高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第五章线性变换 提示:把握用线性映射(变换)的观点来研究线性空间这条主线.掌握线性映射(变换)与线性相关性和 子空间的关系,特别是由线性映射(变换)导出的两个最重要的子空间ImA和KerA以及相关性质,掌握 由空间的基的象决定线性映射(变换)的方法,用扩基的方法来证明关于ImA和KerA的维数公式,再次 展现扩基方法的妙处.当然可以有其它证法,例如例1的结论,可以直接证明1,…,是ImA的基,而 a+1,…,n是KerA的基. 在取定基情况下,线性映射(变换)和矩阵的对应架起了几何观点(线性映射(变换)和代数方法(矩阵) 之间的桥梁.我们强调从一个线性映射(变换)在不同基下的矩阵来认识矩阵的相抵和相似关系.我们在第八 讲还将用同构的观点讨论线性映射(变换)与矩阵的本质联系 不变子空间的关键是将整个空间的线性变换限制在子空间能够是线性变换.要掌握关于ImA和KerA的 维数公式在直和分解中的应用 设V,W是数域F上的线性空间,映射A:V→W称为线性映射,如果 1)A(a+6)=A(a)+A(6)对任意的a,B (2)A(aa)=aA(a)对任意的a∈V,a∈F 记Hom(V,W)为所有V到W的线性映射全体所构成的集合,在Hom(V,W)上定义加法与数乘 (A+6)(a)=A(a)+6(a),(a4)(a)=aA(a), 则Hom(V,W)是F上线性空间 设:V→W是线性映射,V1,1分别是V,W的子空间,则A(V1)也是W的子空间,4-(1) {a∈V|4(a)∈W1}是V的子空间.特别地,ImA=4(V)是W的子空间,称为A的值; (0)是V的子空间,称为A的核 定理1.设A:V→W是线性映射,则 (1)A将零向量对应到零向量; (2)A保持线性相关的向量组不变; (3)A是单线性映射的充分必要条件是KerA=0,充分必要是保持线性无关的向量组不变; (4)A是满线性映射的充分必要条件是ImA=W 定理2(维数公式).设V是有限维线性空间,A:V→W是线性映射,则 dim(Im A)+dim(Ker A)=dim(V) 个向 量.则存在唯一的线性映射A:V→W,使得A(a)=B,1≤i≤n. 设a1,a2,……,On是线性空间V的一组基,,A,……,mn是线性空间W的一组基,A:V→W 是线性映射,则
(a1)=01161+a12B2+…+a1mmn A(an)=an1月1+an22+…+anm3 形式上可以记为 A(a1,a2,…,an)=(,B2, 12a22 即 其中A是唯一确定的,称为在基α1,…,On与β1,…,Bmn下的矩阵. 定理4.设A,B∈Fm",则A≌B的充分必要条件是A,B是个n维线性空间到m维线性空间 的线性映射在不同基下的矩阵 线性变换 我们总设V是n维线性空间.从V到V本身的线性映射A称为V的线性变换.V的线性变换的全 体记为Hom(V,V).在Hom(V,V)上定义乘法为(AB)(a)=A(6(a)则Hom(V,V)构成F上n2 维非交换结合代数 设A是V上的线性变换,若存在一个线性变换B,使得AB=BA=,这里ε为恒等映射,则称A 为可逆变换,B称为A的逆变换 定理5.设A是V上的线性变换.则下面叙述是等价的 (1)A是可逆变换 2)A即是单线性变换且是满线性变换; (3)A是单线性变换; (4)A是满线性变换 (5)A将基对应到基 设A,B∈FM称A相似于B,记为A≌B,如果存在可逆矩阵P∈F,使得PAP-1= 定理6.设A,B∈Fmn.则A=B的充分必要条件是4,B是n维线性空间的线性变换在不同基下 四.不变子空间 设A是n维线性空间V上的线性变换.V的子空间W称为A-不变子空间,如果A(WV)s ImA和KerA是A不变子空间 定理7.设A是n维线性空间V上的线性变换.W是4不变子空间.设a1,a2,…,a+是W的 组基,扩为V的一组基a n,则 a,…,an)=(a1,…,a,,on)1411412
A A 反之若A在基a,…,,On下的矩阵是(042)且n∈F,则W=L(a,…4 是不变子空间 设W是A不变子空间,则A导出W上的线性变换Aw:W→W,这里对任意的a∈W,有 Aw(a)=A(a) 例1.设V是n维线性空间,W是m维线性空间,A:V→W是线性映射.求证:存在V的 组基a1,a2,…,an和Ⅳ的一组基1,2,…,Amn,使得 A(a1,a2,……,an)=(1,B2,……,An) 证法1提要:设a+1,a+2 则1=A(a 是是的练打为的y几,A则有 A(a1,a2,…,an)=(61,B2,……,An) 证法2提要:设51,S2,…,Sn是线性空间V的一组基,mh,≥,…,"hn是线性空间W的一组基, A:V→W是线性映射 A(s1,52,……,5n)=(m1,n2,…,m)Amn 设rank(A)=r,则存在可逆矩阵P和可逆矩阵Q,使得P4Q=(b0).令(a,a,…,n)= ,52,……,5n)Q,(61,B2,…,Bm)=(m1,m2,…,mm)P-1,则有 例3.设A是n维线性空间Ⅴ的线性变换.求证: (1)存在0≠f(x)∈Fx,使得f(A)=0; (2)A可逆的充分必要条件是存在常数项非零的f(x)∈Fm],使得f(A)=0 证明提要:(1)因为EA,A2,…,4线性相关,所以存在不全为零的a0,a1,a2…,an2,使得aE 令∫(r) r”即可 (2)必要性设(1)的f(x)的次数从小到大的项系数第一个不为零的是a即a42+a+14+1+…+ n2A=0,两边同乘以A-得aE+a;+14+…+an2A-=0.则9(x)=0+a;+1x+…+ an2"-为所求 充分性.设∫(x)=0+01x+a2x2+…+amm满足∫(4)=0,这里a0≠0.则有4(-=E 例4.设A是n维线性空间V上的线性变换.证明: (1)Im, A2 Im A2 ImA2 KerA C Ker A2 KerA (2)若ImA4=ImA+1,则Im4=ImA+,s∈N; 若KerA=KerA+1,则KerA=Ker4+8,s∈N; 3)存在t,使得ImA=ImA+1
存在s,使得 KerAS=KerA+1 (4)Im4=Im4+的充分必要条件是KerA=KerA+1 (5)存在t,使得V=Im4⊕Ker4 例5.设A是n维线性空间V上的线性变换.证明下列命题等价: (1)dim Im A= dim Im A (2)KerA∩ImA=0; (3)V=ImA⊕KerA 是A-1-不变子空间 证法1提要:因为4是可逆,所以A(W)=W.故A-(V)=A-(A(V)=W 证法2提要:因为A是可逆,所以Aw是满的对于a∈W,存在B∈W使得a=Aw(=A() 所以A-(a)=A-1(A(6)=B∈W.故W是A--不变子空间 证法3提要:取W的一个基a1,O2,…,a,扩为V的基a1,…,at;…,an,则 B C 因为A可逆,所以(0D)可逆,故B,D可逆且(0D B B-CD 这样, On)/B-1-B-ICD-I 所以W在A-1下不变 习题 题1.在F2×2中定义线性变换 A1(X) (x( X 分别求A1,A2,A3在基E1,E12,E21,E22下的矩阵 题2.设a1,a2,a3,a4是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为 102 (1)求A在基61=a1-202+a3,B=302-a304,3=03+a4,B4=204下的矩阵 (2)求ImA和KerA (3)在KerA中取一组基,扩为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵; (4)在ImA中取一组基,扩为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵
题3.对A=(a;)∈F",定义A(4)=Tr(4)求证A是Fx到F的线性映射,并求KerA 的基和维数. 题4.设A是线性空间V上的线性变换,如果Am=0,Am-1≠0.求证存在a∈V,使得 4(a),42(a),……,4m-(a)线性无关 题5.设A是n维线性空间V的线性变换,42=A,则必存在V的子空间W,使得对于任意∈W 都有A(v)=m.若A不是满的,则必存在V的非零子空间U,使得A(U)=0,且V=WU 题6.(1)设A是n维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,证明:dimA()+dim(KerA∩ 2)设A,B是n维线性空间V的线性变换,证明: dim Ker A6≤ dim KerA+ dim Ker6 题7.(1)设A1,A2,…,A是线性空间V的N个不同的线性变换,证明存在a∈V,使得A(a)≠ (2)设A1,A2,…,A.是线性空间V的s个不同的线性变换,证明存在a∈V,使得A1(a),……,A.(a) 两两不同 使 得KerA=U,ImA=W. 题9.设A:V→U是n维线性空间Ⅴ到m维线性空间V的线性映射.(1)必存在线性空间W 和线性映射6:V→W和C:W→U,满足A=C6,其中B是满的且C是单的; (2)若还存在线性空间W1和线性映射B1:V→W1和C1:W1→U满足A=C161,其中B1是满 的,且C1是单的,则存在线性同构D:W→W1,使得61=D6且C=C1D 题10.设V,WU是有限维线性空间,A:V→W,B:V→U是线性映射.试给出B对A可分 解的充分必要条件,并加以证明.(B对A可分解指的是存在C:V→V3,使得B=CA)