厦门大学高等代数教案(08版)网站TP地址:59.71.,16;域名; gdjpkc. xmu. edu.cn §45不变子空间 教学目的和要求熟练掌握不变子空间的定义与导出线性变换,正确理解线性 变换与它在不变子空间上导出变换的异同点;了解用矩阵刻画不变子空间的方法 定义1设φ是n维线性空间V的线性变换,设U是V的子空间,满足 y(U)sU,则称U是φ-不变子空间(或φ-子空间将φ限制在U上,导出U 上的线性变换,称为由φ导出的线性变换(或称为φ在U上的限制,记为yl 注1y与φu的相同点是对应法则一样;差别点在于:y是V的线性变换, yb是U的线性变换 例1(1)线性空间V本身和零子空间是任一线性变换的不变子空间; (2)设φ=Adv:V→V的数乘变换,则V的任一子空间都是y-子空间; (3)设φ是线性空间V上的线性变换,V,V是y-子空间,则V+V2,Vi∩V2 是φ-子空间 例2设φ是V上线性变换,则Kery,Imφ是φ-子空间 证明对于任意的a∈Kery,有y(a)=0∈Kery,所以g(Kery) C Kery.对 于任意y(a)∈Imy,g(y(a)∈Imp,所以p(Imy)sI 定理1设U是线性空间V上线性变换φ的不变子空间,设51,52,…,5是 U的一组基,扩为V的基51,…,5r,5r+1,……,5n,则φ在此基下的矩阵为 +1 反之,若φ在基51,…,5r,5r+1…,5n下矩阵为(*),则L(51,…,5r)是φ子空
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ (08 ✡) ☛☞ IP ✌✍✎ 59.77.1.116; ✏✑✎ gdjpkc.xmu.edu.cn §4.5 ✒✓✔✕✖ ✗✘ ✙✚✛✜✢ ✣✤✥✦✒✓✔✕✖✧★✩✪✫✬✭✮✓✯✰✱✲✳✴✭✮ ✓✯✪✵✶✒✓✔✕✖✷✫✬✓✯✧✸✹✺✻✼ ✴✽✾✿❀❁✒✓✔✕✖✧❂❃❄ ❅❆ 1 ❇ ϕ ❈ n ❉ ✭✮✕ ✖ V ✧✭✮✓✯✰❇ U ❈ V ✧ ✔✕ ✖✰❊❋ ϕ(U) ⊆ U, ●❍ U ❈ ϕ− ✒✓✔✕✖ (■ ϕ− ✔✕✖). ❏ ϕ ❑▲✶ U ✷ ✰ ✫✬ U ✷✧✭✮✓✯✰❍▼◆ ϕ ✫✬✧✭✮✓✯ (■❍▼ ϕ ✶ U ✷✧❑▲), ❖▼ ϕ|U . P 1 ϕ ✪ ϕ|U ✧◗✹✺ ❈❘❙❃ ●❚❯✻❱❲✺✶❳❨ ϕ ❈ V ✧✭✮✓✯✰ ϕ|U ❈ U ✧✭✮✓✯❄ ❩ 1 (1) ✭✮✕✖ V ❬❭❪❫✔✕✖❈❴❚✭✮✓✯✧ ✒✓✔✕✖✻ (2) ❇ ϕ = λidV : V → V ✧❵❛✓✯✰● V ✧ ❴❚✔✕✖❜ ❈ ϕ− ✔✕✖✻ (3) ❇ ϕ ❈ ✭✮✕✖ V ✷✧✭✮✓✯✰V1, V2 ❈ ϕ− ✔✕✖✰● V1+V2, V1∩V2 ❈ ϕ − ✔✕✖❄ ❩ 2 ❇ ϕ ❈ V ✷✭✮✓✯✰● Kerϕ,Imϕ ❈ ϕ − ✔✕✖❄ ❝❞ ❘ ❳ ❴❡✧ α ∈ Kerϕ, ❢ ϕ(α) = 0 ∈ Kerϕ, ❣❤ ϕ(Kerϕ) ⊆ Kerϕ. ❘ ❳ ❴❡ ϕ(α) ∈ Imϕ, ϕ(ϕ(α)) ∈ Imϕ, ❣❤ ϕ(Imϕ) ⊆ Imϕ. ✷ ❅✐ 1 ❇ U ❈ ✭✮✕✖ V ✷✭✮✓✯ ϕ ✧ ✒✓✔✕✖✰❇ ξ1, ξ2, · · · , ξr ❈ U ✧ ❚❥❦✰❧▼ V ✧ ❦ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn, ● ϕ ✶♠❦♥✧ ✾✿▼ a11 · · · ar,1 ar+1,1 · · · an,1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · a1,r · · · ar,r ar+1,r · · · an,r 0 · · · 0 ar+1,r+1 · · · an,r+1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · 0 ar+1,n · · · an,n , (∗) ♦♣✰q ϕ ✶ ❦ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn ♥✾✿▼ (∗), ● L(ξ1, · · · , ξr) ❈ ϕ- ✔✕ ✖ ❄ 1
推论1设φ是n维线性空间V的线性变换,V=V⊕V2,V1与V是 φ-子空间,51,…,5,是V的一组基,5+1,……,5n是V的一组基,则p在基 1,…,sr,5r+1,…,5n下的矩阵为 A10 0A2 其中A1为r阶方阵,A2为m-r阶方阵.反之,若φ在基51,……,5r,5r+1,…,5n 下的矩阵为(*),令Ⅵ=L(51,…,5),V=L(5-+1,…,5n),则V,V都是φ-子空 间,且V=V⊕V 注2推论可以推广到m个不变子空间的情况. 31-1 例3设V是3维线性空间,在基,525下的矩阵为22-1求 证:U=L(53,51+52+253)是φ-子空间 证明g(53)=-51-52=-(51+52+253)+253∈U,y(51+52+23) 351+252+253+51+252+253-251-22=251+22+43=2(1+52+253)∈U 所以φ(U)≤U,即U是φ-子空间.口 例4设φ是n维线性空间v的线性变换,y2=y,求证存在子空间W,使 得对于任意的a∈W,g(a)=a;若φ的秩<m,则存在非平凡子空间U,使得 (U)=0且v=W⊕U. 证明令5+1,……,5n是Kery的基,扩为V的基51,…,5r,5+1,…,5n,则g(51) ,9(5)是Imy的一组基,令W=Imy,则对任意的a∈Img,a=∑=1ap(51), ∑=1ay2(51)=∑1ay()=a,令U=Kery,则Kerp∩Imp=0,事实 上,设β∈ KerpnImyp,则存在a∈V,使β=g(a),0=9(6)=y2(a)=y(a)=B, 又因为 dimly+ dimEry=m,所以V=Kery⊕Img.口 注32=,9在基6),…,(),5+,…,sm下的矩阵为(0),用矩 阵语言叙述,设A=A∈Kx,则A相似于矩阵(0),即存在可逆矩阵P 使A P 注4一般地,虽然 dimImyp+ dimEry=n,但未必有v= KeryeImyp,例
rs 1 ❇ ϕ ❈ n ❉ ✭✮✕ ✖ V ✧✭✮✓✯✰ V = V1 ⊕ V2, V1 ✪ V2 ❈ ϕ- ✔✕✖✰ ξ1, · · · , ξr ❈ V1 ✧ ❚❥❦✰ ξr+1, · · · , ξn ❈ V2 ✧ ❚❥❦✰● ϕ ✶ ❦ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn ♥ ✧ ✾✿▼ A1 0 0 A2 (∗) t✉ A1 ▼ r ✈ ❂ ✿✰ A2 ▼ n −r ✈ ❂ ✿ ❄♦♣✰q ϕ ✶ ❦ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn ♥ ✧ ✾✿▼ (∗), ✇ V1 = L(ξ1, · · · , ξr), V2 = L(ξr+1, · · · , ξn), ● V1, V2 ❜ ❈ ϕ- ✔✕ ✖✰① V = V1 ⊕ V2. P 2 ②③④❤②⑤⑥ m ⑦✒✓✔✕✖✧⑧⑨❄ ❩ 3 ❇ V ❈ 3 ❉ ✭✮✕✖✰ ϕ ✶ ❦ ξ1, ξ2, ξ3 ♥ ✧ ✾✿▼ 3 1 −1 2 2 −1 2 2 0 . ⑩ ❶❨ U = L(ξ3, ξ1 + ξ2 + 2ξ3) ❈ ϕ- ✔✕✖❄ ❝❞ ϕ(ξ3) = −ξ1 − ξ2 = −(ξ1 + ξ2 + 2ξ3) + 2ξ3 ∈ U, ϕ(ξ1 + ξ2 + 2ξ3) = 3ξ1 + 2ξ2 + 2ξ3 + ξ1 + 2ξ2 + 2ξ3 − 2ξ1 − 2ξ2 = 2ξ1 + 2ξ2 + 4ξ3 = 2(ξ1 + ξ2 + 2ξ3) ∈ U , ❣❤ ϕ(U) ⊆ U, ❷ U ❈ ϕ- ✔✕✖❄ ✷ ❩ 4 ❇ ϕ ❈ n ❉ ✭✮✕✖ V ✧✭✮✓✯✰ ϕ 2 = ϕ, ⑩ ❶❸✶ ✔✕✖ W, ❹ ❺ ❘ ❳ ❴❡✧ α ∈ W, ϕ(α) = α; q ϕ ✧❻ < n, ● ❸✶❼❽❾✔✕ ✖ U, ❹ ❺ ϕ(U) = 0 ① V = W ⊕ U. ❝❞ ✇ ξr+1, · · · , ξn ❈ Kerϕ ✧ ❦✰❧▼ V ✧ ❦ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn, ● ϕ(ξ1), · · ·, ϕ(ξr) ❈ Imϕ ✧ ❚❥❦✰✇ W = Imϕ, ●❘❴❡✧ α ∈ Imϕ, α = Σr i=1aiϕ(ξi), ϕ(α) = Σr i=1aiϕ 2 (ξi) = Σr i=1aiϕ(ξi) = α, ✇ U = Kerϕ, ● Kerϕ ∩ Imϕ = 0, ❿➀ ✷ ✰❇ β ∈ Kerϕ∩Imϕ, ● ❸✶ α ∈ V , ❹ β = ϕ(α), 0 = ϕ(β) = ϕ 2 (α) = ϕ(α) = β, ➁➂▼ dimImϕ + dimKerϕ = n, ❣❤ V = Kerϕ ⊕ Imϕ. ✷ P 3 ϕ 2 = ϕ, ϕ ✶ ❦ ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξr), ξr+1, · · · , ξn ♥ ✧ ✾✿▼ Ir 0 0 0 . ✽✾ ✿ ➃➄➅➆✰❇ A2 = A ∈ Kn×n , ● A ◗➇❳✾✿ Ir 0 0 0 , ❷ ❸✶ ④➈✾✿ P, ❹ A = P −1 Ir 0 0 0 P. P 4 ❚➉➊✰➋➌ dimImϕ+ dimKerϕ = n, ➍➎➏❢ V = Kerϕ⊕Imϕ, ➐ ❨ 2
b 0),则 Kery= Img 0)a∈k 作业:P179:1,2,3;复习题4P1791,2 挑战题:P796 讲授第五节时,有时间可继续由扩基构造线性映射的方法.复习题中10,14, 5,16,18;剩余的11,17,19,20留习题课处理 复习题10dimU=m,dimV=n,m<n,p:U→V单线性映射,求证存在满 线性映射v:V→U,使得v=id 证法1设51,……,5m是U的基,则因为φ是单射,所以φ(51),…,p(5m)线 性无关,扩为U的基φ(51),…,φ(5m),Bm+1,…,2,则存在线性映射v:V→U 使得v(φ(5)=5,1≤i≤m;v()=0,m+1≤j≤m,则v满线性映射且 v(y(1))=5,1≤i≤m,所以vy=1 证法2设51,…,5m是U的基,m,…,mn2是V的基 p(51,……,5m)=(mh,……,mn)An 因为是单射,所以r(A)=m,存在B∈Km×n,r(B)=m,使BA=I,事实上, 因为r(4)=m,所以存在可逆矩阵P∈Kx,Q∈Kmm,使A=P 0 Q 令B=Q-1(Lm,0)P-1∈Kmm,则有r(B)=m,且BA=1,令:V→U是如 下决定的线性映射v(m,……,mn)=(51,……,5m)B,则有vyp=id.口 复习题18φ:V→U线性映射,求证存在线性映射v:U→V,使ypuy=y 证法1设dimV=m,51,…,5m是一组基,且dimU=n,m,…,mn是一组 基,使得 Ir 0 即y(5)=nh,1≤i≤r;y(5)=0,r+1≤j≤m,令v(mn)=5,1≤i≤ r;yp(7)=0,r+1≤j≤n,则v是线性映射,且有yy(Cm105)=9(=1a1nh y(∑=1a152)=∑=1a1nh=y(∑m1a15),即yup=y 证法2设dimV=m,51,…,Em是一组基,且dimU=n,m,…,mn是一组
ϕ : K2×1 −→ K2×1 , a b 7−→ b 0 , ● Kerϕ = Imϕ = { a 0 |a ∈ K}. ➑➒❨ P179 : 1, 2, 3; ➓➔→ 4 P179 1, 2 ➣↔→❨ P179 6 ↕➙➛➜➝➞✰❢➞ ✖④➟➠◆❧❦➡➢✭✮➤➥✧❂❃❄➓➔→✉ 10, 14, 15, 16, 18; ➦➧✧ 11, 17, 19, 20 ➨➔→➩➫✳ ❄ ➭➯➲ 10 dimU = m, dimV = n, m < n, ϕ : U → V ➳ ✭✮➤➥✰⑩ ❶❸✶ ❊ ✭✮➤➥ ψ : V → U, ❹ ❺ ψϕ = idU . ❝➵ 1 ❇ ξ1, · · · , ξm ❈ U ✧ ❦✰●➂ ▼ ϕ ❈➳➥ ✰❣❤ ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξm) ✭ ✮➸➺✰❧▼ U ✧ ❦ ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξm), βm+1, · · · , βn, ● ❸✶✭✮➤➥ ψ : V → U, ❹ ❺ ψ(ϕ(ξi)) = ξi , 1 ≤ i ≤ m; ψ(βj ) = 0, m + 1 ≤ j ≤ n, ● ψ ❊ ✭✮➤➥① ψ(ϕ(ξi)) = ξi , 1 ≤ i ≤ m, ❣❤ ψϕ = 1. ❝➵ 2 ❇ ξ1, · · · , ξm ❈ U ✧ ❦✰ η1, · · · , ηn ❈ V ✧ ❦✰ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn)An×m, ➂ ▼ ϕ ❈➳➥ ✰❣❤ r(A) = m, ❸✶ B ∈ Km×n , r(B) = m, ❹ BA = I, ❿➀✷ ✰ ➂ ▼ r(A) = m, ❣❤❸✶ ④➈✾✿ P ∈ Kn×n , Q ∈ Km×m, ❹ A = P Im 0 Q, ✇ B = Q−1 (Im, 0)P −1 ∈ Kn×m, ●❢ r(B) = m, ① BA = I, ✇ ψ : V → U ❈➻ ♥➼★✧✭✮➤➥ ψ(η1, · · · , ηn) = (ξ1, · · · , ξm)B, ●❢ ψϕ = idU . ✷ ➭➯➲ 18 ϕ : V → U ✭✮➤➥✰⑩ ❶❸✶✭✮➤➥ ψ : U → V , ❹ ϕψϕ = ϕ. ❝➵ 1 ❇ dimV = m, ξ1, · · · , ξm ❈❚❥❦✰① dimU = n, η1, · · · , ηn ❈❚❥ ❦✰❹❺ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn) Ir 0 0 0 , ❷ ϕ(ξi) = ηi , 1 ≤ i ≤ r; ϕ(ξj) = 0, r + 1 ≤ j ≤ m, ✇ ψ(ηi) = ξi , 1 ≤ i ≤ r; ϕ(ηj ) = 0, r+1 ≤ j ≤ n, ● ψ ❈ ✭✮➤➥✰①❢ ϕψϕ(Σm i=1aiξi) = ϕψ(Σr i=1aiηi) = ϕ(Σr i=1aiξi) = Σr i=1aiηi = ϕ(Σm i=1aiξi), ❷ ϕψϕ = ϕ. ❝➵ 2 ❇ dimV = m, ξ1, · · · , ξm ❈❚❥❦✰① dimU = n, η1, · · · , ηn ❈❚❥ 3
基,使得 . 0 p(1,…,5n)=(Ⅶn,…,m)(00 因为 0 . 0 Ir 0 l 0 00 00 令v:U 是由下列式子确定的线性映射 v(7 (51,…,5m) Ir 0 则根据同构对应,有yuy=φ.口
❦✰❹❺ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn) Ir 0 0 0 , ➂ ▼ Ir 0 0 0 n×m = Ir 0 0 0 n×m Ir 0 0 0 m×n Ir 0 0 0 n×m , ✇ ψ : U → V ❈◆♥➽➾✔✲★✧✭✮➤➥ ψ(η1, · · · , ηn) = (ξ1, · · · , ξm) Ir 0 0 0 m×n . ●➚➪✹ ➡❘❙✰❢ ϕψϕ = ϕ. ✷ 4
