 ✭✫ (2, 3, 0),(−1, 4, 0),(0, 0, 2) ❇ ✔✕★✖⑦❇ ✔✕✪✖✱ ⑧ ❆ a1(2, 3, 0) + a2(−1, 4, 0) + a3(0, 0, 2) = 0. ⑨⑩✔✕✯❶✮ 2a1 − a2 = 0; 3a1 + 4a2 = 0; 2a3 = 0. ❷ ❏ a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0. ⑤ ⑥ (2, 3, 0),(−1, 4, 0),(0, 0, 2) ❇ ✔✕✪✖✓✱ ♠❸❹❺❻③◆ ⑥❼ n rs (❽) ✑ ✒✓✔✕★✖✕❾❿➀➁❱✔✕✯❶✮❾ ❿✱➂➃❈ ✩❻③➄➅➆✓✲➇❪ ❝ 5 ❆ β, α1, α2, · · · , αm ∈ Kn×1 . ❑ (1) β ◆❖ α1, α2, · · · , αm ✔✕✿➈ ⇔ β = a1α1 + a2α2 + · · · + amαm ➄❷❜ (2) α1, α2, · · · , αm ✔✕✪✖ ⇔ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0 ➉ ➄❲❷❜ (3) α1, α2, · · · , αm ✔✕★✖ ⇔ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0 ➄➊❲❷✱ ❄➋ 1 ❋ α1, α2, · · · , αm ❇ ✔✕★✖✓✑ ✒✩❑➌➅✐❥➍✮ ✑ ✒✓✑ ✒✮ ❫ ✔✕★✖✱ ➎➏ ⑨⑩④❱ ✐❥ α1, α2, · · · , αm ✓ ✑ ✒✮ α1, α2, · · · , αm, β1, β2, · · · , βs. ④ ❱ α1, α2, · · · , αm ✔✕★✖✩➐●❍➅✮❚❯❱❲✓✸ a1, a2, · · · , am ■❏ a1α1+a2α2+ · · · + amαm = 0. ⑤ ⑥●❍➅✮❚❯❱❲✓✸ a1, a2, · · · , am, b1 = b2 = · · · = bs = 0, ■❏ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm + b1β1 + b2β2 + · · · + bsβs = 0. ➐ α1, α2, · · · , αm, β1, β2, · · · , βs ✔✕★✖✱ ✷ ❄➋ 2 ❆ α1, α2, · · · , αm ❇ K ❈ ✔✕❉❊ V ✓ ✑ ✒✩❑ α1, α2, · · · , αm ✔✕★ ✖❞❡❫❢❣❤❇➑❘➒➓➄➅❙✑✒ ❇➑➔✑✒✓✔✕✮✳✱ ➎➏ ❫❢✕✱❆ α1, α2, · · · , αm ✔✕★✖✩❑●❍➅✮❚❯❱❲✓✸ a1, a2, · · · , am ■❏ a1α1+a2α2+· · ·+amαm = 0. ❚→❆ a1 6= 0, ❑➄ α1 = − a2 a1 α2− a3 a1 α2 · · ·− an a1 αm. ➣ α1 ❇➑➔✑✒✓✔✕✮✳✱ ❞❡✕✱❆❍✑ ✒✮ α1, α2, · · · , αm ❘ ✩➄➅❙✑✒ ❇➑➔✑✒✓✔✕✮✳✱❚ →❆ α1 ❇➑➔✑✒✓✔✕✮✳✱❑●❍ a1, a2, · · · , am ■❏ α1 = a2α2+· · ·+amαm. ➍↔✩●❍➅✮❚❯❱❲✓✸ −1, a2, · · · , am ■❏ (−1)α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0. ➐ α1, α2, · · · , αm ✔✕★✖✱ ✷ 2
定理3设在V中B=a1a1+a2a2+…+amm,则表示法唯一的充分必要条 件是a1,a2,……,am线性无关 证明必要性.设b1a1+b2a2+…+bn0m,则有=(a1+b1)a1+(a2+ b2)a2+…+(am+bn)am,由于表示法唯一,故a+b2=a2,1≤i≤m,即b2=0. 1≤i≤m.所以a1,a2,……,am线性无关 充分性.设还有B=b1a1+b2a2+…+bnm,则有0=(a1-b1)a1+(a2 b2)a2+…+(am-bn)am,因为a1,a2,……,am线性无关,所以a2-b2=0,1≤i≤m 即a2=b2,1≤i≤m.故表示法唯一.口 例6设A∈Kn×n,Am=0,Am-1≠0.求证:存在X∈Kn,使得X,AX, A2X,…,Am-X线性无关 证明首先证明存在X∈Kn,使得Am-1X≠0.事实上,因为Am-1≠0,不妨 设a≠0.令X=e,则有Am-X≠0. 设a0X+a1AX+a242X+…+am-1Am-1X=0.考虑系数,设在a0,a1,a2,…,am-1 中第一个不为0的是a等式两边同乘Am--1,因为AmX=0,得到a1Am-1X=0 根据Am-1X≠0,得到a1=0.矛盾.所以a=a1=a 0,即 x,AX,A2X,……,Am-1X线性无关.口 例7设a,B,y线性无关,问a+B,B+%,+a是否线性无关 解设a(a+)+b(6+)+c(+a)=0,则有(a)a+(a+b)3+(b+c)=0 因为a,B,y线性无关.所以a+c=0,b+c=0,a+b=0.解得a=b=c=0.故 a+B,B+n,y+a线性无关.口 注:线性相关和线性无关的概念,不能说成是向量组”有关”,”线性不相关” 课堂讨论 P14,3,4,5,6,7.10 作业 P14,2,8,9,11,12
❄➋ 3 ❆❍ V ❘ β = a1α1 + a2α2 + · · · + amαm ✩❑✿➈✰↕➅✓❞❡❫❢❣ ❤❇ α1, α2, · · · , αm ✔✕✪✖✱ ➎➏ ❫❢✕✱❆ b1α1 + b2α2 + · · · + bmαm ✩❑➄ β = (a1 + b1)α1 + (a2 + b2)α2 + · · · + (am + bm)αm. ❖❛ ✿➈✰↕➅✩➐ ai + bi = ai , 1 ≤ i ≤ m, ➣ bi = 0, 1 ≤ i ≤ m. ⑤ ⑥ α1, α2, · · · , αm ✔✕✪✖✱ ❞❡✕✱❆⑦➄ β = b1α1 + b2α2 + · · · + bmαm. ❑➄ 0 = (a1 − b1)α1 + (a2 − b2)α2+· · ·+(am −bm)αm. ④ ❱ α1, α2, · · · , αm ✔✕✪✖✩⑤ ⑥ ai−bi = 0, 1 ≤ i ≤ m. ➣ ai = bi , 1 ≤ i ≤ m. ➐✿➈✰↕➅✱ ✷ ❝ 6 ❆ A ∈ Kn×n , Am = 0, Am−1 6= 0. ➙➛❪●❍ X ∈ Kn , ■❏ X, AX, A2X, · · · , Am−1X ✔✕✪✖✱ ➎➏ ➜➝➛ ❺●❍ X ∈ Kn , ■❏ Am−1X 6= 0. ➂➃❈ ✩ ④ ❱ Am−1 6= 0, ❚→ ❆ aij 6= 0. ➞ X = ej , ❑➄ Am−1X 6= 0. ❆ a0X+a1AX+a2A2X+· · ·+am−1Am−1X = 0. ⑨⑩✗✸✩❆❍ a0, a1, a2, · · · , am−1 ❘ ➟➅ ❙ ❚❱ 0 ✓ ❇ ai . ❬➠q➡➢➤ Am−i−1 , ④ ❱ AmX = 0, ❏➥ aiAm−1X = 0. ➦➧ Am−1X 6= 0, ❏➥ ai = 0. ➨➩✱ ⑤ ⑥ a0 = a1 = a2 = · · · = am−1 = 0, ➣ X, AX, A2X, · · · , Am−1X ✔✕✪✖✱ ✷ ❝ 7 ❆ α, β, γ ✔✕✪✖✩❾ α + β, β + γ, γ + α ❇➫✔✕✪✖ ➭ ⑧ ❆ a(α + β) + b(β + γ) + c(γ + α) = 0, ❑➄ (ac)α + (a + b)β + (b + c)γ = 0. ④ ❱ α, β, γ ✔✕✪✖✱⑤ ⑥ a + c = 0, b + c = 0, a + b = 0. ❷ ❏ a = b = c = 0. ➐ α + β, β + γ, γ + α ✔✕✪✖✱ ✷ ➯❪✔✕★✖✾✔✕✪✖✓➲➳✩❚❁❹ ❦❇✑✒✮ ” ➄✖ ”, ” ✔✕❚★✖ ”. ➵➸➺➇ P114, 3, 4, 5, 6, 7.10 ✴✵ P114, 2, 8, 9, 11, 12 3