厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.71.116;域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §37坐标向量 教学目的和要求:正确理解映射,单映射,满映射,同构映射的概念,掌握线 性空间的同构与集合的同构映射的联系和区别 映射 设V,W是两个集合,映射。:V→W是指一个对应法则,使得对于V中任意 个元素a,都存在W中唯一一个元素β与之对应,记为g(a)=B或φ:a→B 两个映射φ:V→W和v:V→W成为相等,并记为y=,如果对于任意 的a∈V,都有y(a)=v(a) 设:V→W是一个映射,若对于任意a≠B∈V,有g(a)≠y(),则称 是单映射.等价地,对于任意a,B∈V,若y(a)=9(6),必有a=B 设φ:V→W是一个映射,对任意的β∈W,存在一个a∈V,使得φ(a)=B, 称φ是满映射. 既单且满的映射称为一一映射.等价地,对任意∈W,存在唯一的一个a∈V, 使φ(a)= 映射φ:V→U与v:U→W的合成定义为vy:V→W,对于a∈V ap(a): =v(p(a)) 例1(1)g:R→R,x一→x2是非单非满映射; (2)g:R→[0,+∞),x+→x2是非单的满映射 (3):0,1→[0,+∞),x→→x3是单的非满映射; (4)g:0,1)→0,1),x→→x3是一一映射; 5):K K,A→|4|是非单的满映射 (6)y:R+→R,x→logx是一一映射; →K 是非单非满映射 例2idv:V→Vx→→x是一一映射,称为恒等映射
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.7 ✑✒✓✔ ✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✦✧★✪✦✧★✫✬✦✧✘✭✮★✯✰✱ ✲✳✴✘✫✬✵✶✷✘✫✬✦✧✘✸✹✙✺✻✼ ✽✼✽✽✦✧ ✾ V, W ✿❀❁✶✷★❂❃ϕ : V → W ✿❄✽❁❅❆❇❈★❉❊❅❋ V ● ❍■ ✽❁❏❑ α, ▲▼◆ W ● ❖✽✽❁❏❑ β ✵P❅❆★◗❘ ϕ(α) = β ❙ ϕ : α 7→ β. ❀❁✦✧ ϕ : V → W ✙ ψ : V → W ❚ ❘❯❱★❲◗❘ ϕ = ψ, ❳❨❅❋❍■ ✘ α ∈ V , ▲❩ ϕ(α) = ψ(α). ✾ ϕ : V → W ✿✽❁ ✦✧★❬❅❋❍■ α 6= β ∈ V , ❩ ϕ(α) 6= ϕ(β), ❈❭ ϕ ✿ ❪ ❂❃. ❱❫❴★ ❅❋❍■ α, β ∈ V , ❬ ϕ(α) = ϕ(β), ❵❩ α = β. ✾ ϕ : V → W ✿✽❁ ✦✧★❅ ❍■✘ β ∈ W, ▼◆✽❁ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, ❭ ϕ ✿ ❛ ❂❃. ❜✩❝✪✘✦✧❭ ❘ ❞❞❂❃. ❱❫❴★ ❅ ❍■ β ∈ W, ▼◆❖✽✘✽❁ α ∈ V , ❉ ϕ(α) = β. ✦✧ ϕ : V → U ✵ ψ : U → W ✘✷❚❡❢❘ ψϕ : V → W, ❅❋ α ∈ V , ψϕ(α) := ψ(ϕ(α)). ❣ 1 (1) ϕ : R → R, x 7−→ x 2 ✿❤✩ ❤ ✪✦✧✐ (2) ϕ : R → [0, +∞), x 7−→ x 2 ✿❤✩✘✪✦✧✐ (3) ϕ : [0, 1] → [0, +∞), x 7−→ x 3 ✿ ✩✘ ❤ ✪✦✧✐ (4) ϕ : [0, 1) → [0, 1), x 7−→ x 3 ✿✽✽✦✧✐ (5) ϕ : Kn×n → K, A 7−→ |A| ✿❤✩✘✪✦✧✐ (6) ϕ : R + → R, x 7−→ logx ✿✽✽✦✧✐ (6) ϕ : K2 → K2 , a b 7−→ b 0 ✿❤✩ ❤ ✪✦✧✼ ❣ 2 idV : V → V, x 7−→ x ✿✽✽✦✧★❭ ❘ ❥❦❂❃. 1
命题映射φ:V→W是一一映射的充分必要条件是v:W→V使v idv, ov= idu 证明充分性:对于a1,a2∈V,若y(a1)=y(a2),则a1=yp(a1)=vy(a2)= a2.所以y单 对于任意B∈W,因为g=idw,所以B=idw()=y?(v(),所以存在 a=v()∈V,使得φ(a)=y(v(6)=B,所以φ是满映射 必要性.对于任意∈W,因为φ是满映射,所以存在a∈V使得φ(a)=B, 又因为φ是单映射,所以a是唯一的(否则g(a1)=B=y(a),则a1=a).令 v:W→V,v(6)=a,则ψ是一个映射 对于任意a∈v,p(a)=v()=a=id(a),所以uy=idv 对于任意∈W,存在唯一a∈V,使得φ(a)=B,所以φ(6)=y(a)=B, 所以yy=idw.口 命题映射φ:V→W是一一映射,v:W→V是一一映射,则υ:V→V 也是一一映射 二.同构映射 定义设V,U是数域K上两个线性空间,若存在一一映射φ:V→U,且满足 (1)对任意的a,B∈V,y(a+B)=g(a)+p(6); (2)对任意的a∈V,a∈K,p(aa)=ay(a), 则称φ是一个同构映射,并称V和U是同构的线性空间,记V≈U. 例3恒等映射iv:V→V,a→α是V到V的同构映射 例4Kn×1签K1n 定理设v是K上的线性空间,dimV=n,则VKn 证明取定V的一个基E1,E2,…,En,对a∈V,a=a11+a2e2+ 表示法唯一,令 V→Kn b
❧♠ ✦✧ ϕ : V → W ✿✽✽✦✧✘♥♦❵ ✚♣q✿ ψ : W → V ❉ ψϕ = idV , ϕψ = idW . rs ♥♦✲✜❅❋ α1, α2 ∈ V , ❬ ϕ(α1) = ϕ(α2), ❈ α1 = ψϕ(α1) = ψϕ(α2) = α2. t✉ ϕ ✩✼ ❅❋❍■ β ∈ W, ✈ ❘ ϕψ = idW , t✉ β = idW (β) = ϕ(ψ(β)), t✉▼◆ α = ψ(β) ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = ϕ(ψ(β)) = β, t✉ ϕ ✿ ✪✦✧✼ ❵ ✚✲✼ ❅❋❍■ β ∈ W, ✈ ❘ ϕ ✿ ✪✦✧★t✉▼◆ α ∈ V ❉❊ ϕ(α) = β, ✇ ✈ ❘ ϕ ✿ ✩✦✧★t✉ α ✿ ❖✽✘ (①❈ ϕ(α1) = β = ϕ(α), ❈ α1 = α). ② ψ : W → V, ψ(β) = α, ❈ ψ ✿✽❁ ✦✧✼ ❅❋❍■ α ∈ V, ψϕ(α) = ψ(β) = α = id(α), t✉ ψϕ = idV . ❅❋❍■ β ∈ W, ▼◆❖✽ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, t✉ ϕψ(β) = ϕ(α) = β, t✉ ϕψ = idW . ✷ ❧♠ ✦✧ ϕ : V → W ✿✽✽✦✧★ ψ : W → V ✿✽✽✦✧★❈ ψϕ : V → V ③ ✿✽✽✦✧✼ ④✼✫✬✦✧ ⑤⑥ ✾ V, U ✿⑦⑧ K ⑨❀❁✱✲✳✴★❬▼◆✽✽✦✧ ϕ : V → U, ❝✪⑩ (1) ❅ ❍■✘ α, β ∈ V , ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β); (2) ❅ ❍■✘ α ∈ V , a ∈ K, ϕ(aα) = aϕ(α), ❈❭ ϕ ✿✽❁ ✫✬✦✧★❲❭ V ✙ U ✿ ✫✬✘✱✲✳✴★◗ V ∼= U. ❣ 3 ❶ ❱✦✧ idV : V → V, α 7→ α ✿ V ❷ V ✘✫✬✦✧✼ ❣ 4 Kn×1 ∼= K1×n . ⑤❸ ✾ V ✿ K ⑨ ✘✱✲✳✴★ dimV = n, ❈ V ∼= Kn . rs ❹ ❡ V ✘✽❁❺ ε1, ε2, · · · , εn, ❅ α ∈ V , α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn ❝ ❻❼❇ ❖✽★ ② ϕ : V → Kn×1 , α 7→ a1 a2 . . . an , 2
则y是映射.设a=a11+a2E2+…+ann,B=b1e1+b2=2+…+bnEn,若 y(a)=y(),则a=b2,1≤i≤n.故a=B.所以φ是单射;对于任意 (a1,a2,……,an)∈Kn,令a=a11+a2=2+…+anEn,则有φp(a)=,故φ是满 映射;易见对任意的a,3∈V,g(a+B)=y(a)+(),对任意a∈K,a∈V y(a)=ap(a).所以,φ是同构映射.口 设e1,E2,……,En是V的一组基,且对于任意a,有a=a1e1+a2+…+ann,将 (a1,a2,……,an)称为a在基e1,E2,…,En下的坐标常记为a=(1,E2,……,En) 例 5a= 2)在基e1=(0 3 0)下的坐标为 (3)在基 0)下的坐标为/3 在基51 0 下的坐 标为(3 定理(1)设y:V→W是线性同构,则y(0)=0; (2)设φ:V→W是线性同构,则φ将线性相关的向量组变为线性相关的向 量组,将线性无关向量组变为线性无关的向量组,即φ保持线性相关性; (3)设φ:V→W是同构映射,则存在v:W→V是同构映射,使得 p= idy (4)同构关系是等价关系 (5)K上两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等 证明(1)p(0)=9(0+0)=9(0)+9(0),所以φ(0)=0 (2)设a1,a2,…,am是V中线性相关的向量组,则存在不全为0的a1,a2,…,am, 使得a1a1+a2a2+…+amOm=0,所以0=9(0)=y(a1a1+a2Q2+…+anmm)= a19(a1)+a2y(a2)+…+amyp(am)所以φ(a1,y(a2),……,y(am)线性相关 另一方面,设a1,Q2,…,am是V中线性无关的向量组,考虑a19(a1)+a29(a2)+ 即y(a1a1 0=9(0),因为φ是单映 射,所以a1a1+a202+…+amOm=0,又因为a1,a2,…,am线性无关,所以 所以φ(a1 线性无关
❈ ϕ ✿ ✦✧✼✾ α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, β = b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn. ❬ ϕ(α) = ϕ(β), ❈ ai = bi , 1 ≤ i ≤ n. ❽ α = β. t✉ ϕ ✿ ✩✧✐❅❋❍■ (a1, a2, · · · , an) 0 ∈ Kn , ② α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, ❈❩ ϕ(α) = β, ❽ ϕ ✿ ✪ ✦✧✐❾❿❅ ❍■✘ α, β ∈ V , ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β), ❅ ❍■ a ∈ K, α ∈ V , ϕ(aα) = aϕ(α). t✉★ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼ ✷ ✾ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘✽➀❺ ★❝ ❅❋❍■ α, ❩ α = a1ε1+a2ε2+· · ·+anεn. ➁ (a1, a2, · · · , an) 0 ❭ ❘ α ◆❺ ε1, ε2, · · · , εn ➂ ✘ ✑✒★➃◗❘ α = (ε1, ε2, · · · , εn) a1 a2 . . . an . ❣ 5 α = 2 3 ◆❺ e1 = 1 0 , e2 = 0 1 ➂ ✘ ✑✒❘ 2 3 ; ◆❺ e2 = 0 1 , e1 = 1 0 ➂ ✘ ✑✒❘ 3 2 ; ◆❺ ξ1 = 1 0 , ξ2 = 1 1 ➂ ✘ ✑ ✒ ❘ −1 3 . ⑤❸ (1) ✾ ϕ : V → W ✿ ✱✲✫✬★ ❈ ϕ(0) = 0; (2) ✾ ϕ : V → W ✿ ✱✲✫✬★ ❈ ϕ ➁ ✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀➅❘✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀★ ➁ ✱✲➆➄ ✓ ✔➀➅❘✱✲➆➄✘ ✓ ✔➀★➇ ϕ ➈➉✱✲❯➄✲✐ (3) ✾ ϕ : V → W ✿ ✫✬✦✧★❈▼◆ ψ : W → V ✿ ✫✬✦✧★❉❊ ψϕ = idV , ϕψ = idW ; (4) ✫✬➄✹ ✿ ❱❫➄✹✐ (5) K ⑨❀❁❩➊➋✱✲✳✴✫✬➌❝➍➌➎➏✘➋⑦❯❱✼ rs (1) ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0), t✉ ϕ(0) = 0. (2) ✾ α1, α2, · · · , αm ✿ V ● ✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀★ ❈▼◆➐➑❘ 0 ✘ a1, a2, · · · , am, ❉❊ a1α1 +a2α2 +· · ·+amαm = 0, t✉ 0 = ϕ(0) = ϕ(a1α1 +a2α2 +· · ·+amαm) = a1ϕ(α1) + a2ϕ(α2) + · · · + amϕ(αm) t✉ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ✱✲❯➄✼ ➒✽➓➔★✾ α1, α2, · · · , αm ✿ V ● ✱✲➆➄✘ ✓ ✔➀★→➣ a1ϕ(α1)+a2ϕ(α2)+ · · · + amϕ(αm) = 0, ➇ ϕ(a1α1 + a2α2 + · · · + amαm) = 0 = ϕ(0), ✈ ❘ ϕ ✿ ✩✦ ✧★t✉ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0, ✇ ✈ ❘ α1, α2, · · · , αm ✱✲➆➄★ t✉ a1 = a2 = · · · = am = 0, t✉ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ✱✲➆➄✼ 3
3)设φ:V→W是同构映射.由命题,存在一一映射v:W→V,使得 uy=1,gp=1,下面证明v(1+A2)=v(1)+(2),v(A)=A(),事实上, 设,B2∈V,则存在唯一a1,a2∈W,使得g(a1)=B1,p(a2)=B2,g(a1+a2)= 1+B2,所以v(1+B2)=v(y(a1+a2))=a1+a2=t(1)+v(B2).另一方 面,设A∈K,B∈W,存在唯一a∈V,使得φ(a)=,所以g(a)=λ3,所以 v(入6)=Aa=Av() (4)反身性:ibv:VeV;对称性:由(3);传递性:设φ:V一W是同构映 射,设v:W→U是同构映射,则上面命题知是一一映射,且uy(a+) u(y(a)+y(6)=y(a)+wy(),uy(Aa)=v(Ay(a)=入uyp(a)=A(vy(a) (5)设p:VsW,dimV=n,且E1,E2,…,En是V的基,则y(1),p(e2),…,y(En) 在W中线性无关,且对任意∈W,存在a∈V,使φ(a)=B,a=∑a1s1,所以 B=9(a)=∑a(e),故y(=1),g(E2),……,y(En)是W的一个基,所以dimW=m 反之,dimV=dinW,则V全KnxW,所以VW.口 例6设V是m维线性空间,ε1,E2,…,En是V的一个基,a1,a2,…,am在 此基下的坐标为X1,X2,……,Xm,则r(X1,X2,…,Xm)=r(a1,a2,…,am) 证明在基e1,E2,…,En下,y:V→Kn×1,∑1ae;→→ 则φ是 同构映射.且y(a1)=X1,1≤i≤m,设r(a1,…,am)=r,且aa,……,ar是 a1,…,am的极大线性无关组,因为φ同构,所以φ(an),……,φ(an)是Kx中 极大线性无关组,即X1,Xa,…,Xa是X1,X2,…,Xm的极大线性无关组,所以 r(X1, X2 X T(a1,Q2, 例7在Fx]4中,讨论f1(x)=2+x+3x2+4x4,f2(x)=-1+2x+3x2+x3,Jf3(x)= 3-x-x3+4x4的秩 解取定F{x]4的基1,x,x2,x3,x4,则f(x)在此基下的坐标分别为a 21304
(3) ✾ ϕ : V → W ✿ ✫✬✦✧✼↔↕➙★ ▼◆✽✽✦✧ ψ : W → V , ❉❊ ψϕ = 1, ϕψ = 1, ➂➔➛➜ ψ(β1 + β2) = ψ(β1) + ψ(β2), ψ(λβ) = λψ(β), ➝➞⑨★ ✾ β1, β2 ∈ V , ❈▼◆❖✽ α1, α2 ∈ W, ❉❊ ϕ(α1) = β1, ϕ(α2) = β2, ϕ(α1 + α2) = β1 + β2, t✉ ψ(β1 + β2) = ψ(ϕ(α1 + α2)) = α1 + α2 = ψ(β1) + ψ(β2). ➒✽➓ ➔★✾ λ ∈ K, β ∈ W, ▼◆❖✽ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, t✉ ϕ(λα) = λβ,, t✉ ψ(λβ) = λα = λψ(β). (4) ➟➠✲✜ idV : V ∼= V ; ❅❭✲✜↔ (3); ➡➢✲✜✾ ϕ : V −→ W ✿ ✫✬✦ ✧★✾ ψ : W → U ✿ ✫✬✦✧★❈⑨➔↕➙➤ ψϕ ✿✽✽✦✧★❝ ψϕ(α + β) = ψ(ϕ(α) + ϕ(β)) = ψϕ(α) + ψϕ(β), ψϕ(λα) = ψ(λϕ(α)) = λψϕ(α) = λ(ψϕ(α)). (5) ✾ ϕ : V ∼= W, dimV = n, ❝ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘ ❺ ★ ❈ ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn) ◆ W ● ✱✲➆➄★❝❅ ❍■ β ∈ W, ▼◆ α ∈ V , ❉ ϕ(α) = β, α = Σaiεi , t✉ β = ϕ(α) = Σaiϕ(εi), ❽ ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn) ✿ W ✘✽❁❺★ t✉ dimW = n. ➟ P★ dimV = dimW, ❈ V ∼= Kn×1 ∼= W, t✉ V ∼= W. ✷ ❣ 6 ✾ V ✿ n ➋ ✱✲✳✴★ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘✽❁❺★ α1, α2, · · · , αm ◆ ➥ ❺➂ ✘ ✑✒❘ X1, X2, · · · , Xm, ❈ r(X1, X2, · · · , Xm) = r(α1, α2, · · · , αm). rs ◆❺ ε1, ε2, · · · , εn ➂ ★ ϕ : V −→ Kn×1 , Σ n i=1aiεi 7−→ α1 α2 . . . αn , ❈ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼❝ ϕ(αi) = Xi , 1 ≤ i ≤ m, ✾ r(α1, · · · , αm) = r, ❝ αi1, · · · , αir ✿ α1, · · · , αm ✘➦➧✱✲➆➄➀★ ✈ ❘ ϕ ✫✬★ t✉ ϕ(αi1), · · · , ϕ(αir) ✿ Kn×1 ● ➦➧✱✲➆➄➀★➇ Xi1, Xi2, · · · , Xir ✿ X1, X2, · · · , Xm ✘➦➧✱✲➆➄➀★ t✉ r(X1, X2, · · · , Xm) = r(α1, α2, · · · , αm). ✷ ❣ 7 ◆ F[x]4 ● ★➨➩ f1(x) = 2+x+3x 2+4x 4 , f2(x) = −1+2x+3x 2+x 3 , f3(x) = 3 − x − x 3 + 4x 4 ✘➫✼ ➭ ❹ ❡ F[x]4 ✘ ❺ 1, x, x2 , x3 , x4 , ❈ fi(x) ◆ ➥ ❺➂ ✘ ✑✒♦✻❘ α1 = 2 1 3 0 4 , 4
3 3 0|,由上面例子知r(a1;a2,a3)=2,所以r(1,,) 1 作业:P13,4 补充作业1:证明K2×2坐K4,并写出同构映射 补充作业2设A是m阶可逆阵,定义φ:Kn→Kn,X→AX,求证:φ是 同构映射. 思考:在K2中,令φ:K 则φ是同构映射
α2 = −1 2 3 1 0 , α3 = 3 −1 0 −1 4 , ↔ ⑨➔➯➲➤ r(α1, α2, α3) = 2, t✉ r(f1, f2, f3) = 2. ✷ ➳➵✜ P132 3, 4 ➸♥➳➵ 1: ➛➜ K2×2 ∼= K4 , ❲➺➻✫✬✦✧✼ ➸♥➳➵ 2: ✾ A ✿ n ➼➽➾➚★ ❡❢ ϕ : Kn → Kn , X 7→ AX, ✛➛✜ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼ ➪→✜ ◆ K2 ● ★ ② ϕ : K2 → K2 , a b 7→ 2b −a , ❈ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼ 5