厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（应用与实验）Key to MATLAB Ex 2 - Solving Linear Systems of Equations

Key to MATLAB Exercise 2 School of Mathematical Sciences Xiamen University httplgdipke.xmuedu Key to matLaB Exercise 2- Solving Linear Systems of Equations > A-round(10 rand(5)) > B=round(20 rand(5))-10 ans=5972 > det(A') ans=5972 b)>>det(A+B ns=36495 >>det(A)det(B) ans=26384 No c)>>det(A"B) ans=121900464 >>det(A)°det(B) ans=121900464 d)>>det(a")*det(B) ans=121900464 > det(a* ans=121900464 e)>> det(inv(A)) ans=1.6745e-004 > inv(det(A)) ans=1.6745e-004 f>>det(A"inv(B) ans=0.2926 >>det(A)inv(det( B)) ans=0.2926 Yes 2. >>A=round(10*rand(6)) a)>>A= round(10*rand(6),B=A;B(2,)=A(1)B(1,)=A(2-) 36 ans=-4636 nterchanging two rows of a matrix changes the sign of the determinant b)>>C=A;C(3,)=4*A(3,) >>det(C ans=18544 >>det(A)*4 ans=18544 Multiplying a single row of a matrix by a scalar has the effect of multiplying the value of the determinant by that scalar c)>>D=A,D(5,)=A(5,:)+2*A(4,) > det(A) ans=4636 ans=4636 Adding a multiple of one row to another does not change the value of the determinant a)>>A=[12;2-2l;b=42;x=Ab A >> det(A) ans=-6 >>A=[12;2-2:b=42l;x=invA)*b

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­1  Key to MATLAB Exercise 2 ­ Solving Linear Systems of Equations 1.  >> A=round(10*rand(5)) >> B=round(20*rand(5))­10  a) >> det(A) ans =5972  >> det(A') ans = 5972  Yes  b) >> det(A+B)  ans = 36495  >> det(A)+det(B)  ans = 26384  No  c) >> det(A*B) ans = 121900464  >> det(A)*det(B)  ans = 121900464  Yes  d) >> det(A')*det(B')  ans = 121900464  >> det(A'*B') ans = 121900464  Yes  e) >> det(inv(A)) ans = 1.6745e­004  >> inv(det(A)) ans = 1.6745e­004  Yes  f) >> det(A*inv(B)) ans = 0.2926  >> det(A)*inv(det(B)) ans = 0.2926  Yes  2.  >> A=round(10*rand(6)).  a) >> A=round(10*rand(6)); B=A;B(2,:)=A(1,:);B(1,:)=A(2,:);  >> det(A) ans = 4636  >> det(B)  ans = ­4636  Interchanging two rows of a matrix changes the sign of the determinant.  b) >> C=A; C(3, :)=4*A(3, :)  >> det(C)  ans = 18544  >> det(A)*4  ans = 18544  Multiplying a single row of a matrix by a scalar has the effect of multiplying the value of the determinant by that scalar.  c) >> D=A; D(5, :)=A(5, :)+2*A(4, :)  >> det(A) ans =4636  >> det(D) ans=4636  Adding a multiple of one row to another does not change the value of the determinant.  3.  a) >> A=[1 2; 2 ­2]; b=[4;2]; x=A\b  x =  2  1 >> A*x  ans =  4  2  >> det(A) ans =­6  Or >> A=[1 2; 2 ­2]; b=[4;2]; x=inv(A)*b  Or

Key to MATLAB Exercise 2 School of Mathematical Sciences Xiamen Univer httplgdipke.xmuedu >>A=[12;2-2b=42];c=Ab];d=ref(c);x=d(;,end) Same does below. omited b)>>A=[23:51;b=-1;4];x=Ab c)>>A=42-1:3-12;1130];b=[2;10,8};x=Ab Warning: Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate. rCoNd=5.13992le-018 1.0e+016* 148 1.3511 >>A*x It isn't the solution, because det(a=0 d)>>A=[131;211;-22-1];b=1;5-8},x=Ab A*x >>A=[123;234:546,b=00;1]

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­2  >> A=[1 2; 2 ­2]; b=[4;2]; c=[A b]; d=rref(c); x=d(:, end) Same does below. Omited.  b) >> A=[2 3; 5 1]; b=[­1;4]; x=A\b  x =  1  ­1  >> A*x  ans =  ­1  4 >> det(a) ans = ­13  c) >> A=[4 2 ­1;3 ­1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; x=A\b  Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.  Results may be inaccurate. RCOND = 5.139921e­018.  x =  1.0e+016 *  ­0.4053  1.4862  1.3511  >> A*x  ans =  0  8  8  >> det(a) ans = 0  It isn’t the solution, because det(a)=0。 d) >> A=[1 3 1; 2 1 1; ­2 2 ­1];  b=[1;5;­8]; x=A\b  x =  2 ­1  2  >> A*x  ans =  1  5 ­8  >> det(A) ans =  3  4.  >> A=[1 2 3; 2 3 4; 5 4 6]; b=[0;0;1];  >> format rational

Key to MATLAB Exercise 2 School of Mathematical Science n Unive httplgdipke.xmuedu >>Al=det(bA(:,2:3)),A2=det(A(:,1)bA(,3));A3=det(A(;1:2)b]); ADet=de(A) >>X[Al/ADet; A2/ADet; A3/ADet > AdjofA-=det(A)inv(A) AdjOfA= 2 0 9 a)>>A=[21-3:451;-2-14}b=08:2} >>xA\b 2 2 -null(A, r) Empty matrix: 3-by-0 So x is the solution >>d=rref(A bD) 004 0 0 001 >>x=d(, end) 2 b)>>A=[21-3;451;244},b=[0:8:8 >>c=null(A, r) >>XO=Ab Warning: Matrix is singular to working precision Ex2-3

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­3  >> A1=det([b A(:, 2:3)]); A2=det([A(:, 1) b A(:, 3)]); A3=det([A(:, 1:2) b]); ADet=det(A);  >> x=[A1/ADet; A2/ADet; A3/ADet]  x =  1/3  ­2/3  1/3  5.  >> AdjOfA=det(A)*inv(A) AdjOfA = 2  0  ­1  8  ­9  2  ­7  6  ­1  6.  a) >> A=[2 1 ­3; 4 5 1; ­2 ­1 4]; b=[0;8;2];  >> x=A\b  x =  4 ­2  2  >> c=null(A,'r') c =  Empty matrix: 3­by­0  So x is the solution.  or >> d=rref([A b]) d =  1  0  0  4  0  1  0  ­2  0  0  1  2  >> x=d(:,end) x =  4 ­2  2  b) >> A=[2 1 ­3; 4 5 1; 2 4 4]; b=[0;8;8];  >> c=null(A,'r') c =  8/3  ­7/3  1  >> x0=A\b  Warning: Matrix is singular to working precision.  x0 =

Key to MATLAB Exercise 2 School of Mathematical Sciences Xiamen Univer httplgdipke.xmuedu 4/3 8/3 0 > syms k >>X=x0+c*k X 4/3+8/3*k1 8/3-7/3*k1 > d=rrefA b) 73 > syms k >>xd( end)+[-d(1: end-1, end-1); 1*k -4/3+8/3*k] 8/3-734k] >> format short >>A=[21-3;,451;2-2-10},d=ref(A 1.0000 0 2.6667 1.00002.3333 0 >>X=-d(1:+1),1 2.6667 2.3333 10000 10e-014* -0.0444 -0.1776 8. Omitted 9. Omitted

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­4  ­4/3  8/3  0  >> syms k  >> x=x0+c*k  x =  ­4/3+8/3*k1  8/3­7/3*k1  k1  or >> d=rref([A b]) d=  1  0  ­8/3  ­4/3  0  1  7/3  8/3  0  0  0  0  >> syms k  >> x=d(:,end)+[­d(1:end­1,end­1);1]*k  x =  [ ­4/3+8/3*k] [ 8/3­7/3*k] [ k] 7.  >> format short  >> A=[2 1 ­3; 4 5 1; 2 ­2 ­10]; d=rref(A) d =  1.0000  0  ­2.6667  0  1.0000  2.3333  0  0  0  >> i=rank(A) i=  2  >> x=[­d(1:i,i+1);1] x =  2.6667  ­2.3333  1.0000  >> A*x  ans =  1.0e­014 *  ­0.0444  ­0.1776  0  8.  Omitted  9.  Omitted

Key to mAtLaB Exercise 2 School of Mathematical Sciences Xiamen University httplgdipke.xmuedu >>A=[121;242;211},B=[312;122,314:C=A+iB 1).C= 1.0000+3.0000i +1.000011.0000+2.00001 2.0000+1.00001 +2.000012.0000+2.0000i 2.0000+3.0000i +1.000011.0000+4.0000 1.00003.000012.0000-1.0000120000-3.0000i 2.0000-1.000014.0000-2000011.0000-1.0000i 1.0000-20000120000-20000110000-400001 ans 1.0000+3.00002.0000+1.0000120000+3.0000i 2.0000+1.0000140000+2.000011.0000+10000 1.0000+2.000012.0000+2000011.0000+4.0000i The first matrix is the complex conjugate transpose of C while the second one is the transpose of C. Because the elements of C are complex, the results are different >>A ans The first matrix is equal to the second one 3).>inv(A) Warning: Matrix is singular to working precision. ans InfInf In -0.0727-0.14550.6364 0.12730.2545-0.3636

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­5  10.  >> A=[1 2 1; 2 4 2; 2 1 1]; B=[3 1 2; 1 2 2; 3 1 4]; C=A+i*B 1).C =  1.0000 + 3.0000i  2.0000 + 1.0000i  1.0000 + 2.0000i  2.0000 + 1.0000i  4.0000 + 2.0000i  2.0000 + 2.0000i  2.0000 + 3.0000i  1.0000 + 1.0000i  1.0000 + 4.0000i  >> C'  ans =  1.0000 ­ 3.0000i  2.0000 ­ 1.0000i  2.0000 ­ 3.0000i  2.0000 ­ 1.0000i  4.0000 ­ 2.0000i  1.0000 ­ 1.0000i  1.0000 ­ 2.0000i  2.0000 ­ 2.0000i  1.0000 ­ 4.0000i  >> C.'  ans =  1.0000 + 3.0000i  2.0000 + 1.0000i  2.0000 + 3.0000i  2.0000 + 1.0000i  4.0000 + 2.0000i  1.0000 + 1.0000i  1.0000 + 2.0000i  2.0000 + 2.0000i  1.0000 + 4.0000i  The first matrix is the complex conjugate transpose of C while the second one is the transpose of C. Because the elements of C are complex, the results are different.  2). >> A  A =  1  2  1  2  4  2  2  1  1  >> A'  ans =  1  2  2  2  4  1  1  2  1  >> A.'  ans =  1  2  2  2  4  1  1  2  1  The first matrix is equal to the second one.  3). >> inv(A) Warning: Matrix is singular to working precision.  ans =  Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf >> pinv(A) ans =  ­0.0727  ­0.1455  0.6364  0.1273  0.2545  ­0.3636

Key to MATLAB Exercise 2 School of Mathematical Sciences Xiamen Univer httplgdipke.xmuedu 0.01820.03640.0909 The first matrix is not equal to the second one 4).>>inv(B) 0.6000-0.2000-0.2000 0.20000.6000-04000 00.5000 > pinv(B) 0.6000-0.2000-0.2000 0.20000.6000-0.4000 -0.5000-0.0000 5000 Because B is not singular, inv(B)is equal to pinv(B) 11. Omitted Ex2-6

Key to MATLAB Exercise 2  School of Mathematical Sciences Xiamen University  http://gdjpkc.xmu.edu. Key to Ex2­6  0.0182  0.0364 0.0909  The first matrix is not equal to the second one.  4). >> inv(B) ans =  0.6000  ­0.2000  ­0.2000  0.2000  0.6000  ­0.4000  ­0.5000  0  0.5000  >> pinv(B) ans =  0.6000  ­0.2000  ­0.2000  0.2000  0.6000  ­0.4000  ­0.5000  ­0.0000  0.5000  Because B is not singular, inv(B) is equal to pinv(B).  11.  Omitted