高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdipke xml edi.cn 第九章特征值和特征向量 提示:要掌握特征根与特征值概念的差别.注意掌握命题,定理中线性变换和矩阵的同构对应 要把握特征多项式与最小多项式的联系与区别 Hamilton- Caylay定理的证明应该掌握. 矩阵的特征值,特征向量,特征多项式,最小多项式 设A∈F",若有A∈F,0≠X∈Fm×1,使得AX=AX,则称是A的一个特征值,X是A 的属于特征值入的特征向量 定理1.属于不同特征值的特征向量线性无关 设A∈Fm",则矩阵AE一A称为A的特征矩阵,AE一4称为A的特征多项式,记为f4(A) f1(A)的根称为A的特征根.由于f1(A0)=0的充分必要条件是方程组(A0E-A)X=0有非零解 所以,A的属于F的特征根是A的特征值.设A是fA(A)的t重根,则称A的代数重数是t.以A 为根的多项式称为A的零化多项式.A的首项系数为1的次数最低的零化多项式称为A的最小多项式 矩阵A的最小多项式是唯一的,记为9(A) 定理2.设f1(A)=X-01N-1+…+(-1)"an,A1,A2,…,A1是A的特征值,则an=4|= A1A2…An,a1=A1+A2+…+An=Tr(4) 定理3.相似矩阵有相同的特征多项式 定理4( Hamilton-Caylay定理).设A∈Fm",f1(A)是A的特征多项式,则fA(4)=0. 定理5(1)设h(A∈Fr],则h(4)=0的充分必要条件是94(X)h(入).特别地,9A(A)∫4(A); (2)相似矩阵有相同的最小多项式 定理6.(1)设A是A的特征值,则(-A0)g(入) (2)设∫4(X)的根全在F中,则在不计重数的意义下,∫A(A)与94(A)的根相同 设λ是n阶方阵A的一个特征值,={X∈F"AX=λX}称为特征值入的特征子空间.dimV 称为A的几何重数 矩阵A的特征值和特征向量的求法步骤 (1)计算A的特征多项式fA()=AE-A| (2)求出fA()的所有根,在F中的是特征值; (3)对每个特征值A,求出齐次方程组(A0E-A)X=0的基础解系,即A的特征子空间WA的基 X1,X2,……,X,则k1X1+k2X2+…+kX。即是对应于λ0的全部特征向量 线性变换的特征值,特征向量,特征多项式,最小多项式 与矩阵的特征值与特征向量相对应,在同构意义下,我们有线性变换的特征值,特征向量的概念.设V是 数域F上的n维线性空间,A是V的一个线性变换.若存在A∈F,0≠a∈V,使得Aa=Aa,则称 入是A的一个特征值,a是A的属于特征值入的特征向量
因为线性变换在不同的基下的矩阵是相似的,而相似矩阵有相同的特征多项式,所以我们可以定义n维线 性空间V的线性变换A的特征多项式为A在任意一个基下的矩阵的特征多项式,记为fA(A) 在同构的意义下,我们有: 定理7( Hamilton- Caylay定理).设A是n维空间的线性变换,fA(入)是A的特征多项式,则 因为线性变换在不同的基下的矩阵是相似的,而相似矩阵有相同的最小多项式,所以我们可以定义n维线 性空间V的线性变换A的最小多项式为A在任意一个基下的矩阵的最小多项式,记为9A(A) 设入是线性变换A的一个特征值,VA={a∈VAa=ax}称为特征值入的特征子空间.dimv 称为Ao的几何重数 n维线性空间V上的一个线性变换A称为可对角化,如果A在V的某一个基下的矩阵可以对角化. 在同构对应下,我们有矩阵可对角化的概念.称n阶方阵A可对角化,如果A相似于一个对角矩阵,即存 在一个n阶可遊阵P,使得PAP为对角阵.相应下面例1有关于方阵可对角化的刻划.若A可对角 化,则分别取各个特征子空间的基向量做为列向量得到矩阵P,即有PAP为对角阵 例1.设A是n维线性空间V上的一个线性变换,求证下列命题等价. (1)A可对角化 (2)V有m个线性无关的特征向量; (3)V=WA1⊕2⊕…⊕顸;这里,A,A2,…,A是A的全部特征值; 4)∑=1dimA.=n,这里,A1,A2,……,A。是A的全部特征值 (5)A的所有特征根都在F中并且任意特征值的代数重数等于几何重数 例2.设A是n维空间V的线性变换,则下列命题等价 (1)V中的任意非零向量都是A的特征向量 (2)A与V上的任意线性变换可交换; (3)A与V上的任意可逆的线性变换可交换 (4)A在V的任意基下的矩阵为数乘矩阵; (5)A在V的任意基下的矩阵相 (6)fA(A)在F上有n个相同的特征根 (7)9A(A)=A-A0,其中A∈F; (8)V=V,这里知是A的一个特征值 例3.设A1,A2,……,A是A的所有特征值 (1)设f()∈Fx],则f(x1),f(A2),…,f(n)是f(4)的所有特征值; (2)设A是n阶可逆矩阵,则,入21,…,是4-1的所有特征值; (3)设A是n阶可逆矩阵,则4A1,AA21,…,AAn1是A*的所有特征值 例4.设A,B是n维空间V的线性变换,A,B的特征根都在F中,AB=6A.求证 (1)6的特征子空间A是4-子空间; 2)A和B有公共的特征向量 证明提要:(1)直接验证.(2)考虑Av,其特征向量即是A和B的公共特征向量 例5.设A∈Fm的特征值全在F上,求证:存在可迎矩阵P,使得P-AP为上三角阵
证法1提要:对矩阵A的阶数作数学归纳法.设X是A的属于特征值入的特征向量.存在可逆阵 P=(X,X2,…,Xn,使得AP1=P1(AC 其中D∈F(-1)×(n-1).根据归纳假设,存在可 逆阵Q∈F-1Xxm-1,使得Q-1DQ=B,这里B是上三角阵令P=P1(。D),则P是可逆阵 且P-1AP是上三角阵 证法2提要:在同构意义下,题目为:设A是n维空间V的线性变换,求证存在V的一个基,使得 A在此基下的矩阵为上三角阵.对n做归纳.假设当n-1时命题成立.设a1是A的属于特征值入的 特征向量,将其扩为V的基a1,a2 这里A是n-1阶方阵.在L(a2,……,an)中定义B,使得 B(a 由假设,在L(a2,……,an)中存在基B2,…,B,使得 ,An)=(2,…,Bn)C 这里C是上三角阵令(B21…,B)=(02,…,an)P,则PA1P1=C.令P= 10 P是可逆阵且(a,B2,……,B)=(a1,a2,…,an)P,从而a1,B2,……,Bn是V的一个基 A(a1,B2,……,B1)=A( )AP=(a1,B2 )(b)(bP)=( 例6.设A,B是n阶方阵.求证:fAB(x)=fBA(x) 证法1提要:(1)当A|≠0时,A-(AB)A=BA,所以AB和BA相似.命题成立 (2)当4=0时,对任意取定的入和B,令 h(11,x12, 12 nI n2 nl n2 则当h(x1,x12,…,m1n,…,rn1,…,rmn)≠0时,由(1)知9(x1,12,…,m1 0.所以h(x rn1,…,rmn)g(x1,x12,…,r1n,…,xn1;…,xnn)≡0.根据”两个 多元多项式恒等于零的充分必要条件是其中之一恒等于零”,得到 由于入和B的任意性,有E-AB=AE-BA
证法2提要:(1)当4≠0时,命题成立 (2)当|4|=0时,对于任意给定的λ,A,B,由于AE+4最多只有n个根,存在t∈R使得对任 意t>to时,恒有tE+A≠0.由(1),得 AE-(E+ A)B =JAE-B(E+A)l(*) 将两边看做关于t的一元n次多项式,根据”两个不超过n次的多项式如果有n+1个不同的数作为公共 根则两个多项式相等”,知作为t的多项式(*)式相等.令t=0,即得结论 证法3提要: AE-AB|=A"-a1-1+a2-1 AE-BA|=X-b1-1+b2X-1-…+(-1)"b 其中a;是AB的所有i阶主子式之和,b是BA的所有i阶主子式之和.据 Cauchy- binet公式,有 n,=∑(AB/(P >6(%…)4()-(物的 b1,1≤i≤n.故E-AB|=AE-BA 证法4提要 (6太B)()=( 0 AF=AB A AE A 入E BE八(EB AE-BA 0 两边各取行列式,得到 d"A AE =(-1)"入"\E-AB,X A AE =(-1)"A"AE一BA, 所以AE-AB=AE-BA 证法5提要 (BM)(6)=( 0 AB AE-BA/ B AE)(AB E=(AE-AB A E A AE 0 入E 两边各取行列式,得到结论 证法6提要,设rn(4)=,则存在可逆阵PQ,使得A=P(B0)Q令QBP= Crr D W P-(E-AB)P=AE-P-lAe 1Q-QBP=AE-/ Er0 C D 入E C D C D 入E
Q(E-BA)Q-1=AE-QBPP-LAQ-=AE (F)(68)=M-(F) AE-C 0 FAE),两边取行列式,结论成立 根据矩 阵与行列式的运算规则可求出X的形式的”伴随矩阵”,从而又可求出X的形式的”迎矩阵”,也记 x-.于是,可形式地算出有X-1(AE-XBX=AE-BX.再形式地取行列式,有AE-BX= X-山AE-XB|X|=|E-XB.将X的元素换成A,就有\E-AB|=AE_BA 例7.设A∈Fm",B∈FXm,且m≥n.求证: (1)AEm -AB=X- -BAl (2)Tr(AB)=Tr(BA) (3)设B1,B2,…,Bm是m个同阶矩阵A1,A2,…,An的任何循环排列,则A142…Am和B1B2…Bmn 有相同的特征多项式,因而有相同的特征值和迹 证明:(1)证法1提要:设入≠0,则 (E+B E,( AEn-AB A 入Em 所以 AEm-AB|=x“En=BA=X=“ AEn-BA 当A=0时,若m>n,因为rank(AB)<n,所以AB=0,命题成立;若m=n,依例6即得 证法2提要:设rmk(4)=r,则存在可迎阵P∈Fm,Q∈F,使得PAQ=(00),令 Q-BP-I B21B2)其中B1∈Fx,这样,P4BP-1= Bll B12),Q-1BAQ AEr-B 因此 12 A-AE,-Blll, AEn-BA AE -B B21x0=X-1入E,-B1l比较两个式子,命题成立 证法3提要:当入≠0时,因为 En A XE -ABA B E B En A Em -A B E B AFn-BA 两式取行列式,即得到结论.当A=0 时,讨论同证明(1) 证法4提要令41=(40)mm,B1=(B).由例5知AE-A1B1=AE-B1A1 AB-4B1=AE-(40)(0)=AE-AB,AE-B141|=AE-(0)(40 AE BA O A="E一BA. (2)由矩阵的特征多项式的第二高次项系数的相反数为矩阵的迹,即得结论 (3)由(1),(2)即得 例8.设A是C上n维空间V的线性变换
其中λ,λ2,……,λ。是A的全部互异特征值 9()=mA()(A-=1I(A-入 则(1)Img(A)=Ker(4-入E) (2)V=Ker(4-A1E)Ker(4-A2E)f…Ker(A-入E) 提要:因为A1,A2,…,A互不相同,所以(91(X),92(A),…,9(A)=1,故存在1(A),2()),…,m2(入), 使得91()m1()+92(12(X)+…+9()(从)=1,故E=91(A1)1(A)+92(4)2(4)+ +9(A)s(A),这样,对任意"∈V,就有 t=91(A)m1(4)()+92(A)2(4)()+…+9(A)s(A)()∈Img1(4)+…+Img(A) 所以V=Img1(4)+…+Img2(A 下面证明Img(A)=Ker(A-入),1≤i≤s 因 为(A-A)29(A),≠j,所以9(4)()=0,故 =91(A)a1(4)()+92(A)2(4)()+…9s(4)n2(A)(v)=9(A)u;(A)() 所以Ker(4-入;E)4cImg1(A) 综上,知V=Ker(4-A1E)4+Ker(A-A2E)}2 为证明这个和是直和,设0=n+2+…+n,n∈Ker(A-入E),从上面证明过程知n2 9(4)n2(A)(z),所以 0=9(4)(A)(1+m2+…+v)=9;(A)n(4)(vz) 这样7=0,1<i<s,即零向量表示方法唯一,故 V= Ker(A-A1E)16 Ker(A-X2E)24.Ker(A-A&) 习题 题1.填空题 32 (1)设A=-t-1t,则当t=----时,存在可逆阵P= ,使得P-AP 为对角阵 3400 (2)已知A= 00 11},则4 01 (3)设a=(a1,a2,…,an)是n维行向量,且aa′=1.则矩阵E-2aa的特征值是 (4)已知12是矩阵47-1的特征值,则a -;A的另外两个待征值是_--;存 在可逆矩阵P= 使得P-1AP是对角阵
(5)已知A=|x1y|相似于对角阵,则参数x,y应满足条件 题2.设X1是A的属于特征值A的特征向量,X2是A的属于特征值A2的特征向量,且A1≠A2 求证:X1+X2不是A的特征向量. 2-12 题3.已知a=(1,1,-1)是矩阵A=5a3的一个特征向量 (1)确定参数a,b及a所对应的特征值; (2)A能否相似于对角阵,说明理由 题4.设a1(1≤i≤m)都是实数,且a1+a2+…+an=0.求矩阵的特征值: a2+1a12+1 a2a1+1a2+1 02On+1 an01+1a102+1 a2+1 题5.设A∈F",94(A)的次数为s.证明:W={h(4)h(A)∈F}是F"的s维子空 题6.(1)设V是n维线性空间,A∈Hom(V,V).V=V⊕V2…⊕Vm,且每个V都是A 不变子空间.设A限制在V1的特征多项式是f2(A),求证:fA(A)=f1(A)f2(X)……fmn() (2)写出矩阵的相应命题 题7.设A∈Fn,令是F的线性变换:B→AB.求证:9(入)=9A( 题8.(1)设{A1≤i≤m}是n维线性空间V上的m个线性变换,AA=AAx,1≤i,j≤m 求证存在α∈V,使得a是A;1<i<m的公共的特征向量 (2)设A,B∈F"",AB=BA.证明:存在AB的特征值λ,A的特征值pB的特征值,使得 (3)设A,6是n维空间V的线性变换,AB=6A.求证:存在V的一个基,使得A和B在此基下 的矩阵为上三角阵. 题9.证明:(1)存在n,使得∫4(A)94(A)" (2)若(9A()),9B()=1,则(A(A),9B()=1且∫A(B)是可逆阵 题10.(9A(A),f(A)=1的充分必要条件是f(4)是可逆阵
