厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 81.5行列式的计算 教学目的与要求利用行列式性质,掌握计算行列式的值的典型方法,掌握用 数学归纳法求行列式值 例1 1 0200 5 602 解 325 930 30=62-30|=62-30|=12 512 512 3/=3×21=252 例2设a1≠0,0≤i≤m,求 b1 解法1)消去第1列 i ci b biCi i=1 (法2)按第1列展开 4=1a2-∑be
?, G 6! :P IP T 59.77.1.116; N- gdjpkc.xmu.edu.cn §1.5 C+3Æ 7 Z _Xed` &JC+3DUQ< 7C+3ÆSÆAQ<J 5F ./C+3S \ 1 |A| = 3 0 15 12 1 2 5 6 2 0 −3 0 5 0 1 2 [ |A| = 2 3 15 12 2 −3 0 5 1 2 = 6 1 5 4 2 −3 0 5 1 2 = 6 −9 3 0 2 −3 0 5 1 2 = 12 −7 0 2 −3 = 3×21 = 252 \ 2 2 ai 6= 0, 0 ≤ i ≤ n, / |A| = a0 b1 · · · bn c1 a1 . . . . . . cn an . [ ( 1) 0 1 + |A| = a0 − Xn i=1 bici ai b1 · · · bn a1 . . . an = (Yn i=1 ai)(a0 − Xn i=1 bici ai ) ( 2) 1 +O# |A| = Yn i=0 ai − Xn i=1 bici Yn j=1,j6=i aj 1
例3求 入-0.00 1 A 00λ.00 000 解(法1)按第1列展开.Fn=AFn-1+(-1)+(-1)m-an=AFn-1+an 从而Fn=A+a1-1+…+an (法2)按第n列展开 入00 0 0 Fn 0.00 +(-1) 00 入 000 (入 0:00 00…λ11 +…+(A+a1)入 +a1n-1+ 入0 00 00入:00 0. 00 +(A+a1)入 00 0 入+ +an_1A a2+a1A+2 1(-1)2+1(an+an-1+…+a1An-1+2)
\ 3 / Fn = λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · λ a2 0 0 0 · · · −1 λ + a1 [ ( 1) 1 +O# Fn = λFn−1 + (−1)1+n (−1)n−1an = λFn−1 + an. Fn = λ n + a1λ n−1 + · · · + an. ( 2) n +O# Fn = (−1)1+nan −1 λ 0 · · · 0 0 −1 λ · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · λ 0 0 0 · · · −1 + (−1)2+nan−1 λ 0 0 · · · 0 0 −1 λ · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · λ 0 0 0 · · · −1 + · · · + (λ + a1) λ 0 · · · 0 −1 λ · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λ 0 0 · · · −1 = (−1)1+n (−1)n−1an + (−1)2+n (−1)n−2λan−1 + · · · + (λ + a1)λ n−1 = an + an−1λ + · · · + a1λ n−1 + λ n ( 3) Fn = λ 0 0 · · · 0 0 an −1 λ 0 · · · 0 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 0 an−2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · −1 0 a2 + (λ + a1)λ 0 0 0 · · · 0 −1 λ + a1 = · · · = 0 an + an−1λ + · · · + a1λ n−1 + λ n −1 0 . . . −1 . . . . . . . . . 0 a2 + a1λ + λ 2 −1 λ + a1 = (−1)n−1 (−1)n+1(an + an−1λ + · · · + a1λ n−1 + λ n ) = an + an−1λ + · · · + a1λ n−1 + λ n 2
例4 axa aax L L n> 解(法1)第2行,第3行,…,第n行加到第1行上 x+(m-1)ax+(n-1)ax+(mn-1)a…x+(n-1)a r+(n-1)a] aa a 0x-a0 +(m-1)l]00x-a 100 +(n-1)a(x-a)2 (法2) 0 0 r 0 +(n-1) 0 00.0 0 a-a 0
\ 4 |A| = x a a · · · a a x a · · · a a a x · · · a · · · · · · · · · · · · · · · a a a · · · x (n > 1) [ ( 1) 2 C 3 C · · ·, n C 1 C1 |A| = x + (n − 1)a x + (n − 1)a x + (n − 1)a · · · x + (n − 1)a a x a · · · a a a x · · · a · · · · · · · · · · · · · · · a a a · · · x = [x + (n − 1)a] 1 1 1 · · · 1 a x a · · · a a a x · · · a · · · · · · · · · · · · · · · a a a · · · x = [x + (n − 1)a] 1 1 1 · · · 1 0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · x − a = [x + (n − 1)a](x − a) n−1 ( 2) |A| = x a a · · · a a − x x − a 0 · · · 0 a − x 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · a − x 0 0 · · · x − a = x + (n − 1)a a a · · · a 0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · x − a = [x + (n − 1)a](x − a) n−1 3
(法3)加边法 axaa aax +1 1 - r a00.0 a 0 a00 0 0 0 0 0 化为例3的形式 例5(范德蒙 Vander monde行列式) n22 解行消去法.第n-1列乘以-xn加到第n列上,第n-2列乘以-xn加 到第n-1列上,一直下去,1列乘以-xn加到第2列上,得 1 T1-C 1In L n an-I 2-2Tn x2-2-x2 x2-1-2 1-n-1n ah- En 2_1-In-I
( 3) |A| = 1 a a a · · · a 0 x a a · · · a 0 a x a · · · a 0 a a x · · · a · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 a a a · · · x n+1 = 1 a a a · · · a −1 x − a 0 0 · · · 0 −1 0 x − a 0 · · · 0 −1 0 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · −1 0 0 0 · · · x − a ;' 3 ÆB3 \ 5(YW^ Vander Monde b℄a) Vn = 1 x1 x 2 1 · · · x n−2 1 x n−1 1 1 x2 x 2 2 · · · x n−2 2 x n−1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 xn−1 x 2 n−1 · · · x n−2 n−1 x n−1 n−1 1 xn x 2 n · · · x n−2 n x n−1 n [ C0 n − 1 +I −xn n +1 n − 2 +I −xn n − 1 +1HR>0 1 +I −xn 2 +1 Vn = 1 x1 − xn x 2 1 − x1xn · · · x n−2 1 − x n−3 1 xn x n−1 1 − x n−2 1 xn 1 x2 − xn x 2 2 − x2xn · · · x n−2 2 − x n−3 2 xn x n−1 2 − x n−2 2 xn · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 xn−1 − xn x 2 n−1 − xn−1xn · · · x n−2 n−1 − x n−3 n−1xn x n−1 n−1 − x n−2 n−1xn 1 xn − xn x 2 n − x 2 n · · · x n−2 n − x n−2 n x n−1 n − x n−1 n = (−1)n+1 x1 − xn x 2 1 − x1xn · · · x n−2 1 − x n−3 1 xn x n−1 1 − x n−2 1 xn x2 − xn x 2 2 − x2xn · · · x n−2 2 − x n−3 2 xn x n−1 2 − x n−2 2 xn · · · · · · · · · · · · · · · xn−1 − xn x 2 n−1 − xn−1xn · · · x n−2 n−1 − x n−3 n−1xn x n−1 n−1 − x n−2 n−1xn 4
(-1)-(x1-xn)( n - i(an-T2)(an-Tn-1)Vn-I 得递推公式Vn=II(xn-)V-1.所以V=I(x2- 注数学归纳法类型I:Dn=αDn-1+β. 例6y≠z y 之 y 0 . -y (-y)Dn-1+y 由于y,z有对称性,故Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)-1,联立方程可得结果 注数学归纳法类型I:Dn=aDn-1+b Dn=CDn1+d(a≠o 例 a+b ab 1 +b 00.+ 0 0 b ab 1 解按第1列展开,可得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 注数学归纳法类型II:Dn=pDn-1+qDn-2,设a,b是x2-px-q=0的根 b(D Dn-2) =0+=-Dn-bD=1=0(D=1-bD2),化为类型L类型Ⅱ 练习P31(1),3(1),4(2),5;P37-385,7;P46-414,17,18 选做P45,2,15,19
= (−1)n−1 (x1 − xn)(x2 − xn)· · ·(xn−1 − xn) 1 x1 x 2 1 · · · x n−2 1 1 x2 x 2 2 · · · x n−2 2 · · · · · · · · · · · · · · · 1 xn−1 x 2 n−1 · · · x n−2 n−1 1 xn x 2 n · · · x n−2 n = (xn − x1)(xn − x2)· · ·(xn − xn−1)Vn−1. 93 Vn = nY−1 i=1 (xn − xi)Vn−1. 8I Vn = Y 1≤j<i=≤n (xi − xj ). f 5F .%A I: Dn = αDn−1 + β. \ 6 y 6= z Dn = x y · · · y z x · · · y · · · · · · · · · · · · z z · · · y z z · · · x = x y · · · y z x · · · y · · · · · · · · · · · · z z · · · y z z · · · y + x y · · · 0 z x · · · 0 · · · · · · · · · · · · z z · · · 0 z z · · · x − y = (x − y)Dn−1 + y(x − z) n−1 KM y, z LD Dn = (x − z)Dn−1 + z(x − y) n−1 , )($ " f 5F .%A II: Dn = aDn−1 + b Dn = cDn−1 + d (a 6= c) \ 7 Dn = a + b ab · · · 0 0 1 a + b · · · 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · a + b ab 0 0 · · · 1 a + b [ 1 +O#$ Dn = (a + b)Dn−1 − abDn−2. f 5F .%A III:Dn = pDn−1 +qDn−2, 2 a, b 4 x 2 −px−q = 0 Æ p = a + b,q = −ab. Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2) Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2) , ;%A I, %A II. *= P33 1 (1), 3(1), 4(2), 5; P37−38 5, 7; P46−47 14, 17, 18 EV P45, 2, 15, 19 5