高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.771.16;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第一章一元多项式 提示:多顶式理论自成一体,内容丰富,应用广泛 要把握多项式代数和多项式函数两个不同的角度和联系.多项式的代数运算(包括带余除法)及其引出的慨 念性质是多项式代数的内容,而多项式的根及其分析的角度的讨论,是多项式函数的内容,两个多项式相等 的充分必要条件是它们作为函数是相等的 要掌握多項式性质与数域的扩大是否有关.整除理论,带余除法,最大公因式;互质等性质与数域的扩大 无关,而不可约性质,因式分解则与数域的扩大有关 多项式理论的一些定理的证明含有深刻的内涵或方法,是应该掌握的,如带余除法定理,最大公因式的存在 性定理,因式分解存在唯性定理.有理系数多项式的定理的证明有独特的方法,如Gas引理和 Eisenstein 中国剩余定理作为中国传统数学的瑰宝,至今闪烁智慧的光芒.我们在例题中介绍.注意用中国剩余定理 可以直接证明习题中 Lagrange插值公式 一,多项式代数和多项式函数 多项式代数 数城F上的一元多项式是形式表达式 +(1+ao 这里n是非负整数,a;∈F,0≤i≤n,an≠0.an称为首项系数,a称为常数项,n称为f(x)的次 数,记为deg(f(x).零多项式是唯一没有定义次数的多项式 数域F上多项式的全体记为F 两个多项式∫(x)=∑0x和9(x)=∑。bx相等,如果m=n且a=b,1≤t≤n.没 deg(f(x)≥deg(g(x),定义f(x)+9(x)=∑(a1+bx,这里b=0,m+1≤j≤n.对于 a∈F,定义数乘af(x)=∑0a,x,定义乘法为f(x)g(a)=∑m”c,其中=∑+k=b 命題1.(1)Fx]对于多项式的加法和多项式的数乘构成F上的线性空间 (2)Fa对干多项式的加法和多项式的乘法构成有单位元的交换环 (3)F[a对于多项式的加法,多项式的数乘和多项式的乘法构成有单位元的交换代数 设∫(x),9(x),h(ar)∈F,且f(a)=g(x)h(x),则称g{x)整除∫(x),记为g(x)f(x).如果这样的 h(x)不存在,称9(x)不能整除f(x),记为g(x)f(x) 命题2.(1)g(a)∫()→9(x)除∫(x)的余式为零; (2)g(x)f(x)且f(x)9(x)+→f(x)=cg(x),其中0≠c∈F; (3)g(r)f(), f(r)h(z), l g(a )h(ar 1)g(x)f(x),1≤i≤s,则对于任意t(r)∈Fll,1≤i≤s,有g(x)∑=1t(a)f1() 定理1(带余除法定理,设∫(x)9(x)∈F,9(x)≠0.则存在唯一的q(x),r(x)∈F[al,使得 f(x}=g(a)q(x)+r(x),这里或者r(x)=0或者deg(r(x)<deg(g(a)
2.多项式函数 1+……+a2x2+a1+an∈F,则对于a∈F,f:a→f(a) 设f(x)=an"+an122+1a+an定义了F到F的函数,称为多项式图数根据函数的观 =an("+a+=1a1-1+ 点,∫=9的充分必要条件是:对于任意的a∈F,都有∫(a)=g(a) 设a∈F使得∫(a)=0,则称a是f(x)的一个根 定理2(余数定理,设∫(x)∈Frl,a∈F,用x-a除f(a)的带余除式为f(x)=(x-a)y{x)+c 定理3.(1)F上n次多项式在F上的根最多只有n个(重根按童数计算) (2)设f(x),9(x)∈Frl的次数不超过n,而存在n+1个F上不同的数a1,…,an+1,使得f(a) g(a;),1≤i≤n+1.则f(x)=g(x) )多项式f(x)=g(x)+→多项式函数∫=9 二.最大公因式和互质(与数城的扩大无关的性质 公因式;(2)f(),9(x)的公因式全是d()的因式f(x),9(x)的首项系数为1的最大公因式是唯一的, 为(f(x),g(x) 命題3.(f(x),g(x)=(f(x)+t(x)g(x),9(x) 定理4.对于f(x),9(x)∈F],在F中总存在最大公因式d(x),且存在(x),v(x)∈Frl,使得 d(r)=(x)∫(x)+(x)g(x) 设(f(x),9(x)=1,则称f(x)与9{x)可质 命题4.(1)(f(x),9(x)=1→存在t(x),v(x)∈Fr,便得t(r)f(x)+v(r)9(x)=1; (2)(f(x),g(x)=1,f(x)g(x)h(x),则f(x)h(x) (3)g1(x)f(x),g2(x)f(x),(g1(x),g2(x)=1,则g1(r)g2(xr)f(x) 设f1(x),f2(x),…,mn(r)∈Fr],dx)∈Plal称为f1(r),f2(x),…,fm(r)的最大公因式,如果 (1)d(x)f(x),1≤i≤m;(2)f(x),l≤i≤m的公因式全是d(a)的因式.f1(x),f2(x),…,fn(x) 的首项系数为1的最大公因式是唯一的,记为(1(r),f2(x),……,fm(x) 桕应地,有关于多个多项式的最大公因式和互质的相应结论 设f(x),g(x)∈Fxl,c{x)∈F]称为f(x)和g(x)的最小公倍式,如果(1)cx)是f(r),g(x)的公 倍式;(2)∫(x),g(x)的公倍式全是(x)的因伴式.f(x,g(x)的首项系数为1的最小公倍式是唯一的 因式分解(与数域扩大有关的性质 1.因式分解 上次数大于零的多项式p(x)称为不可约多项式,如果p(x)在F]的因式只有平凡因式常数c和 命題5.设p(x)∈F]是次数大于零的多项式,则下面条件是等价的 (1)p(x)不可约多项式 (2)对于任意f(a)∈Fx,或者p(x)f(x),或者(f(x),p(x)=1
(3)对应p(x川f(r)g(x),或者p(x)f(x),或者p(x)g( 定理5因式分解存在唯一性定理.F上任意次数大于1的多项式f(x)都可以表示为不可约多项式的 乘积,在不计零次因式的差异下,这个分解是唯一的 在Fr上f(a)的标准分解式为 f(x)=ep1(x)”p2(x)”2…p、(x) 这里,P(x是两两不同的首项系数为1的不可约多项式,r是正整数,1≤i≤s 2.重因式 不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式,如果p{x)f(x),且p(x)k+1f(x) 命题6.(1)如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1),则p(x)是f(x)的k-1重因式 (2)不可约多项式P(x)是f(x)的貮因式→p(x)是f(x)和f(xr}的公因式 (3)f(x)没有盒因式(f(x),f(x)}=1 (4)设f(x)=cp1(a)”p2(x)2…Pn(x)”,则 (x)P2(x)…p(a 3.复系数和实系数多项式的因式分解 定理6(复系数多项式因式分解定理}.每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成 次因式的乘积.复系数多项式具有标准分解式 定理7实系数多项式因式分解定理.每个次数>1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 f(x)=an(x-c1)2(x-c2)2…(x-c)2(x2+p1z+g1)+(x2+p2x+92)2…(x2+p,+qr) 其中C1 P,q1,…,q全是实数,l1,……,l k是正整数,x2+nx+g(1≤t≤r) 是个可约的 4.有理系数多项式 如果一个盛系数多项式g(x)=bnx+bn-1xm-1+…+b的系数bn,b-1,bo没有异于1,-1的公因 数,它就称为本原多项式有理系数多项八f(x}的因式分解问题,可以归结为本原多项式的因式分解问悬 命題7(Gals引理),两个本原多顶式的乘积还是本原多项式 定理8.如果非零整系数多项式f(x)在有理数域上可约,那么f(x)一定能分解成为次数较低的两个整 系数多项式的乘积 定理9.设f(x)=anxn+an-1x2-1+…+ao是整系数多项式,"是它的一个根,其中r,互素 则必有san,rao.特别地,如果f(x)的首项系数是1,则f(ax)的有理根都是整根,而且是an的四子 定理10 Eisenstein判别法)设∫(x)=anx+an-1xm-1 a0是整系数多项式,如果存在素数 P,使得(1)phan2)pan-1,an-2…,ao;(3)p2和an,则f(x)在有理域上不可约
例1.设f(r),g(r),h(x)∈l,且f(x)2=xg(x)2+rh(x)2,求证:f(x)=g(x)=h(x)=0 证明提要:考虑和对比最高次数项的次数 例2.求证:xf(x)+号rf(z)2 明提要:考虑常数项 例3.如果(x2+x+1)f1(x3)+x2(x3),那么(x-1)f1(x),(x-1)f2(x 证明提要:(x2+x+1)=(x-a1)(x-2),所以f1(1)+12(1)=0,f1(1)+212(1)=0.解 程,得f1(1)=0,f2(1)=0.所以(x-1)f1(x),(x-1)2(x) 例4.设(f(x),9(x)=1,(f(x),h(x))=1.求证:(f(m),g(xh(x)=1 证法1提要:因为(f(x),9(x)=1,存在t1(x),"1(x)∈F可使得1(x)∫(x)+n1(x)g(x)=1(*) 因为((x),h(x)=1,存在2(r),n2(x)∈Fl使得v2()f(x)+t2{x)h(x)=1(*),将(*)式与 (*)式相乘得到(m1(x)2(x)+m(r)(x)h(x)+2(x)1(r)g(x)f(x)+(1(xy2(x)(g(a)h(x)=1 故(f(x},g(x)h(x}=1 证法2提要反证法.假设1≠d(x)=(f(x),g{a)h(x),设p(x)是d(x)的一个不可约因子,则 P(x)f(x),且p(x)g(x)h(x).由不可约多项式的性质知或者p(x)9(x)或者p(x)h(x).矛盾 例5.设∫(x)=cp1{x”pP2(x)2…p,(x),g(x)=d1()p2{x)2…p,(x}2,这里,P(x)是两 两不同的首项系数为1的不可约多项式,r,t是非负整数,且r;+t>0,1<i≤s,则 (x),9(x)=p(x)"P2(x)2…p(x)",其中a1=min{r;,t},1≤i≤ (2)[f(x),9(x=p1(xp2{x)…pr),其中b1=max{r,t},1≤i≤ (3)∫(x)g(x)→n;≤t,1≤i≤“; (4)cl(f(x),9(x)f(x),9(x=f(x)9(x) 例6.设f(x),g(x)∈Q]scrl (1)若在Q可上f(x)9(),间在c上f()g(x)成立否 (2)若在Q团上f(x)和g(x)互素,间在Cx]上f(x)和g(x)互素否? (3)若f(x)和g()在雙上尤公共根,问∫(x)和g(x)在C有尤公共恨? 例7设a1,①2,…,an是两两不同的整数.证明:f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1不能分解 为两个次数大于零的整系数多项式 证明提要:反法.设∫(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)的次数都大于0.则g(x)+h(x)=0或者 deg(g(r)+h(x)<n.因为g(ah(a}=f(a)=-1,g(a),h(a)均为整数,所以g(a)+ha)=0, 1≤i≤n,故g(x)+h(x)=0,于是f(x)=-92(x),这与f(x)的首项系数是1矛盾 例8.(1)设f(x),9()∈F,且∫(x)在F上不可约,若存在a∈C,使得fa)=9(a)=0.则 f(r)g(er) (2)设a+bE是有理系数多项式f(x)的根,这里a,b,c∈Q,b≠0,√C是无理数.则a一byC也是 ∫(x}的根 证明提要:(1)因为f(x)在F上不可约,或者f(x}g()或者(f(x)9(x}=1.而后者与f(a)= g(a)=0矛盾 (2)因为g(x)=(x-a-b√(x-a+bv)=x2-2ax+(n2-b2C)在Q上不可约.根据(1) g(r)f(x).所以a-bvc也是f(x)的 例9.设p1(x,P2{x)…pn(x)∈Fr两两互素,则存在f{x)∈Fil,1≤i≤m,使得f(r)= l{x(x)+1,f(x)=h{a)p{x),1<t≠j≤m
证明提要:当1≠时,(x)P(x)=1.所以存在(p1(x),1≠=1P(x)=1.所以存在4( t(x)∈Fr,使得 令∫(x)=m()(I1≠;P1(x),4(x)=-n(x),h(x)=(1≠,P(x)m(x)即得证.口 存在唯一9(x),q(x)∈F],1≤i≤m,使得 deg()<∑de图p(x)且o(x)=ph(x)(x)+a,1≤i≤m 证明提要:由例8,存在f(r),1≤1≤m,使f(x)=1(x)p(x)+1,f(x)=b,(x)(x),≠ 令f(x)=∑1f(x)a,根据带余除法,有f(x)=t(r)I=1P{x)+9(x),这里degg(x) deg ll=1p(x)=∑n1degp(x).我们指出这里9(x)≠0.否则,对于固定的因为p(m)∑,m1f(a)a 和Pf(x),≠j,所以Pf(x)a1,与f(x)=l(x)P(x)+1矛盾 g(=)=f(z)-t(c)Ip(=) ∑∫xj(a)+f(a)n)-t()n(a) ∏ =p1(a∑h(x)1+1()-taHIp(x)+a 再证明唯一性:若g{x)≠g1(x),g(x)=p(x)qh{x)+a,1≤i≤m,a1(x)=P(x)t(x)+a 1≤t≤m,(x)≠t,(x),1≤t≤m.则0≠9(x)-91(x)=n(x)(q(x)-t(x),.因为 P(x)9(a)-91(x),1≤i≤m,ph(x),1≠j两两互素,所以p1(x)P2(x)n(x)g(x)-g1(x) ∑m1degp;(x)smax{deg(r),degn(x)}<∑1degp(x),此为矛.所以g(x)=91(x)即9(x) 是唯一的.进一步,根据带余除法的商的唯一性,知g(x)是唯一的.口 题1.填空题 (1)用g(x)=x2-x+2除f∫(x)=x4-2r+5,则商q(x)=_余式r(x) (2)当m,p,q满足关系_时,x2+mx+1 (3)(x4-x3-4x2+4x+1,x2-x-1)=d(x) 存在t(xr d(r)=n(er)f(r)+v(ez)g(r) 1)当t满是条件时,f(x)=x3-3x2+tx-1有重根 (5)f(x)=x3+pr+q有重根的条件是 (6)4x4-7r2-5x-1的有理根集合 题2.(1)设ad-b≠0.证明:(f(x),(x)=(af(x)+bg(x),ef(x)+dg(x)
(2)证明:(f1(x),91(x)(f2(x),92(x)=(f1(x)f2(x),f1(x)92(x),91(x)2(x),g1(a)92(x) 设h(x)是首项系数为1的多项式.求证:(f(ah(x),9(ah(x)=(f(a),9(x)h(x) 题3.设(f(x),9(x)=1.则 (1)(f(a)g(x),∫(r)+g(x)=1 2)(f(xn),g(x)=1 (3)(f(a)",g(x))=1 题4.设∫(x)是首项系数为1次数大于1的多项式,证明下面命题是等价的 (1)f(x)是某个不可约多项式的方幂 (2)对于任意的多项式9(x),必有(f(x,9(x)=1,或者存在某一正整数m,使得f(x)g"(x); (3)对于任意的多项式g(x),h(x),由f(x)g(x)h(a)可以推出f(x)g(x),或者存在某一正整数m,使得 题5.(1)求证:f(x)g(x)==f(r)29(x)2 (2)设f(x),9(x)为两个非零多项式证明:存在自然数N,使得对任意的m1,n2≥N,有(fm1(a),9(x)= 题6.让明:如果f(x)f(x"),则f(x)的恨只能是零或者单位根 题7.(1)若无理数V+√b是有理多项式f(x)的根,则√-√7,-+V,-√-√也是 f(x)的根 (2)若a+bi(a,b为有理数,b≠0)是有理多项式f(x)的根,则a-b也是f(x)的根 (3)若a+b√e)+(e+d√e)是有理多项式f(x}的根,这里a,b,cde是有理数,√e是尢理数, c+dvE≠0.则(a+b√E)-(+d√),a-bv)+(c-d√可i,(a-bv)-(c-d√E)也是f(x) (4)若无理数vG是有理多项式f(x)的根,这里a是正有理数.则v,a2也是f(x)的根,这里 题8.设F(x)=(x-m1)(x-2)…{x-an),这里a1,a2,…,an是两两不同的数 (1)∑" (2)任意多项式f({x)用F(x)除所得的余式为 3对于任意的h1,b2,…,bn∈F L(x)=∑ Er-aiF(ai) 足L(a)=b,1≤i≤n.L(x称为 lagrange捂值公式 (4)用 Lagrange插值公式求一个次数小于4的多项式f(x),满足f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0, *题9.设a1,a2,…,a,悬两两不同的整数.证明:f(x)=(x-a1)2(x x-an)2+1在有 理域上不可约
题10.设∫(x)∈Rrl,对于任意a∈R,都有f(a)>0.求证:存在g(x),h(x)∈Rr],使得 f(x)=9(x)2+l(x)2
