高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116:城名: dpke. xmu. edn. cn 第六章线性方程组 内容提要:线性方程组主要讨论解的存在性,解的唯一性和解的结构.在线性代数的教材中,可以用方程 组的观点惯穿整本教材 学习线性空间理论后,要注意从线性表出和矩阵的秩的观点来讨论线性方程解的存在和解的个数,用子空 向的观点讨论解的结构,用线性映射的观点看待方程组 rmer法则本质上是x=A-1b=需用矩阵理论直接验证 例5的结论说明非齐次线性方程组的解得全体不是线性空间,但是可以得到其极大线性无关组 设F是一个数域,A∈Fmn.记A=(A1,A2,……,An),其中A1∈F,1≤ 考虑齐次线 性方程组AX=0 定理1.对于齐次线性方程组AX=0,下列叙述等价: (1)AX=0有唯一岑解 (2)A1,A2,…,A线性尤关; (4)线性映射:F→F",X+AX,是单的 定理2.对丁齐次线性方程组AX=0,下列叙述等价 (1)AX=0有非零解 (2)A1,A2,…,An线性相关; (3)rank(A)-r<n: 4)线性映射0:F"→F",X+AX,不是单的 这时AX=0有n-r个线性尤关的解,线性映射θ:F"n→F",X→AX,的Ken是解集合 定理3.AX=0的解构成Fm×1的 称为解空间. 当rank(A)=r<n时,解空间的一个基称为AX=0的一个基础解系 求解的方法 为阶梯形矩阵B.行的初等变换化方程组为同解方程组,设rank(4)=r<n,则 bI A→B 可见AX=0中独立方程的个数为r,多余方程的个数是m-T,独立未知量的个数为r,自由未知量 的个数为n-r.若分别取(x+1,xr+2,…,xn}为(1,0,…,0),(0,1
代BX=0,可求得BX=0的基础解系1=(-b1+1,-b2+1,…,-b,r+1,1,0,……,0),52 (-b1r+2,-b2r+2,……,-b,r+2,0,1,……,0),…,5n-,=(-b,n,-b2n,…,-bym,0,0,……,1),故 AX=0的通解为k151+k22+……+k-5m-,其中k1,k2,…,k-为F中的任意常数 二.非齐次线性方程组 设A∈Fm",A=(41A2,…,An,b∈Fm×1,考虑非齐次线性方程组AX=b.A称为方科组的 系数矩阵,(Ab)称为方程组的增广矩阵.AX=b的向量形式是b=x1A1+x2A2+…+nX 定理4.对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价 (1)AX=b无解 (2)b不能由A1,A2,……,An线性表出 (3)tank(4)≠rank(Ab) 4)bgIm,其中b:Fn→Fm,X→AX 定理5.对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价 1)AX=b有唯一解 (2)b可由A1,A2,……,An线性表出,且表示法唯 定理6.对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价: (1)AX=b有无穷多解 (2)b可由A1,A2,……,An线性表出,且表示法有无穷多种 引理1.设m,是非齐次方程AX=b的解,是对应齐次方程AX=0的解.则n-2是 AX=0的解,m+层是AX=b的解 解的结构和求法 对增广矩阵(Ab)作行的初等变换(如需要,加上适当的列的互换)化为如下的阶梯形, 0b1 dI 00 当d+1≠0时,原方程AX=b没有解.当d+1=0时,原方程AX=b有解.有解时,先求非齐 次方程AX=b的一个特解n=(d1,d2,…,d,0,……,0),再求对应齐次方程AX=0的一个基础解 系,设为51,52,…,5n-r,则非齐次方程AX=b的通解为n+k11+k252+…+k_n-r,其中 k1,k2,…,kn-r为F中任意常数 定理7 Gramer法则 设A∈F×n.若线性方程组AX=b的系数矩阵的行列式A≠0.则方程组AX=b有唯一解,且
其中|A4|悬把系数行列式的第i列元素换成方程中B的相应元素所构成的行列式 例1.若非齐次方程组 a21x1+a222+…+a2nxn=b2 b 的系数矩阵A的秩等于矩阵 1 B a,r b 的秩.证明:该方程组有解 证明提要.rank( Ab)>rank(A)=rank(B)2rank(Ab) 例3.已知线性方程组 r2+ an1 21+an2 T2+.+am2nizn-0 的一个基础解系为(b1,b12,……,b,2n),(b21,b2,……,h22my,…,(b1,bn2,…,bn,2n).试写出线性方程 组 b1y+b2y+…+b1.2my2n=0 ()b21m1+b2y+…+b2xy2n=0 bn1y/1+b,2y2+……+bn,2nyn=0 的道解 解答提要.方程组(的通解为 k1(a1 理由为:设(D)为AX=0,(ID)为BX=0.则由已知条件,AB=0,所以BA=0.故A的n个 行向量的转量向量是BX=0的解另外由rank(A=rank(B)=n知它们是BX=0的基础解系 倒3,设四元齐次方程组()为{21+2=0,又已知某线性齐次方组(D)的通解为k1(10)+ (1)求线性方程组()的基础解系 2)问方科组(Ⅰ和方程组(IⅠ)是否有非零公共解.若有,则写出所有的公共解;若没有,则说明理由 例4.(1)方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解的充分必要条件是B的行向量可以由A的行 向量线性表出; (2)方程组AX=0和方程组BX=0同解的充分必要条件是A的行向量与B的行向量等价 解答提要.(1)考虑方程组 )x=0和AX=0
例5.设非齐次线性方程组AX=b,其中A∈Fmn,rank(A)=rank(Ab)r<n.求由AX=b 的所有向量组成的向量组的一个线性无关极大组 解答提要.设{1,52,…,5n-是AX=0的一个基瑞解系,n是AX=b的一个特解,则n,n ≤n-,即为所求的一个线性无关极大组 注意:此时,AX=b的任意解可以表示为k+k(+51)+k2(+)+…+kn(m+En一) 且知+k1+k2+…+k 題1.讨论当a,b取何值时,下列方程组无解;有唯一解;有无穷多解、有解时求出其解 且A≠0.求方程组A 題3.设A∈F(-1,证明:方程组AX=b有解的必要条件是方程组的增广矩阵的行列式为零 问这是不是充分条件 题4.设A=(a1)∈F,设方程组AX=0的系数行列式A=0.而A中a的代数余子式 A≠0.求证(A1,A2,…,An)是这个方程组的一个基础解系 题5.设四元非齐次线性方程组AX=b系数矩阵A的秩为3,已知5122,3是它的三个解,且 1=(2,3,4,5),52+53=(1,2,3,4).求该方程组的通解 题6.设有两个方程组 a11y/1+a12y2+ 417/1+4m23/2+ 11:x1+a21x2+…+an1xn=0 (11) aInT1ta2nr2+.,.+anita=0 h1x1+b2x2+…+bxm=1 证明方程组(I)有解的充分必要条件是方程组(ID)无解 题7.已知a1,a2,03是齐次线性方程组AX=b的三个解向量,问常数k1,k2,k满足什么条件时, k1a1+k2Q2+kaa3是AX=b的解并由此判断3a+2a2-4cs,4an-22-3a,a1+ta2++o a1+a2+O3是否是AX=0的解
