厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn 36矩阵的秩 教学目的和要求掌握矩阵秩的定义及基本性质,了解用子式判别矩阵秩的方 法,熟练掌握用相抵标准型,用行(列)向量组的线性关系和用方块初等变换来证 明秩的命题的方法 定义A∈Kmxn的行向量的秩称为A的行秩A的列向量的秩称为A的列 秩 定理1矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变 证明(1)首先证明矩阵的行秩在行初等变换下不变 设A 其中α;是A的行向量.因为互换变换不改变A的行向量 ai- 所以不改变行秩对于数乘变换,令A1=P(A)A=Aa,显然A2的行向量 与A的行向量等价.对于消法变换,令A2=T(A)A= 易见A2 Xai+aj 行向量可由A的行向量线性表示.反之,a=(-入)a+(Aa+a),所以A行向 量可由A2的行向量线性表示.故A2与A行向量等价 同理,A的列秩在列初等变换下不改变 (2)证明矩阵的列秩经过行初等变换不变 我们只要证明QA与A的列秩相同,其中Q是初等阵.记A=(1,A2,…,An), QA=(Q61,QB,…,QAn),设r(A)=T,不妨设1,B2,…,A是A的列向量
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.6 ✑✒✓✔ ✕✖ ✗✘✙✚✛ ✜✢✑✒✔✓✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✑✒✔✓✲ ✳✪✴✵✜✢✭✶✷✸✹✺✪✭✻ (✼) ✽ ✾✿✓❀★❁❂❃✭✲❄❅❆❇❈❉❊ ❋✔✓●❍✓✲✳■ ❏❑ A ∈ Km×n ✓✻✽ ✾✓✔▲▼ A ✓ ◆❖. A ✓ ✼✽✾✓✔▲▼ A ✓ P ❖ . ❏◗ 1 ✑✒✓✻✔❘✼ ✔❙❅❆❇❈❚❯❇■ ❱❲ (1) ❳❨❊❋ ✑✒✓✻✔❙✻❅❆❇❈❚❯❇■ ❩ A = α1 α2 · · · αm , ❬❭ αi ❪ A ✓✻✽ ✾■❫▼❴❈❇❈❯❵❇ A ✓✻✽ ✾✪ ❛❜❯❵❇✻✔■❝❞❡❢❇❈✪❣ A1 = Pi(λ)A = α1 · · · αi−1 λαi αi+1 · · · αm , ❤✐ A1 ✓✻✽ ✾ ❘ A ✓✻✽ ✾❆❥■❝❞❦✳❇❈✪❣ A2 = Tij (λ)A = α1 · · · αi · · · λαi + αj · · · αm , ❧♠ A2 ✻ ✽ ✾♥♦ A ✓✻✽ ✾❀★♣q■rs✪ αj = (−λ)αi + (λαi + αj ), ❛❜ A ✻ ✽ ✾♥♦ A2 ✓✻✽ ✾❀★♣q■t A2 ❘ A ✻ ✽ ✾❆❥■ ✉✈✪ A ✓ ✼ ✔❙✼ ❅❆❇❈❚❯❵❇■ (2) ❊❋ ✑✒✓ ✼ ✔✇①✻❅❆❇❈❯❇■ ②③④⑤❊❋ QA ❘ A ✓ ✼ ✔✶✉✪ ❬❭ Q ❪ ❅❆✒ ■⑥ A = (β1, β2, · · · , βn), QA = (Qβ1, Qβ2, · · · , Qβn), ❩ r(A) = r, ❯⑦❩ β1, β2, · · · , βr ❪ A ✓ ✼ ✽✾ 1
的极大无关组,则Q1,Q32,……,Q是QA的列向量的极大无关组.事实上 A2Q1+A2QB2+…+AQB=0,Q(A1A1+A22+…+AA)=0,因为Q可 逆.所以A1/1+A2B2+…+A=0,又因为1,B2,…,B-线性无关,所以 入=0 对于任意Q3,可表为A1,A2…,B的线性组合,B=a1+a22+…+ arB,所以Q3=a1Q1+a2Q2+…+anQB·所以QA的列秩为r,即QA与 A的列秩相同 同理,可证A的行秩在列初等变换下不变.口 注在证明”矩阵的列秩经过行初等变换不变”过程中,我们不但指出r(QA r(A)且指出QA与A的极大无关组在相同的列中 证明A经初等变换变为B=/于列秩 推论1任一矩阵A∈Knxn的行秩等 B的行秩=B的列秩=r.因为初等 变换不改变行秩和列秩,所以A的行秩=B的行秩=B的列秩=A的列秩.口 注定义矩阵A的秩为A的行秩(或列秩),记为r(A) 推论2r(4)=r(A) 推论3设A∈Ⅳm×,P为m阶可逆矩阵,Q为n阶可逆矩阵,则r(PA) r(A)=r(4Q) 推论4设A∈KmXn.则下列命题等价 (1)r(4)=n; (2)|A4≠0 (3)A的行(列)向量线性无关 (4)A的行向量(列向量)秩=n 证明r(A)=n兮A相抵于Ⅰ兮|4≠0A的行向量(列向量)秩=n.口 推论5设A,B∈Km×n,则A相抵于B的充分必要条件是r(A)=r(B) 证明必要性.因为初等变换不改变矩阵的秩 充分性设A相抵于(0),B相抵于(00).因为r(4)=r(B),所 。0 00 以r=s.由于矩阵的相抵关系满足对称性和传递性,知A相抵于B.口
✓⑧⑨⑩❁✿✪❶ Qβ1, Qβ2, · · · , Qβr ❪ QA ✓ ✼✽✾✓⑧⑨⑩❁✿■❷❸❹✪ λ1Qβ1 + λ2Qβ2 + · · · + λrQβr = 0, Q(λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr) = 0, ❫▼ Q ♥ ❺■❛❜ λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = 0, ❻ ❫▼ β1, β2, · · · , βr ❀★⑩❁✪❛❜ λ1 = λ2 = · · · = λr = 0. ❝❞❼❽ Qβj , βj ♥♣▼ β1, β2, · · · , βr ✓❀★✿❾✪ βj = a1β1 + a2β2 + · · · + arβr, ❛❜ Qβj = a1Qβ1 + a2Qβ2 + · · · + arQβr. ❛❜ QA ✓ ✼ ✔▼ r, ❿ QA ❘ A ✓ ✼ ✔✶✉■ ✉✈✪♥❊ A ✓✻✔❙✼ ❅❆❇❈❚❯❇■ ✷ ➀ ❙❊❋ ” ✑✒✓ ✼ ✔✇①✻❅❆❇❈❯❇ ” ①➁❭ ✪②③❯➂➃➄ r(QA) = r(A) ➅ ➃➄ QA ❘ A ✓⑧⑨⑩❁✿❙✶✉✓ ✼❭■ ➆➇ 1 ❼➈✑✒ A ∈ Kn×n ✓✻✔❆❞ ✼ ✔■ ❱❲ A ✇❅❆❇❈❇▼ B = Ir 0 0 0 , B ✓✻✔ =B ✓ ✼ ✔ = r. ❫▼❅❆ ❇❈❯❵❇✻✔❃✼ ✔✪❛❜ A ✓✻✔ =B ✓✻✔ =B ✓ ✼ ✔ =A ✓ ✼ ✔■ ✷ ➀ ✣✤ ➉➊ A ✘❖ ▼ A ✓✻✔ (➋✼✔ ), ⑥▼ r(A). ➆➇ 2 r(A) = r(A0 ). ➆➇ 3 ❩ A ∈ Km×n , P ▼ m ➌ ♥❺✑✒✪ Q ▼ n ➌ ♥❺✑✒✪❶ r(P A) = r(A) = r(AQ). ➆➇ 4 ❩ A ∈ Kn×n . ❶❚✼ ●❍❆❥■ (1) r(A) = n; (2) |A| 6= 0; (3) A ✓✻ (✼) ✽ ✾❀★⑩❁➍ (4) A ✓✻✽ ✾ (✼✽✾ ) ✔ = n. ❱❲ r(A) = n ⇔ A ✶✷❞ I ⇔ |A| 6= 0 ⇔ A ✓✻✽ ✾ (✼✽✾ ) ✔ = n. ✷ ➆➇ 5 ❩ A, B ∈ Km×n . ❶ A ✶✷❞ B ✓➎➏➐⑤➑➒❪ r(A) = r(B). ❱❲ ➐⑤★■❫▼❅❆❇❈❯❵❇✑✒✓✔■ ➎➏★■❩ A ✶✷❞ Ir 0 0 0 , B ✶✷❞ Is 0 0 0 . ❫▼ r(A) = r(B), ❛ ❜ r = s. ♦❞ ✑✒✓✶✷❁❂➓➔❝▲★❃→➣★✪↔ A ✶✷❞ B. ✷ 2
推论6r(4)=的充分必要条件是A相抵于 Ⅰ0 下面介绍矩阵的秩的行列式判别方法 定理2记A=(a)mxn,则r(4)=r的充分必要条件是A中存在的一个r阶 子式不为0,且任意r+1阶子式全为0 证明必要性.设r(4)=T,则A的任意r+1行线性相关,则A的任意r+1 阶子式的行向量线性相关,所以任意r+1阶子式为0.又因为r(4)=r,所以A 有r行线性无关不妨设为前r行线性无关,故B=212 2n 秩为r.所以B有r列线性无关,即A有一个r阶子式不等于0 充分性,设r(A)=t.由必要性知t≥r.但若t>r,则有一个t阶子式不为 0,由 Laplace定理知此为不可能,所以t=r.口 下面是关于矩阵秩的一些命题的例子,要注意学习和掌握证明方法 A 0 例2设C=(0B),求证:r(C)=r(A)+r(B) 证明设r(A)=r,r(B)=8,则存在可逆阵P,P2,Q1,Q2使得 A=F(00),B=P Is 0 00 所以 . 0 P10/A0/Q10 P1AQ1 0 00 0P2 0 B 0Q2 0 P2BQ2 l。0 00 故r(C)=r+s=r(4)+r(B) 例3r(AB)≤min{r(A),r(B)} 证明1设A∈Kmxn,B=(1,B2,……,B.)∈Knxs,则AB=(A1,AB2,……,A 设r(B)=r,不妨设1,A2…,B,是B的行向量的极大线性无关组,则任意的 B可由A1,A2,…,A,线性表出.所以任意的A可由AA1,AB2,…,AA,线性 表示,所以r(AB)≤r(B),考虑A的行向量可证r(AB)≤r(A)
➆➇ 6 r(A) = r ✓➎➏➐⑤➑➒❪ A ✶✷❞ Ir 0 0 0 . ❚↕➙➛✑✒✓✔✓✻✼ ✯✰✱✲✳■ ❏◗ 2 ⑥ A = (aij )m×n, ❶ r(A) = r ✓➎➏➐⑤➑➒❪ A ❭ ➜❙✓➈➝ r ➌ ✮✯❯▼ 0, ➅ ❼❽ r + 1 ➌ ✮✯➞▼ 0. ❱❲ ➐⑤★■❩ r(A) = r, ❶ A ✓❼❽ r + 1 ✻❀★✶❁✪❶ A ✓❼❽ r + 1 ➌ ✮✯✓✻✽ ✾❀★✶❁✪❛❜❼❽ r + 1 ➌ ✮✯▼ 0. ❻ ❫▼ r(A) = r, ❛❜ A ➟ r ✻❀★⑩❁■❯⑦❩▼➠ r ✻❀★⑩❁✪t B = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · ar1 ar2 · · · arn ✓ ✔▼ r. ❛❜ B ➟ r ✼ ❀★⑩❁✪❿ A ➟➈➝ r ➌ ✮✯❯❆❞ 0. ➎➏★■❩ r(A) = t. ♦➐⑤★↔ t ≥ r. ➂➡ t > r, ❶➟➈➝ t ➌ ✮✯❯▼ 0, ♦ Laplace ✣✈↔➢▼❯♥➤■❛❜ t = r. ✷ ❚↕❪ ❁❞ ✑✒✔✓➈➥●❍✓➦✮✪⑤➧❽➨➩❃✜✢❊❋✲✳■ ➫ 2 ❩ C = A 0 0 B , ➭ ❊➯ r(C) = r(A) + r(B). ❱❲ ❩ r(A) = r, r(B) = s, ❶➜❙♥❺✒ P1, P2, Q1, Q2, ➲➳ A = P −1 1 Ir 0 0 0 Q −1 1 , B = P −1 2 Is 0 0 0 Q −1 2 , ❛❜ P1 0 0 P2 A 0 0 B Q1 0 0 Q2 = P1AQ1 0 0 P2BQ2 = Ir 0 0 0 Is 0 0 0 , t r(C) = r + s = r(A) + r(B). ➫ 3 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}. ❱❲ 1 ❩ A ∈ Km×n , B = (β1, β2, · · · , βs) ∈ Kn×s , ❶ AB = (Aβ1, Aβ2, · · · , Aβs). ❩ r(B) = r, ❯⑦❩ βi1 , βi2 , · · · , βir ❪ B ✓✻✽ ✾✓⑧⑨❀★⑩❁✿✪❶❼❽✓ βj ♥♦ βi1 , βi2 , · · · , βir ❀★♣➄■❛❜❼❽✓ Aβj ♥♦ Aβi1 , Aβi2 , · · ·, Aβir ❀★ ♣q✪❛❜ r(AB) ≤ r(B), ➵➸ A ✓✻✽ ✾♥❊ r(AB) ≤ r(A). 3
证明2设r(4)=,所以A=P(40 00),记QB 则 (n-r)×s r(AB) =rP(40 00 QB)=r( I 0 0 同理,若取B的标准型,可得r(AB)≤r(B) 证明3设n(4)=n,H(B)=,则A=P(0)Q1,B=B1(0)a 则 r(B)=叫00)/.0 L 0 记Q1P F)则(0 Cr×sD O,P 0 00 00 所以 00 r(AB)=r( Crs ≤min{r,s}.口 例4设A∈Knxn,则A2=A的充分必要条件是r(4)+r(1-A)=n 证明做矩阵的块的初等变换 (an=4)-(ar-A)-(4) A2-A0 所以r(A)+r(I-A)=r(42-A)+n.故 A2=A的充分必要条件是r(A)+r(I-A)=n.口 注r(4)+r(I-4)≥n 例5一个矩阵添加一行(或一列),秩不变或加1 证明设A= 若β可由a1,a2…,am线性表示,则 r(4)=r(B).若B不可由a1,a2…,am线性表示,则r(B)=r(A)+1.口 例6a1=(2,1,3,0.,4),a2=(-1,2,3,1,0),a3=(3,-1,0,-1,4), (1)求a1,a2,a3的一个极大线性无关组; (2)求r{a1,a2,a3}; (3)将(1)中极大线性无关组扩为Kx1的一个基 解根据定理1的证明,对A作行的初等变换不改变列的线性相关性质.因为
❱❲ 2 ❩ r(A) = r, ❛❜ A = P Ir 0 0 0 Q, ⑥ QB = Cr×s D(n−r)×s , ❶ r(AB) = r(P Ir 0 0 0 QB) = r( Ir 0 0 0 Cr×s D(n−r)×s ) = r( Cr×s 0 ) ≤ r. ✉✈✪➡➺ B ✓✸✹✺✪♥➳ r(AB) ≤ r(B). ❱❲ 3 ❩ r(A) = r, r(B) = s, ❶ A = P1 Ir 0 0 0 Q1, B = P2 Is 0 0 0 Q2, ❶ r(AB) = r( Ir 0 0 0 Q1P2 Is 0 0 0 ), ⑥ Q1P2 = Cr×s D F H ❶ Ir 0 0 0 Q1P2 Is 0 0 0 = Cr×s 0 0 0 , ❛❜ r(AB) = r( Cr×s 0 0 0 ) ≤ min{r, s}. ✷ ➫ 4 ❩ A ∈ Kn×n , ❶ A2 = A ✓➎➏➐⑤➑➒❪ r(A) + r(I − A) = n. ❱❲ ➻ ✑✒✓❄✓❅❆❇❈✪ A 0 0 I − A → A A 0 I − A → A A A I → A2 − A A 0 I → A2 − A 0 0 I , ❛❜ r(A) + r(I − A) = r(A2 − A) + n. t A2 = A ✓➎➏➐⑤➑➒❪ r(A) + r(I − A) = n. ✷ ➀ r(A) + r(I − A) ≥ n. ➫ 5 ➈➝✑✒➼➽➈✻ (➋ ➈ ✼), ✔❯❇➋ ➽ 1. ❱❲ ❩ A = α1 α2 · · · αm , B = α1 α2 · · · αm β , ➡ β ♥♦ α1, α2 · · · , αm ❀★♣q✪❶ r(A) = r(B). ➡ β ❯♥♦ α1, α2 · · · , αm ❀★♣q✪❶ r(B) = r(A) + 1. ✷ ➫ 6 α1 = (2, 1, 3, 0, 4), α2 = (−1, 2, 3, 1, 0), α3 = (3, −1, 0, −1, 4), (1) ➭ α1, α2, α3 ✓➈➝⑧⑨❀★⑩❁✿➍ (2) ➭ r{α1, α2, α3}; (3) ➾ (1) ❭ ⑧⑨❀★⑩❁✿➚▼ K5×1 ✓➈➝✦■ ➪ ➶➹✣✈ 1 ✓❊❋✪❝ A ➘ ✻✓❅❆❇❈❯❵❇✼ ✓❀★✶❁★✩■❫▼ 4
2-13 2 12-1 10000 55 (a1,a2a3)=330 330 33 01-1 000|,所以r{a1,a2,a3}=2,a,a2为极大线性无关组 000 000 0 0 因为 ≠0,令e3 00100 0|,es=0,则 1,a2,e3,e4,es≠0 故a1,a2,e3,c4,是K×1的一个基 作业:P126:2(2),4, 5(1):求证:r(A,B)≤r(4)+r(B); 5(3):求证:r(A+B)≤r(A)+r(B), P127:8,10 思考题:P127,9;P57 挑战题:P12711,12
(α 0 1 , α0 2 , α0 3 ) = 2 −1 3 1 2 −1 3 3 0 0 1 −1 4 0 4 −→ 1 2 −1 2 −1 3 3 3 0 0 1 −1 4 0 4 −→ 1 2 −1 0 −5 5 0 −3 3 0 1 −1 0 −8 8 −→ 1 2 −1 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ❛❜ r{α 0 1 , α0 2 , α0 3 } = 2, α1, α2 ▼⑧⑨❀★⑩❁✿■ ❫▼ 2 −1 1 2 6= 0, ❣ e3 = 0 0 1 0 0 , e4 = 0 0 0 1 0 , e5 = 0 0 0 0 1 , ❶ |α1, α2, e3, e4, e5| 6= 0, t α1, α2, e0 3 , e0 4 , e0 5 ❪ K5×1 ✓➈➝✦■ ✷ ➘➴➯ P126: 2(2), 4, 5(1): ➭ ❊➯ r(A, B) ≤ r(A) + r(B); 5(3): ➭ ❊➯ r(A + B) ≤ r(A) + r(B), P127: 8, 10 ➷ ➵ ❍➯ P127 7, 9; P155 7 ➬➮❍➯ P127 11, 12 5