厦门大学高等代数教案(08版)网站TP地址:59.71.,16;域名; gdjpkc. xmu. edu.cn 4.3线性映射与矩阵 教学目的和要求本节内容是高等代数中的重要章节,体现了高等代数课程的 重要思想要掌握线性映射φ:V→U由V的基的像唯一确定的思路并用于解 题.理解L(V,U)=Kxm空间同构和L(V)=Kx作为代数同构及其在应用上 的意义,理解和掌握两个矩阵相抵的充分必要条件是他们同一个线性映射在两组 不同的基下的矩阵;两个矩阵相似的充分必要条件是他们同一个线性变换在不同 两组基下的矩阵.掌握矩阵相似是等价关系.同构的方法及其应用是高代中的重 要思想方法之一,也是难点之一,教学中力求讲透这种同构对应,对以后的映射问 题与矩阵问题互相转化打好基础 基的像决定了线性映射 引理1设VU是数域K上线性空间,ε1,E2,……,Em是V的一组基,则: (1)设y,v∈L(V,U),且p(e)=v(),1≤i≤m,则p=v; (2)对任意给定的1,B2,…,An∈U,存在唯一线性映射φ∈L(V,U),使得 y(e1)=B1,1≤i≤m 证明(1)对任意a∈V,a=m1aiei,yp(a)=y(m1a11)=∑m1ay(e) ∑m1a1v(e1)=v(∑=1a1=)=v(a),所以y=v (2)定义φ:V→U,∑m1a1e1→∑11.则易证φ∈L(V,U),即φ是线性映 射.并且φ(e2)=1.为证明唯一性,设存在如∈L(V,U),使v(1)=A,1≤i≤m, 则y(e)=v(e),1≤i≤m.由(1)知p=t.口 注1引理1表明:线性映射φ:V→U由V的基的像唯一确定.同时,表明 下面的映射6是一一映射 二.线性映射与矩阵 设VU是数域K上线性映射,51,52,…,5m是V的一组基,m 是 U的一组基.则
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ (08 ✡) ☛☞ IP ✌✍✎ 59.77.1.116; ✏✑✎ gdjpkc.xmu.edu.cn §4.3 ✒✓✔✕✖✗✘ ✙✚ ✛✜✢✣✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲✦✳✴✵✶✪✫✬✭✷✸✯ ✰✱✹✺✻✱✼✽✒✓✔✕ ϕ : V → U ✾ V ✯✿✯❀❁❂❃❄✯✹❅❆❇❈❉ ❊✻❋❉ L(V, U) ∼= Kn×m ●❍■❏❑ L(V ) ∼= Kn×n ▲▼✬✭■❏◆❖P◗❇❘ ✯❙❚✻❋❉❑✼✽❯❱✗ ✘❲❳✯❨❩❬✱❭❪✩❫❴■❂❱✒✓✔✕P❯❵ ❛■✯✿❜✯✗✘❝❯❱✗ ✘❲❞✯❨❩❬✱❭❪✩❫❴ ■❂❱✒✓❡❢P❛ ■ ❯❵✿❜✯✗ ✘✻✼✽✗✘❲❞✩✫❣❤✐✻■❏✯❥❦◆❖◗❇✩✪✬✮✯✰ ✱✹✺❥❦❧❂✳♠✩♥♦❧❂✻♣q✮rst✉✈✇■❏①◗✳①②③✯✔✕④ ❊ ✖✗✘④❊⑤❲⑥⑦⑧⑨✿⑩✻ ❂✻✿✯❀❶❄✶ ✒✓✔✕ ❷❸ 1 ❹ V, U ✩✭❺ K ❘ ✒✓●❍✳ ε1, ε2, · · · , εm ✩ V ✯❂❵✿✳❻❼ (1) ❹ ϕ, ψ ∈ L(V, U), ❽ ϕ(εi) = ψ(εi), 1 ≤ i ≤ m, ❻ ϕ = ψ; (2) ①❾❙❿❄✯ β1, β2, · · · , βm ∈ U, ➀ P❁❂✒✓✔✕ ϕ ∈ L(V, U), ➁➂ ϕ(εi) = βi , 1 ≤ i ≤ m. ➃➄ (1) ①❾❙ α ∈ V , α = Σm i=1aiεi , ϕ(α) = ϕ(Σm i=1aiεi) = Σm i=1aiϕ(εi) = Σ m i=1aiψ(εi) = ψ(Σm i=1aiεi) = ψ(α), ➅ ② ϕ = ψ. (2) ❄❚ ϕ : V → U, Σm i=1aiεi 7→ Σ m i=1aiβi . ❻➆➇ ϕ ∈ L(V, U), ➈ ϕ ✩ ✒✓✔ ✕ ✻❆ ❽ ϕ(εi) = βi . ▼➇➉❁❂✓ ✳ ❹➀P ψ ∈ L(V, U), ➁ ψ(εi) = βi , 1 ≤ i ≤ m, ❻ ϕ(εi) = ψ(εi), 1 ≤ i ≤ m. ✾ (1) ➊ ϕ = ψ. ✷ ➋ 1 ➌ ❋ 1 ➍ ➉❼ ✒✓✔✕ ϕ : V → U ✾ V ✯✿✯❀❁❂❃❄✻■➎✳ ➍ ➉ ❜➏✯✔✕ Θ ✩❂❂✔✕✻ ➐✻ ✒✓✔✕✖✗✘ ❹ V, U ✩✭❺ K ❘ ✒✓✔✕✳ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✩ V ✯❂❵✿✳ η1, · · · , ηn ✩ U ✯❂❵✿✻❻ 1
y(51)=a11+a12m+…+a1nmn y(52)=a21m1+a22+ a2n7n p(Em)=mlm +am2m2+.+amnon 形式上可以记为 a11a2 a12a22 其中A是唯一确定的,称为φ在基51,52,…,5m与m,……,mn2下的矩阵 注2(1)(*)式表成立的充分必要条件是:在U中,9(5)在基m,m,…,m 下的坐标是A的第讠列 (2)在取定基51,52,…,5m与m,…,mn的前提下,线性映射φ唯一决定A∈ K×m满足(*)式,反之,对A∈Kmxm,由引理1知道,存在唯一φ∈L(V,U)满 足(*)式 定理1设V,W是数域K上线性空间,51,52,…,5n是V的一组基,mh,…,mn 是W的一组基,令 6:L(V,W)→K"mg→A 其中 y(51,52,…,Sm)=(mh,m,…,mn)A, 则是K-线性空间的同构映射 证明由注2(2)知,白是一一映射.下面证明6是线性映射 设(y)=A,(v)=B.则 (y+)(5)=y(52)+v(5) (an1m+a22+…+anmn)+(b1m1+…+bnmn)
ϕ(ξ1) = a11η1 + a12η2 + · · · + a1nηn ϕ(ξ2) = a21η1 + a22η2 + · · · + a2nηn · · · · · · ϕ(ξm) = am1η1 + am2η2 + · · · + amnηn (∗) ➑➒❘➓②➔▼ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn) a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · amn ➈ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)An×m. (∗) ❖✮ A ✩❁❂❃❄✯✳→▼ ϕ P✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✖ η1, · · · , ηn ❜✯✗✘✻ ➋ 2 (1) (∗) ➒ ➍➣↔✯❨❩❬✱❭❪✩❼P U ✮✳ ϕ(ξi) P✿ η1, η2, · · · , ηn ❜✯↕➙✩ A ✯➛ i ➜ ✻ (2) P➝❄✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✖ η1, · · · , ηn ✯➞➟❜✳ ✒✓✔✕ ϕ ❁❂❶❄ A ∈ Kn×m ➠➡ (∗) ➒✻➢❧✳① A ∈ Kn×m, ✾➌ ❋ 1 ➊➤✳ ➀ P❁❂ ϕ ∈ L(V, U) ➠ ➡ (∗) ➒✻ ➥❸ 1 ❹ V, W ✩✭❺ K ❘ ✒✓●❍✳ ξ1 , ξ2, · · · , ξm ✩ V ✯❂❵✿✳ η1 , · · · , ηn ✩ W ✯❂❵✿✳➦ Θ : L(V, W) → Kn×m ϕ 7→ A, ❖✮ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ❻ Θ ✩ K- ✒✓●❍✯■❏ ✔✕✻ ➃➄ ✾ ➧ 2(2) ➊ ✳ Θ ✩❂❂✔✕✻❜➏➇➉ Θ ✩ ✒✓✔✕✻ ❹ Θ(ϕ) = A, Θ(ψ) = B. ❻ (ϕ + ψ)(ξi) = ϕ(ξi) + ψ(ξi) = (ai1η1 + ai2η2 + · · · + ainηn) + (bi1η1 + · · · + binηn) 2
+b =(mh,n2,…,m) +b ain+ 所以 (y+v)(51,52,……,m)=(m,m2,…,m)(A+B) 故 e(y+)=A+B=()+(v) adil (a)(G)=a(9()=a(an+a2+…+amn)=(n,n2…,m)22 aain 所以 (ay)(1,52,…,5m)=(m,m2,……,mn)aA. e(ap)=aA= ae() 这样,是线性映射 推论1设V是m维线性空间,W是m维线性空间,则dimL(V,W)=mn 推论2设a在基51,52,……,5m下的坐标是X=(a1,a2,…,am),则p(a)在 基mh,…,mn下的坐标是AX 证明由a=(51,52,……,5m) ,设y(a)=(mn,m2,……,mn) 则 y(a)=a1y(51)+…+anmy(5m)=(y(51),……,9(5m)
= (η1, η2, · · · , ηn) ai1 + bi1 ai2 + bi2 · · · ain + bin . ➅ ② (ϕ + ψ)(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)(A + B). ➨ Θ(ϕ + ψ) = A + B = Θ(ϕ) + Θ(ψ). ➩ (aϕ)(ξi) = a(ϕ(ξi)) = a(ai1η1 + ai2η2 + · · · + ainηn) = (η1, η2 · · · , ηn) aai1 aai2 · · · aain , ➅ ② (aϕ)(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)aA. ➈ Θ(aϕ) = aA = aΘ(ϕ). ✈➫✳ Θ ✩ ✒✓✔✕✻ ✷ ➭➯ 1 ❹ V ✩ m ➲✒✓●❍✳ W ✩ n ➲✒✓●❍✳❻ dimL(V, W) = mn. ➭➯ 2 ❹ α P✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ❜✯↕➙✩ X = (a1, a2, · · · , am) 0 , ❻ ϕ(α) P ✿ η1, · · · , ηn ❜✯↕➙✩ AX. ➃➄ ✾ α = (ξ1, ξ2, · · · , ξm) a1 a2 . . . am , ❹ ϕ(α) = (η1, η2, · · · , ηn) b1 b2 . . . bn . ❻ ϕ(α) = a1ϕ(ξ1) + · · · + amϕ(ξm) = (ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξm)) a1 . . . am 3
nn)A 所以 b1 记a1为同构映射a1:VKm,a=Ym1ak→→ 记a2为同 b1 b2 构映射a2:UK",3=∑m=1bn一→ 记A为线性映射A:Km bn Kn A 则有下面的结论 定理2记号如上,则有29=Aa1.即有下列所示的交换图 KmxI A-F /nxl 证明对于任意的a=a5=(5,5…,5m)21.4()=4 A 另一方面,o2y(a)=02(mh,m2,……,mn)A
= (η1, · · · , ηn)A a1 . . . am . ➅ ② b1 . . . bn = A a1 . . . am . ✷ ➔ σ1 ▼ ■❏ ✔✕ σ1 : V ∼= Km, α = Σm i=1aiξi 7−→ a1 a2 . . . am , ➔ σ2 ▼ ■ ❏ ✔✕ σ2 : U ∼= Kn , β = Σm i=1biηi 7−→ b1 b2 . . . bn , ➔ A ▼✒✓✔✕ A : Km → Kn , a1 a2 . . . am 7−→ A a1 a2 . . . am , ❻➳❜➏✯➵➸✻ ➥❸ 2 ➔➺➻❘✳❻➳ σ2ϕ = Aσ1. ➈ ➳❜ ➜➅➼✯➽❢➾ ✲ ❄ ✲ ❄ V U Km×1 Kn×1 ϕ σ1 σ2 A . ➃➄ ①❈❾❙✯ α = Σm i=1aiξi = (ξ1, ξ2, · · · , ξm) a1 a2 . . . am , Aσ1(α) = A a1 a2 . . . am = A a1 a2 . . . am , ➚ ❂❥➏✳ σ2ϕ(α) = σ2((η1, η2, · · · , ηn)A a1 a2 . . . am ) = A a1 a2 . . . am . 4
所以 要特别注意上面的两个定理得前提是分别取定V和U的一组基.当取不同的 基时有下面的结论 定理3设5152,……,5m和51,总2,…,Em是V的基且 (51,2,…,Em)=(51,52,…,5m)P 设m,m,……,mn和mh1,n12,…,m是W的基且 (n1,n2,…,mn)=(m,m2,…,mn)Q 设φ∈L(V,W), y(51,52,……,5m)=(m,m,…,mh)Anxm, B 则B=Q-AP,即A相抵于B 反之,若A,B∈Kn×m是相抵的,则A,B是同一个线性映射在两组不同基 下的矩阵 证明因为 (51,52,…,5m)=y(51,…,5m)P=( )AP=(h1,……,mn)Q 所以B=Q-AP 反之,设存在可逆阵P,Q,使得B=Q1AP.设V是m维线性空间, 51,52,……,5m是V的一组基,U是n维线性空间,m,m,…,mn是U的基.则 A决定了一个∈L(V,U)满足 (51,52,…,5m)=(m,T )A. 设51,52…,5是V的另一个基,满足 (51,52…,m)=(51,52,…,5m)P h1,n2,……,m是U的另一个基,满足 (n,n,……,mn)=(m,m2,…,m)Q
➅ ② σ2ϕ = Aσ1. ✷ ✱➪➶➧❙❘➏✯❯❱❄❋ ➂ ➞➟✩❩➶➝❄ V ❑ U ✯❂❵✿✻➹➝❛■✯ ✿➎➳❜➏✯➵➸✻ ➥❸ 3 ❹ ξ1, ξ2, · · · , ξm ❑ ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m ✩ V ✯✿❽ (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (ξ1, ξ2, · · · , ξm)P. ❹ η1, η2, · · · , ηn ❑ η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ✩ W ✯✿❽ (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. ❹ ϕ ∈ L(V, W), ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)An×m, ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n )Bn×m. ❻ B = Q−1AP, ➈ A ❲❳❈ B. ➢❧✳➘ A, B ∈ Kn×m ✩❲❳✯✳❻ A, B ✩■❂❱✒✓✔✕P❯❵❛ ■✿ ❜✯✗✘✻ ➃➄ ➴▼ ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = ϕ(ξ1, · · · , ξm)P = (η1, · · · , ηn)AP = (η 0 1 , · · · , η0 n )Q −1AP, ➅ ② B = Q−1AP. ➢❧✳ ❹➀P➓➷ ✘ P, Q, ➁➂ B = Q−1AP. ❹ V ✩ m ➲✒✓● ❍✳ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✩ V ✯❂❵✿✳ U ✩ n ➲✒✓●❍✳ η1, η2, · · · , ηn ✩ U ✯✿✻❻ A ❶❄✶❂❱ ϕ ∈ L(V, U) ➠➡ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)A. ❹ ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m ✩ V ✯ ➚ ❂❱✿✳➠➡ (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (ξ1, ξ2, · · · , ξm)P, η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ✩ U ✯ ➚ ❂❱✿✳➠➡ (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. 5
则有 (51,52,…,Em)=(m1,n2,……,mn)B 推论3设V是m维线性空间,U是n维线性空间,φ∈L(V,U).则存在V 的基51,…,5m和U的基m,…,m使得 I. 0 三.n维空间V的线性变换与n阶方阵 定义1设A,B是两个K一代数,若存在K-空间同构映射:A→B且 满足e(aB)=6(a)(),则称e是K-代数同构 定理4设V是数域K上n维空间,51,2,……,5n是V的一组基,令 6:L(V) 其中 (51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)A 则6是代数同构 证明由上面定理知θ是线性空间的同构映射.设φ,v∈L(V),且 y(51;,2,…,5n)=(51,52,…,5n)A u(51,52,……,5n)=(51,52,……,5n)B, 则 uy(51)=v(an151+a252+…+an5n) (u65,v(6)…,(s)2|=(6,5…,m)Ba2 所以 5n)=(51,52,……,5n)B
❻➳ ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n )B. ✷ ➭➯ 3 ❹ V ✩ m ➲✒✓●❍✳ U ✩ n ➲✒✓●❍✳ ϕ ∈ L(V, U). ❻ ➀ P V ✯✿ ξ1, · · · , ξm ❑ U ✯✿ η1, · · · , ηn ➁➂ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn) Ir 0 0 0 . ✷ ➬✻ n ➲●❍ V ✯ ✒✓❡❢✖ n ➮ ❥ ✘ ➥➱ 1 ❹ A, B ✩❯❱ K− ✬✭✳➘➀ P K− ●❍■❏ ✔✕ Θ : A → B ❽ ➠➡ Θ(αβ) = Θ(α)Θ(β), ❻→ Θ ✩ K− ✬✭■❏✻ ➥❸ 4 ❹ V ✩✭❺ K ❘ n ➲●❍✳ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✩ V ✯❂❵✿✳➦ Θ : L(V ) → Kn×n , ϕ 7→ A, ❖✮ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A. ❻ Θ ✩✬✭■❏✻ ➃➄ ✾ ❘➏❄❋ ➊ Θ ✩ ✒✓●❍✯■❏ ✔✕✻ ❹ ϕ, ψ ∈ L(V ), ❽ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, ψ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B, ❻ ψϕ(ξi) = ψ(ai1ξ1 + ai2ξ2 + · · · + ainξn) = (ψ(ξ1), ψ(ξ2), · · · , ψ(ξn)) ai1 ai2 · · · ain = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B ai1 ai2 · · · ain . ➅ ② ψϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)BA, 6
e(y)=6(v)e() 推论4设V是n维线性空间,则dimL(V)=n 推论5定理4中的θ满足: (1)e(idv)=In (2)y是V的自同构的充分必要条件是()是可逆矩阵且6(y-1)=6(y)-1 注3定理1和定理4的重要性在于他们架起了联系线性映射(线性变换)与矩 阵的桥梁.由此,我们可以从矩阵的结论得到线性映射的结论,可以从线性映射的 结论得到矩阵的结论,我们可以将矩阵的问题转化成线性映射的问题来解决,也 可将线性映射的问题转化成矩阵的问题来考虑 例2设V是n维线性空间,φ∈L(V),则存在vσ∈L(V)使得φ=vσ,其 中v2=t,a是可逆变换 证明取V的基1,…,5n,则 0 A= P 00 Q=P 00)PPQ.令B=p(I0 P-, C= PQ 则B2=B,C是可逆阵,且A=BC.令v,a∈L(V)使得 v(1,…,5n)=(51,…,5n) (51,…,5n)=(51,……,5n)C 因A=BC,由同构对应,有p=v0,v2=,σ是可逆变换,口 四.矩阵的相似 定理5设51,52,…,5n2和51,52……,5n是V的两组基且 (51,52,…,5n)=(51,…,5n) 设φ∈L(V),且 y(51,52,……,5n)=(51,52,…,5n)A
➈ Θ(ψϕ) = Θ(ψ)Θ(ϕ). ➭➯ 4 ❹ V ✩ n ➲✒✓●❍✳❻ dimL(V ) = n 2 . ➭➯ 5 ❄❋ 4 ✮✯ Θ ➠➡❼ (1) Θ(idV ) = In; (2) ϕ ✩ V ✯ ✃■❏✯❨❩❬✱❭❪✩ Θ(ϕ) ✩➓➷✗✘❽ Θ(ϕ −1 ) = Θ(ϕ) −1 . ➋ 3 ❄❋ 1 ❑❄❋ 4 ✯✰✱✓ P❈❫❴❐❒✶❮✐ ✒✓✔✕ (✒✓❡❢) ✖✗ ✘ ✯❰Ï✻✾ Ð✳Ñ❴➓②Ò✗✘✯➵➸➂Ó✒✓✔✕✯➵➸✳➓②Ò✒✓✔✕✯ ➵➸➂Ó✗✘✯➵➸✻Ñ❴➓②Ô✗ ✘✯ ④ ❊⑥⑦➣✒✓✔✕✯ ④ ❊Õ❉❶✳♠ ➓Ô✒✓✔✕✯ ④ ❊⑥⑦➣✗✘✯ ④ ❊ÕÖ×✻ Ø 2 ❹ V ✩ n ➲✒✓●❍✳ ϕ ∈ L(V ), ❻ ➀ P ψ, σ ∈ L(V ) ➁➂ ϕ = ψσ, ❖ ✮ ψ 2 = ψ, σ ✩➓➷❡❢✻ ➃➄ ➝ V ✯✿ ξ1, · · · , ξn, ❻ ϕ(ξ1, · · · , ξn) = (ξ1, · · · , ξn)A, A = P Ir 0 0 0 Q = P Ir 0 0 0 P −1PQ. ➦ B = P Ir 0 0 0 P −1 ,C = PQ. ❻ B2 = B, C ✩➓➷✘ ✳ ❽ A = BC. ➦ ψ, σ ∈ L(V ) ➁➂ ψ(ξ1, · · · , ξn) = (ξ1, · · · , ξn)B, σ(ξ1, · · · , ξn) = (ξ1, · · · , ξn)C. ➴ A = BC, ✾■❏①◗✳➳ ϕ = ψσ, ψ2 = ψ, σ ✩➓➷❡❢✻ Ù✻ ✗✘✯❲❞ ➥❸ 5 ❹ ξ1, ξ2, · · · , ξn ❑ ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 n ✩ V ✯❯❵✿❽ (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 n ) = (ξ1, · · · , ξn)P. ❹ ϕ ∈ L(V ), ❽ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, 7
y(51,2,……,5n)=(51,2,……,En)B 则B=P=1AP 反之,设A,B∈Kn×,B=P-1AP,则A,B是同一个线性变换在不同基下 的矩阵 证明类似定理3的证明.口 定义2设A,B∈Kmx.若存在可逆阵P∈K使得B=P-AP,则称A 与B相似,记为A≈B 注4定理5说明两个阶矩阵相似的充分必要条件是:它们是一个n维空间上 同一个线性变换在不同基下的矩阵 命题1相似关系是等价关系,即 (1)A≈A (2)若A≈B,则B≈A; (3)若A≈B,B≈C相似,则A≈C 作业Pn11,2,10;P8o11,12,14(提示:扩基的办法) 思考:P1714,6,7,8 挑战题:P171,9
ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 n ) = (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 n )B, ❻ B = P −1AP. ➢❧✳ ❹ A, B ∈ Kn×n , B = P −1AP, ❻ A, B ✩■❂❱✒✓❡❢P❛ ■✿❜ ✯ ✗✘✻ ➃➄ Ú❞❄❋ 3 ✯➇➉✻ ✷ ➥➱ 2 ❹ A, B ∈ Kn×n . ➘ ➀ P➓➷✘ P ∈ Kn×n ➁➂ B = P −1AP, ❻→ A ✖ B ❲❞✳➔▼ A ≈ B. ➋ 4 ❄❋ 5 Û ➉❯❱➮✗✘❲❞✯❨❩❬✱❭❪✩❼Ü❴✩❂❱ n ➲●❍❘ ■❂❱✒✓❡❢P❛■✿❜✯✗✘✻ ÝÞ 1 ❲❞❤✐✩✫❣❤✐✳ ➈ (1) A ≈ A; (2) ➘ A ≈ B, ❻ B ≈ A; (3) ➘ A ≈ B, B ≈ C ❲❞✳❻ A ≈ C. ßà P171 1, 2, 10; P180 11, 12, 14 (➟ ➼ ❼á✿✯â❦) ✹Ö❼ P171 4, 6, 7, 8 ãä❊❼ P171, 9 8