高等代数选讲IX,X 刻」 林亚南 门大学数学科学学院 全屏 联
方问主页 第九章特征值和特征向量 全屏 联
矩阵的特征值,特征向量,特征多项式,最小多项式 设A∈FX,若有∈F,0≠X∈P×,使得AX λX,则称λ是A的一个特征值,X是A的属于特征值的特 方问主页 征向量 定理1 属于不同特征值的特征向量线性无关 厦烈」 全屏 联
设A∈Fn,则矩阵λE-A称为A的特征矩阵,A入E 特征根由于fA(M0)=0的充分必要条件是方程组(入0E A)X=0有非零解.所以,A的属于F的特征根是A的特征 方问主页 为根 的多项式称为A的零化多项式.A的首项系数为1的次数 最低的零化多项式称为A的最小多项式矩阵A的最小多 项式是唯一的,记为gA(入) 」 全屏 联
理2 设fA(A 入 1-1+…+(-1)"an, λ是A的特征值,则an=|A4|=A 方问主页 a1=A1+入2+…+An=Tr(A)=a11+a22+…+an 定理3 相似矩阵有相同的特征多项式 顷4 全屏 联
定理4( Hamilton-Caylay定理) 设A∈Fn,fA(A是A的特征多项式,则fA(A)= 定理5 方问主页 (1)设h(入)∈Fx,则h(A)=0的充分必要条件 是gA(入)|h(入).特别地,9A(A)fA(A; (2)相似矩阵有相同的最小多项式 全屏 联
定理6 (1)设λ是A的特征值,则(X-A0)9A(A; (2)设fA(的根全在F中,则在不计重数的意义下, 方问主页 fA()与9A(入)的根相同 设λ是m阶方阵A的一个特征值,V={X 默」 为入的几何重数 全屏 联
矩阵A的特征值和特征向量的求法步骤 (1)计算A的特征多项式fA(入)=|AE-A4 (2)求出fA(的所有根,在F中的是特征值; 方问主页 (3)对每个特征值λ,求出齐次方程组ME-A)X= 0的基础解系,即λ的特征子空间V的基X1,X2,…,Xs, 则kX1+k2X2+……+kX即是对应于灿的全部特征向 全屏 联
二.线性变换的特征值,特征向量,特征多项式最小多项 与矩阵的特征值与特征向量相对应,在同构意义 是 数域F上的n维线性空间,A是V的一个线性变换.若存 方问主页 征值,a是A的属于特征值λ的特征向量 因为线性变换在不同的基下的矩阵是相似的,而相 矩阵有相同的特征多项式,所以我们可以定义n维线性 空间V的线性变换A的特征多项式为A在任 个基下 的矩阵的特征多项式,记为f4(入) 全屏 联
定理7( Hamilton- Caylay定理 设A是n维空间V的线性变换,fA(入)是A的特征多项 式,则fA(4)=0 方问主页 因为线性变换在不同的基下的矩阵是相似的,而相 似矩阵有相同的最小多项式,所以我们可以定义n维线性 空间V的线性变换A的最小多项式为A在任意一个基下 第顾共 的矩阵的最小多项式,记为9A(入 全屏 联
