厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第五章多项式 51-元多项式代数 教学目的和要求掌握一元多项式形式的准确描述;理解K]对于多项式的 加法,数乘,乘法构成κ-代数;掌握用多项式的次数来解题的方法. 定义 定义设K是一个数域,形如 f(r 的式子,其中x为形式符号(未定元,n∈Z>0,a1∈K,0≤i≤m,称为数域K上 的一个一元多项式,其中,a1x2称为多项式∫(x)的第i次项,a称为第i次项系 数.特别地,当an≠0时,称an为f(x)的首项系数,a称为∫(x)的常数项 当∫(x)=ao时,称f(x)为常数项多项式.f(x)=0称为零多项式 例v2+是否为多项式?∑=0x2=1+x+x2+…是否为多项式?x23 是否为多项式?是否为多项式? 数域K上的一元多项式全体记为K[ 二.多项式运算 多项式的相等:设∫(x)=anxn+an1-1xn-1+…+a1x+a0,g(x)=bmxm+ bn-1xmn-1+…+b1x+b,称f(x)与g(x)相等,记为f(x)=9(x),如果m=m,且 多项式的加法:设f(x),9(x)∈K[,适当增加系数为零的项,可记f(x) an"+ an-1C +a1x+a0,g(x)=bn2x+bn-1xn-1+….+b1x+bo.定义 f(x)+9(x):=(an+bn)xn+(an-1+bn2-1)xn-1+…+(a1+b1)x+(ao+bo) 多项式的加法满足:对任意的f(x),9(x),h(x)∈K[],有
kGq*℄: e IP 59.77.1.116; }J gdjpkc.xmu.edu.cn &)+ '*( §5.1 # it~ nWoWNH[A4 f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0, g(x) = bnx n + bn−1x n−1 + ... + b1x + b0. w f(x) + g(x) := (an + bn)x n + (an−1 + bn−1)x n−1 + ... + (a1 + b1)x + (a0 + b0). nW5!E Pv f(x), g(x), h(x) ∈ K[x], y 1
(1)结合律:(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) (2)交换律:f(x)+g(x)=9(x)+f(x); (3)存在零元:存在0∈K[],使得∫(x)+0=f(x); (4)存在负元:对任意∫(x),存在唯一9(x),使∫(x)+9(x)=0. 所以K[对于多项式的加法构成加群 多项式的数乘:设f(x)=anx2+an-1x-1+…+a1x+ao∈K[,c∈K,定 义cf(x):=cnxn+can-1xn-1+…+ca1x+cao 多项式的数乘满足:对任意的f(x),9(x)∈Kd],c,d∈K,有 (5)c(f(r)+g(a))=cf(r)+ cg(r); (6)(c+d)f(a)=cf(a)+df(ar) (7)(cd)f(x)=c(dJ(x); (8)1f(x)=f(x) 所以K[对于多项式的加法和数乘构成K-线性空间 多项式的乘法:设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao,9(x)=bnxm+ bm-1xmn-1+….+b1x+bo∈K,定义∫(x)9(x)=cm+nxm+n+cm+n-1xmn+n-1+ +1x+c0,其中ck=∑+=ka1b=abk+abk-1+…+akb,0≤k≤m+n 多项式乘法满足:对任意的f(x),9(x),h(x)∈K],c∈K,有 (9)(f(x)9(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x) (10)f(x)9(x)=9(x)f(x) (11)(f(x)+g(x)h(x)=f(x)h(x)+9(x)h(x); (12)c(f(x)9(x)=(cf(x)g(x)=f(x)(cg(x) 所以K[]对于多项式的加法,数乘,乘法构成K-交换代数 三.多项式的次数 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈kl,an≠0,则称f(x)是n次 多项式,记为degf(x)=n.定义deg0=-∞0 注∫(x)=0的充分必要条件是f(x)的首项系数为0 引理(1)deg(f(x)g(x)=degf(x)+deg(x) 2)deg(f()+g(r))< max degf(a), degg(a)
(1) ;0D (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)); (2) 91D f(x) + g(x) = g(x) + f(x); (3) B~ 0 ∈ K[x], V f(x) + 0 = f(x); (4) )~ Pv f(x), ft g(x), V f(x) + g(x) = 0. `u K[x] z nW5!, 5O nW\ T f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 ∈ K[x], c ∈ K, w cf(x) := canx n + can−1x n−1 + ... + ca1x + ca0. nW\ E Pv f(x), g(x) ∈ K[x], c, d ∈ K, y (5) c(f(x) + g(x)) = cf(x) + cg(x); (6) (c + d)f(x) = cf(x) + df(x); (7) (cd)f(x) = c(df(x)); (8) 1f(x) = f(x). `u K[x] z nW5!/\ , K- lp?7 nW !T f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0, g(x) = bmx m + bm−1x m−1 + ... + b1x + b0 ∈ K[x], w f(x)g(x) = cm+nx m+n + cm+n−1x m+n−1 + ... + c1x + c0, K ck = P i+j=k aibj = a0bk + a1bk−1 + ... + akb0, 0 ≤ k ≤ m + n. nW !E Pv f(x), g(x), h(x) ∈ K[x], c ∈ K, y (9) (f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)); (10) f(x)g(x) = g(x)f(x); (11) (f(x) + g(x))h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x); (12) c(f(x)g(x)) = (cf(x))g(x) = f(x)(cg(x)). `u K[x] z nW5!\ !, K- 91\ R nW\ T f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 ∈ K[x], an 6= 0, f(x) X n nW4g degf(x) = n. w deg0 = −∞. % f(x) = 0 Æ&rd8X f(x) Znj\g 0. " (1) deg(f(x)g(x)) = degf(x) + degg(x); (2) deg(f(x) + g(x)) ≤ max{degf(x), degg(x)}; 2
3)当0≠c∈K时,deg(cf(x)=degf(x) 命题设f(x),9(x)∈Krl,f(x)≠0,9(x)≠0,则f(x)g(x)≠0. 证明考虑首项系数 推论设∫(x)9(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0,则g(x)=h(x) 例设∫(x),g(x)∈R[x],且f(x)2+g(x)2=0,则f(x)=9(x)=0 证明反证法假设f(x)≠0或g(x)≠0.记f(x)=anxn+an-1x2-1+…+ a1x+a9(x)=bmmm+bm-1xm-1+…+b1x+b,不妨设n≥m.则f(x)2+g(x)2 的首项系数为a2+b或a2.即f(x)2+g(x)2的首项系数不为0,与题设矛盾.口 作业:设f(x),9(x),h(x)∈R],xf2(x)+mg2(x)=h2(x),则f(x)=g(x) h(x)=0 思考题:对任意非零多项式f(x)∈K],证明degf(f(x)=(degf(x)
(3) 0 6= c ∈ K U deg(cf(x)) = degf(x). T f(x), g(x) ∈ K[x], f(x) 6= 0, g(x) 6= 0, f(x)g(x) 6= 0. $ =CZnj\ T f(x)g(x) = f(x)h(x) L f(x) 6= 0, g(x) = h(x). T f(x), g(x) ∈ R[x], L f(x) 2 + g(x) 2 = 0, f(x) = g(x) = 0. $ "!6T f(x) 6= 0 2 g(x) 6= 0. 4 f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 g(x) = bmx m + bm−1x m−1 + ... + b1x + b0. $T n ≥ m. f(x) 2 + g(x) 2 Znj\g a 2 n + b 2 n 2 a 2 n . 3 f(x) 2 + g(x) 2 Znj\ g 0, {bTF 2 sT f(x), g(x), h(x) ∈ R[x], xf 2 (x) + xg2 (x) = h 2 (x), f(x) = g(x) = h(x) = 0. ^=b Pv%B nW f(x) ∈ K[x], I degf(f(x)) = (degf(x))2 . 3