厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 §76 jordan标准形的进步讨论 本节首先利用 Jordan标准形讨论对应的线性空间的分解理论 设φ是C上n维线性空间Ⅴ的线性变换,φ的初等因子组为 (入-A1)2,(A-A2) (入-入k) 则存在V的一组基51,52,…,5n,使得 J(A1,e1) 其中e1+e2+ 令 V(A1,e1)=(51,52,…,Ee2) y(:1)=A151+52, y(52)=A152+5 y(5e1-1)=A151 p(se1)= Alfer 故y(V(1,e1))gV(A1,e1),即V(A1,e1)是φ-子空间,同理,令 其中t=E1+e2+…+e-1,即V(y,e3)对应若当块J(,e),对应初等因子(A-)9,则V(与,e) 也是φ-子空间,故有φ子空间的直和分解 V=V(A1,e1)由V(A2,e2)由…由V(λk,ek) 由(1)式可得 (y-A1idv)1=52 (p-Anidv )52=4 (s- Arid )se (- Arid e=0
'l7. J Q IP [ 59.77.1.116; Mq gdjpkc.xmu.edu.cn ~ { §7.6 Jordan {}| LÆ(℄E Jordan a3g$C ,5WD +N[g ϕ C n ,5WD V ,5 : ϕ Abe (λ − λ1) e1 ,(λ − λ2) e2 , · · · ,(λ − λk) ek , PO V =e< ξ1, ξ2, · · · , ξn, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) J(λ1, e1) J(λ2, e2) . . . J(λk, ek) , x^ e1 + e2 + · · · + ek = n. e V (λ1, e1) = hξ1, ξ2, · · · , ξe1 i, P ϕ(ξ1) = λ1ξ1 + ξ2, ϕ(ξ2) = λ1ξ2 + ξ3, · · · · · · · · · ϕ(ξe1−1) = λ1ξe1−1 + ξe1 ϕ(ξe1 ) = λ1ξe1 . (1) 2 ϕ(V (λ1, e1)) ⊆ V (λ1, e1), ? V (λ1, e1) ϕ- bWD[e V (λj , ej ) = hξtj+1, ξtj+2, · · · , ξtj+ej i, x^ tj = e1+e2+· · ·+ej−1, ? V (λj , ej ) $CX J(λj , ej), $C Ab (λ−λj ) ej , P V (λj , ej ) < ϕ- bWD2G ϕ- bWD Y5+N V = V (λ1, e1) ⊕ V (λ2, e2) ⊕ · · · ⊕ V (λk, ek). F (1) V (ϕ − λ1idV )ξ1 = ξ2, (ϕ − λ1idV )ξ2 = ξ3, · · · · · · · · · (ϕ − λ1idV )ξe1−1 = ξe1 (ϕ − λ1idV )ξe1 = 0 (2) 1
记a=51,v=-hidv,则 2=v(a),3=v2(a),…,a1=y1-l(a),0=v1(a)=0 即a,v(a),v2(a),…,ve1-1(a)构成V(1,e1)的基,且v(a)=0 定义761V的r维子空间U称为线性变换的循环子空间若存在a∈U,使a,v(a),v2(a), v-1(a)为U的一个基且vr(a)=0.此时,称a,v(a),v2(a),…,-1(a)为U的一个循环 根据上面的分析和讨论,我们知道每一个V(A,e)都是y-hidv的循环子空间.所以有如下的分 解定理.关于V(A,e)不能继续分解成为两个非零φ-子空间的直和,根据第四章复习题12. 定理76.1设φ是C上n维空间V的线性变换,设φ的初等因子组为 (入-A1)°2,(A-A2)°2,…,(A-入)°, V=V(A1,e1)⊕V(A2,e2)⊕…⊕V(入k,k) 这里V(A,e)是(y-Aidv)的循环子空间,因而是y-子空间;dimV(A2,e1)=ei(i=1,2,…,k); 且每个V(A,e)不能分解成为两个非零φ-子空间的直和 将定理76.1中属于同一个特征值A1的循环子空间的直和记为R(X1),即 R(A1)=V(A1,e1)V(A1,e12)由…V(1,e1,l1) 记n=dimR(A1),则m1=e11+e12+…+e4易见,m1是λ的代数重数 引理7.6.1 R(1)=Ker(y-Aridy )51 其中s1=max{en,e12,……,e1} 证明对任意的a∈V(A1,n1j),G=1,2,…,l1),(y-hidv)°(a)=0,所以 R(1)SKer(y- Alidv )51 反之,设a∈Ker(-A1idv)1.a=a1+a2+…+αk,其中ai∈V(A,e1),(i=1,2,…,k) 我们断言,对于与≠A的那些j,必有a=0,因而 Ker(p- Arid )C R(A1) 事实上,考虑0≠a∈V(,),与≠A·因V(与,)是φ子空间,因而也是(9-Aidv) 子空间.因为Ker(-A1idv)°(a)=0,所以必有Ker(y-h1idv)(a)=0.记V(与,e)的基为 h+1,5h+ 所以 (-hidv)2(h+1…,5h+e)=(5h+1,…5h+e)J()-h1,e)”2
A α = ξ1, ψ = ϕ − λ1idV , P ξ2 = ψ(α), ξ3 = ψ 2 (α), · · · , ξe1 = ψ e1−1 (α), 0 = ψ e1 (α) = 0. ? α, ψ(α), ψ2 (α), · · · , ψe1−1 (α) 1 V (λ1, e1) G& + N
因为与≠A1,所以J(-A1,e;)为可逆矩阵,故(9-hidv)°在V(,e)上的限制映射为可逆映 射,故(9-A1id)4(a)≠0.矛盾 引理中的J(A1,s1)是φ的属于特征值A的阶数最大的若当块所以81是A1作为my(的根的 重数 定义76.2设A0是C上n维空间上线性变换φ的特征值,且λ0是mp()的s0重根.则 R(A0)={a∈v|(y-hidv)°(a)=0} 是V的φ-子空间,称为属于特征根Ao的根子空 对φ的任意特征值A,引理761结论也成立.故有下面的分解定理 定理7.6.2设φ是C上n维线性空间V的线性变换,A1,A2,……,λ是φ的全部不同特征值,且 m2(A)=(X-A1)”2(A-A2)°2…(A-A), V=R(A1)R(A2)…由R(A), 其中R(A)是A的根子空间;dimR(A)是A的代数重数;f(A)可表为若干个循环子空间的直 下面讨论特征子空间与根子空间的关系 记A1为φ的特征根,Vx1={∈Vly()=入1t}是A1的特征子空间,显然有 Vx2sR(A1)=V(A1,e1)V(A1,e12)由…由V(A1,e1,lx) 那么VA1在哪里呢? 因为V(A1,e1)是φ-子空间,记51,52,…,5en是V(A1,e1)的循环基 yl(xel)(1,52,…,en)=(1,52,……,e1)J(A1,e11) 易知5e1∈KA1,又因为r(A1Ee11-J(A1,e1)=e11-1,所以V(A1,e11)中只有一个线性无关的特征 向量.同理,V(A1,e1j),(1≤j≤l1)中只有一个线性无关特征向量 进步,5e1,51+1,…,a1+5e12+…+,1,这l1个向量来自f(A1)的不同直和项,它们 是属于A1的线性无关的特征向量.又因为 (1Ee, -JA,,es) ei-1;1≤j≤l1 e:: 11 <j<k 故r(A1E-J=n-l1,所以dm1=lh.这样5e1,e1+n12,…,51+k12+…+a,1构成 这样,我们知道φ的 ordan标准形中属于特征值λ的 ordan块的个数等于λ的几何重数 现在介绍 Jordan- Chevalley分解定理 定理76.3( Jordan-Chevalley分解定理)设φ是C上n维线性空间V的线性变换,则存在唯一的 对线性变换v和6,使得 (1)9=v+6,其中v是可对角化的线性变换,是幂零线性变换,且v6=6
A λj 6= λ1, > J(λj − λ1, ej ) VwRT2 (ϕ − λ1idV ) s1 O V (λj , ej ) +℄D VwD 2 (ϕ − λ1id) l1 (αj ) 6= 0. i% ✷ B[^ J(λ1, s1) ϕ IUZ λ1 Kf X> s1 λ1 g mϕ(λ) 0 ` hw 7.6.2 λ0 C n WD,5 : ϕ UZz λ0 mϕ(λ) s0 `0P R(λ0) = {α ∈ V | (ϕ − λ1idV ) s0 (α) = 0} V ϕ− bWD IU0 λ0 kzpn. $ ϕ UZ λi , B[ 7.6.1 Mg V (λ1, e11) ^\G=/,5"3 U /a[ V (λ1, e1j),(1 ≤ j ≤ l1) ^\G=/,5"3U/a P=Æ ξe11 , ξe11+ξe12 , · · · , ξe11 + ξe12 + · · · + ξe1,l1 , S l1 //aZ R(λ1) Y5.m I λ1 ,5"3 U/aHA r(λ1Eej − Jλj ,ej ) = ei − 1; 1 ≤ j ≤ l1 ei ; l1 dimVλ1 = l1. S: ξe11 , ξe11+ξe12 , · · · , ξe11 + ξe12 + · · · + ξe1,l1 1 dimVλ1 =/< S:!mW ϕ Jordan a3^IUZ λi Jordan X / I λi 6` *OO Jordan-Chevalley +N
(2)讨介9(),h(入)∈C[,标得v=g(y),0=h(y) 证哪设的以根下项表为 m(入)=(A-A1)°2(X-A2)°2…(A-A)2, 进有 V=R(A1)由R(A2)由…⊕R(A), 其中R(A1)=Ker(y-Aidv),(i=1,2,…,t) 由角(A-A1)°2,(A-A2)°2,…,(λ-A)重重互素任根这中国剩余我理任讨介下项表9(从)性 入),(i=1,2,…,t),标得对,几的i(1≤i≤t), g()-A=q1(A(A-A)2 因h(A)=A-9(A).令v=9(9),0=h(y),进显然有 y=+6,v6=6v 对角,几的a;∈R(A),易a;∈Ker(p-Aidv)s,有 (g(o)-Aiidv(ai=gi(o)(s-Aiidv ai)=0, 故g(y)(a)=Aaa,(i=1,2,…,t).这换g(y)可对于循 对角,几的a∈R(A),记为g(y)(a1)=Aa,所以 8(ai=(p-g)(ai=(- Aiid)(ai=0. 取s=max{s1,s2,……,st},进有6°=0.记它6不间自的线和变样 下解可空等一和.设另有定足当件的限解φ=v1+61.记为v,v1性6,51无不9的下项表任所以显 然性ψ可又样任61性6可又样.由角vn=v1v,故v性v可道时对于循任易v-v可对于循.另 显解任由角661=610性601的间自和可得所61-6基不间自的线和变样.事变;伍6°=0,0=0, 进(61-6)+=0.这换-1=61-6引不可对于循任又不间自的任理能为自.故v=v,01=6.口 我理76.3用矩阵的语环值成任就不若设A不C;n与显阵.进A可限解为A=B+C,其中C 不间自阵任B千似角对于阵任B性C无不A的下项表任子CB=BC,并子这立限解不等一的 下解在? ordan使量关应用的意向中子 例1求可若C;n与显阵A必可限解为重向对数阵的乘一任其中一向不可义阵 证哪设A的 Jodan使量关为 J(A1, e1) J(A2,e2) J(Ak, ek) 易讨介可义阵P,标得A=PJP-1
(2) O g(λ), h(λ) ∈ C[λ], ψ = g(ϕ), δ = h(ϕ). ys ϕ >0&. mϕ(λ) = (λ − λ1) s1 (λ − λ2) s2 · · ·(λ − λt) st , PG V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λt), x^ R(λi) = Ker(ϕ − λi idV ) si , (i = 1, 2, · · · , t). FI (λ − λ1) s1 ,(λ − λ2) s2 , · · · ,(λ − λt) st ``70S^4J
对于每个若当小块J(A,e1),有 1 Ai 1 1 令 则J(A,e)=S(A,ei)N(e1),且S(A;,ei)和N(e)均为对称阵.令 S(A1,e1) N(e1) N(ek) 则 A=PJP-= PSNP-=(PSP )(P-)NP- 显然PSPT是对称阵,(P-1)NP-1为可逆的对称矩阵,证毕 例2设n阶矩阵A满足A2=0,r(4)=r>0,求A的初等因子组 解设λ是A的特征值,因为A2=0,所以2=0.故A的特征值全为零.所以A相似于 J(0.,e1) J(0,e2) 由A2=0可得2=0.进一步J(0,∈)2=0(=1,2,…,k)所以∈或等于1或2.又r(4)=r,所 以有r个/(0,2),其余n-2r个J(0,1)=0.故A的初等因子组为A……,X(n-2r个),12,……,A2(r个) 习题 1.设有理数域上fA4(A)的所有不可约因子是A2++1,12-2.而degm4(X)=4.求证:在复数 域上A必相似于对角阵 2.设A是非零n阶方阵满足A2=A,r(4)=r,求A的 Jordan标准形 3.设A是复数域上n阶方阵满足A2=E,求A的 ordan标准形 4.设复数域上n阶方阵A只有一个特征值1,且只有一个线性无关的特征向量,求A的 Jordan标 准形
$Ik/0X J(λi , ei), G J(λi , ei) = λi 1 λi . . . . . . . . . . . . 1 λi = λi λi 1 · · · · · · λi 1 λi 1 1 1 · · · 1 1 , e S(λi , ei) = λi λi 1 · · · · · · λi 1 λi 1 , N(ei) = 1 1 · · · 1 1 , P J(λi , ei) = S(λi , ei)N(ei), z S(λi , ei) 5 N(ei) T $Te S = S(λ1, e1) S(λ2, e2) . . . S(λk, ek) , N = N(e1) N(e2) . . . N(ek) , P A = P JP −1 = P SNP −1 = (P SP T )(P −1 ) T NP −1 , ) P SP T $T (P −1 ) T NP −1 Vw $RTV r 2 n KRT A hd A2 = 0, r(A) = r > 0, | A Abe o λ A UZA A2 = 0, > λ 2 = 0. 2 A UZ~ > A -I J = J(0, e1) J(0, e2) . . . J(0, ek) . F A2 = 0 V J 2 = 0. P=Æ J(0, ei) 2 = 0(i = 1, 2, · · · , k). > ei ; I 1 ; 2. H r(A) = r, >G r / J(0, 2), xJ n−2r / J(0, 1) = 0. 2 A Abe λ, · · · , λ(n−2r/), λ2 , · · · , λ2 (r/). ut 1. G[M fA(λ) G VNAb λ 2 + λ + 1, λ2 − 2. ' degmA(λ) = 4. |VO, M A -I$IT 2. A * n K)Thd A2 = A, r(A) = r, | A Jordan a3 3. A ,M n K)Thd A2 = E, | A Jordan a3 4. ,M n K)T A \G=/UZ 1, z\G=/,5"3 U/a| A Jordan a3 5
5.设线数域上n阶不可逆显阵A不是幂零阵.求证:A相似于下面矩阵 0 C 其中B为幂 6.设A是线数域上n阶显阵.证明r(4)=r的似分时要条由是A的形如的素等因子证有n-r 个 复习题 1.设F,K是两个数域且FsK.若A,B是两个数域F上的n阶显阵.求证:A,B在F上相似 的似分时要条由是A,B在K上相似 2.设A是数域F上的n阶显阵,A的行子式因子是1,……,1,(m-1个1),f(入),其中 求证:若A的特征下项式等于A的以小下项式 3.设A是数域F上的n阶显阵.求证:若A的特征下项式等于A的以小下项式,则A的 Frobenius 标准形是一个 Frobenius块 4.设φ,v是数域F上的n维线性空间V上的线性变换,且φ在V的一个基下的矩阵是一个 Frobenius块.求证:=如的似分时要条由是v是φ的例个下项式h(y),其中degh(入)<n 5.求证 F(入-2)2(2+2) F(A-2)2(2+2)2) 相似于 F(-2)2) 0 F(-2)2)0 0 F(2+2) 0F(x2+2)2) 6.f4(A)=(-2)2(+5)4,mA()=(X-2)A+5)2,写所A的 Jordan标准形 7.A,B是C上3阶显阵,求证A相似于B的似分时要条由是mA(从)=mB(A)且fA4(X)=fB(A) 当A,B为4阶矩阵时,情况如何? 8.设φ是线数域上n维空间v的线性变换,A是y在例个基下的矩阵.求证:V的每个根子空间 都是循环子空间的似分时要条由是A的第n个行子式因子Dn(入)和第n个不变因子gn(入)相等 9.设φ是C上n维线性空间V的线性变换,A1,A2,……,A是φ的全部不同特征值,且 V=R(A1)由R(A2)由…⊕R(Mt), 其中R(A)是λ的根子空间(i=1,2,……,1).设W是V的φ-子空间,则 W=W1⊕W2⊕…⊕Wt,W1=W∩R(Az)
5. ,M n K Vw)T A n T|V A -I&oRT B 0 0 C , x^ B n T C VwT 6. A ,M n K)TVp r(A) = r +;F A 3 λ k AbyG n − r / jut 1. F, K `/Mz F ⊆ K. A, B `/M F n K)T|V A, B O F - +;F A, B O K - 2. A M F n K)T A 4b Ab 1, · · · , 1,(n − 1/1), f(λ), x^ f(λ) = λ n + an−1λ n−1 + · · · + a1λ + a0. |V A U&. I A >0&. 3. A M F n K)T|V A U&. I A >0&. P A Frobenius a3 =/ Frobenius X 4. ϕ, ψ M F n ,5WD V ,5 :z ϕ O V =/<& RT =/ Frobenius X|V ϕψ = ψϕ +;F ψ ϕ r/&. h(ϕ), x^ degh(λ) < n. 5. |V F((λ − 2)2 (λ 2 + 2)) 0 0 F((λ − 2)2 (λ 2 + 2)2 ) -I F((λ − 2)2 ) 0 0 0 0 F((λ − 2)2 ) 0 0 0 0 F(λ 2 + 2) 0 0 0 0 F((λ 2 + 2)2 ) . 6. fA(λ) = (λ − 2)2 (λ + 5)4 , mA(λ) = (λ − 2)(λ + 5)2 , 2 A Jordan a3 7. A, B C 3 K)T|V A -I B +;F mA(λ) = mB(λ) z fA(λ) = fB(λ). A, B 4 KRT{Y6 8. ϕ ,M n WD V ,5 : A ϕ Or/<& RT|V V k/0bWD " 89bWD +;F A n /4b Ab Dn(λ) 5 n / Ab gn(λ) - 9. ϕ C n ,5WD V ,5 : λ1, λ2, · · · , λt ϕ ~ UZz V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λt), x^ R(λi) λi 0bWD (i = 1, 2, · · · , t). W V ϕ- bWDP W = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wt, Wi = W ∩ R(λi). 6
10.求J(0,n)2的 Jordan标准形 11.设A0是复数域上n阶方阵A的k重特征值,求证:r(A0E-A))=n-k 12.设复数域上n阶方阵A满足r(4)=r(A2).求证:A相似于下面矩阵 其中C为可逆阵. 13.证明:与J(0,m)可交换的矩阵一定可以表为J(入0,n)的多项式
10. | J(0, n) 2 Jordan a3 11. λ0 ,M n K)T A k `UZ|V r((λ0E − A) k ) = n − k. 12. ,M n K)T A hd r(A) = r(A2 ). |V A -I&oRT 0 0 0 C , x^ C VwT 13. VpK J(λ0, n) VH: RT=!V> J(λ0, n) &. 7