厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第9章 二次型 §9.3 正定性（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第九章次型 §9.3正定性 本节讨论的范围限制在实数域卫上的二次 定义931设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是实二次型 (1)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(a1,a2,……,an)=X1AX>0, 则称A为正定矩阵,称该二次型为正定二次型 (2)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f( AX≥0 且存在X0=(b1,b2,…,bn)≠0,使得XAX0=0,则称A为半正定矩阵称该二次型为半正定二 次型 (3)如果对任意X=(a1,a2…,an)≠0,都有 XTAX 0,同时存在X2=(b1 使得X2AX2<0,则称A为不定矩阵称该二次型为不定型 例1 (1)f(x1,x2…,xn)=2+2n2+…+nm2是正定二次型; (2)f(x1,x2,…,xn)=r+2+…+x2,其中r<n,是半正定二次型 (3)f(x1,x2,…,xn)=-1-n2 x2是负定二次型; (4)f(x1,x2,…,xn)=--n x2,其中r<n,是半负定二次型 (5)f(x1,x2)=a-n2是不定二次 由此可以看出,从二次型的标准形或规范形容易判断二次型的正定性 命题9.3.1可逆线性替换不改变二次型的正定性

0t>3T &S IP ^ 59.77.1.116; Nx gdjpkc.xmu.edu.cn   Æ §9.3  Vq+'2`QN R Æ)8
n 9.3.1  f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX )8
(1) =& F X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, #K f(a1, a2, · · · , an) = X TAX > 0, R A ) nu, 1)8) npm
; (2) =& F X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, #K f(a1, a2, · · · , an) = XTAX ≥ 0; Q X0 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0,  XT 0 AX0 = 0, R A ) knu, 1)8) knp m
; (3) =& F X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, #K f(a1, a2, · · · , an) = X TAX 0, $Q X2 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0,  XT 2 AX2 < 0, R A ) lnu, 1)8) ln
. w 1 (1) f(x1, x2 · · · , xn) = x 2 1 + 2x 2 2 + · · · + nx2 n Y")8 (2) f(x1, x2, · · · , xn) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 r , b r < n, Y")8 (3) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 n 0")8 (4) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 r , b r < n, 0")8 (5) f(x1, x2) = x 2 1 − x 2 2  ")8
JbD`￾)8e9G;+9 E~%)8Y":
{~ 9.3.1 b|3:"F 2)8Y":
1

证明设二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX经过可逆线性替换X=CY化为f(x1,x2,…,xn) XAX=Y(CAC)y.因为C可逆,所以X≠0当且仅当Y≠0.这样,二次型X7AX和二次型 YT(CrAC)Y是同型(正定,或半正定,或负定,或半负定,或不定)的二次型 定理9.31设实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX的正惯性指数为P,负惯性指数为q,秩为r.则 (1)f(x1,x2,……,xn)=XAX正定的充分必要条件是p=n; (2)f(x1,x2,…,rn)=XAX半正定的充分必要条件是p=r0且q>0 推论9.3.1设A是n阶实对称矩阵.则下列命题等价 (1)A是正定阵; (2)A的特征值全大于零; (3)A合同于n阶单位阵E; (4)存在n阶可逆阵C,使得A=CC 证明A正定的充分必要条件是P=n,而P=n指的是A在合同下的规范形是E.A合同于E就是 存在n阶可逆阵C,使得A=CEC=CC.另一方面,考虑A在正交相似下的标准形,A的特征值 全大于零的充分必要条件是p=n 定义9.3.2设A是n阶矩阵,A的k阶子式 allik 1z2 Zk 称为A的一个k阶主子式 A的k阶主子式 a11a12 ak1 ak2 称为A的k阶顺序主子式 定理932n阶实对称阵A是正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式全大于零 证明必要性.对于给定的k(1≤k≤n),记 Ak B BI B 显然k阶顺序主子式Ak是k阶对称阵.对于任意X1≠0∈R,令X Rn,则X≠ 因为A正定,从而 0<xAx=(x,0)(B Xi AkXI

z )8 f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX [>b|3:"F X = CY E) f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX = Y T (C T AC)Y . H) C b|￾D X 6= 0 Y Y 6= 0. V?￾)8 XTAX )8 Y T (C T AC)Y $8 (Y"￾GY"￾G0"￾G0"￾G ") )8
✷ nv 9.3.1 )8 f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX Y9:_) p, 09:_) q, a) r. R (1) f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX Y"- #P p = n; (2) f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX Y"- #P p = r 0 q > 0. y 9.3.1  A  n U&℄W
R/ly!N
(1) A Y"W (2) A X℄Lm (3) A B$L n U,W E; (4) Q n Ub|W C,  A = C T C. z A Y"- #P p = n, ( p = n _ A QB$/;+9 E. A B$L E \ Q n Ub|W C,  A = C T EC = C T C. nB,v￾ap A QYR4/e9￾ A X℄ Lm- #P p = n. ✷ n 9.3.2  A  n U℄W￾ A  k Uf A  i1 i2 · · · ik i1 i2 · · · ik  =         ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik . . . . . . . . . aiki1 aiki2 · · · aikik         ) A B4 k s|. A  k U f A  1 2 · · · k 1 2 · · · k  =         a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k . . . . . . . . . ak1 ak2 · · · akk         ) A  k s}|. nv 9.3.2 n U&W A Y"W- #P n 4= fLm
z :
&L5" k(1 ≤ k ≤ n), L A =  Ak B1 BT 1 B2  . 1 k U= f Ak  k U&W
&L F X1 6= 0 ∈ R k , o X =  X1 0  ∈ R n, R X 6= 0. H) A Y"￾( 0 < XT AX = (XT 1 , 0)  Ak B1 BT 1 B2   X1 0  = XT 1 AkX1. 2

由X1的任意性,知Ak为正定阵,所以存在k阶可逆阵C,使得Ak=CC,故 detAk=(detC)2>0 充分性.对n做数学归纳法 当n=1时,结论显然成立 设结论对于n-1成立.考虑n阶对称阵A. 其中An-1是A的第n-1个顺序主子式,a∈Rn-1.因为A的顺序主子式大于零,所以An-1的所 有顺序主子式也大于零.由归纳假设,An-1是正定阵.所以A-1合同于En-1,进而存在n-1阶可逆 阵C1,使C1 C10 则 ()(=an)(6)=(am) 再令 1 E En-10/ En-1 Ci E Cr C1 ann En- 0 因为detA>0,所以an-aC1C1a>0.故A是正定阵 例2求a的取值范围,使 f(x1,x2,x3,x4)=ar2+an2+ax3+x2+2x1x2+x1x3-2x23 为正定二次型 解由该二次型的矩阵是 0 1a0 要使A为正定阵,A的顺序主子式均需大于零.考虑detA1=a>0,detA2=a2-1>0,detA 3-3a-2>0,detA=a3-3a-2>0.解得a>2 所以当a>2时,该二次型是正定二次型 注意此结论不可推广到半正定的情况.即对于实对称阵A,若所有顺序主子式≥0,则A未必是半正 定,例如A 00

J X1  F:￾[ Ak )Y"W￾DQ k Ub|W C,  Ak = C T C, 7 detAk = (detC) 2 > 0. -:
& n j> 0, D ann − α T C1C T 1 α > 0. 7 A Y"W
✷ w 2  a ℄+'￾ f(x1, x2, x3, x4) = ax2 1 + ax2 2 + ax2 3 + x 2 4 + 2x1x2 + x1x3 − 2x2x3 )Y")8
t J1)8℄W A   a 1 1 2 0 1 a −1 0 1 2 −1 a 0 0 0 0 1   .  A )Y"W￾ A = f_;Lm
ap detA1 = a > 0, detA2 = a 2 − 1 > 0, detA3 = a 3 − 3a − 2 > 0, detA = a 3 − 3a − 2 > 0. X a > 2. D a > 2 ￾1)8Y")8
dFWq b%:Y"d
J&L&W A, K= f ≥ 0, R A + Y "
g A =  0 0 0 −1  . 3

例3称A次R上n阶对称结.进明:当a充分大成,aE+A正定 证纳对记充对称结A,存在正交结Q,使得 A 其可A1,A2,…,An次A的特解矩.令a=maxl1+1,该半(aE+A)=aE+A,且 e+a=@- diag(a Al, a+A2, .. a+ An)Q, 因二a+A1>0(i=1,2,……,n),到以aE+A次正定结 例4称充二次型f(x1,x2,x3)=X7AX经过正交定换X=QY后化二标准形f=2+2,且Q 的第不列二(￥,02) (1)求A (2)进明A+E次正定结 解(1)因二 100 到以A的特解矩二A1=2=1,A3=0.Q的第不列二(,0,2),到以A的存记k的特解矩二 3=(2,0,2).因二充对称结的存记不同特解矩的特解向量次正交的,解线广方程立 v2 得到 1,0,1)2, 得们次正交的,且次存记特解矩A1=A2=1的特解向量.即 A(a1,a2,a3)=(a1a2,O) 得到 (a1,a2,0)(a1,a2,a3) (2)A+E次对称结且特解矩次2,2,1,全大记零,到以A+E次正定结 习题 1.判断下面二次型次否二正定二次型 (1)f(x1,x2)=a2+n2-x1x2; (2)f(x1,n2)=+n-21x2 2.当a取何矩成,下面二次型次正定二次 3x2+4n2+x3-2ax1x2+2x1x3+6x2x3

w 3  A  R Æ n U&W
Zw a -￾ aE + A Y"
z &L&W A, QYRW Q,  A = Q −1diag(λ1, λ2, · · · , λn)Q, b λ1,λ2,· · ·, λn  A X℄
o a = maxi |λi | + 1, 1 (aE + A) T = aE + A, aE + A = Q −1diag(a + λ1, a + λ2, · · · , a + λn)Q, H) a + λi > 0(i = 1, 2, · · · , n), D aE + A Y"W
w 4 )8 f(x1, x2, x3) = XT AX [>YR"F X = QY CE)e9 f = y 2 1 + y 2 2 , Q ! l) ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . (1)  A; (2) Zw A + E Y"W
t (1) H) Q −1AQ =   1 0 0 0 1 0 0 0 0   , D A X℄) λ1 = λ2 = 1, λ3 = 0. Q ! l) ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T , D A L λ3 X℄) α3 = ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . H)&WL $X℄X6jYR￾X3:,h √ 2 2 x1 + √ 2 2 x3 = 0  α1 = (0, 1, 0)T , α2 = (−1, 0, 1)T , uYR￾LX℄ λ1 = λ2 = 1 X6j
J A(α1, α2, α3) = (α1, α2, 0),  A = (α1, α2, 0)(α1, α2, α3) −1 =   1 2 0 − 1 2 0 1 0 −1 2 0 1 2   . (2) A + E &WX℄ 2, 2, 1, Lm￾D A + E Y"W
￾~ 1. ~%/v)8.)Y")8
(1) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − x1x2; (2) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − 2x1x2; (3) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − 3x1x2. 2.  a A℄￾/v)8Y")8
3x 2 1 + 4x 2 2 + x 2 3 − 2ax1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 4

3.问当a1,a2,…,an满足什么条件时,二次型 ∫(x1 ,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2 是正定矩阵 4.(1)设A,B为m阶正定阵,则A+B是正定阵,ABA也是正定阵; (2)设A为正定阵,c>0.则cA为正定阵 (3)A正定,则A-1,A*正定 5.A正定,则A中绝对值最大元必在主对角线上 6.设A是n阶正定阵,求证det(A+E)>0 复习题 1.取定欧氏空间的一个基a1,a2,…,an,对a=∑1a,B=∑1y1,有 A=(a4103);称为基a1,a2,…,an的度量矩阵 (1)在取定n维欧氏空间V的一个基的前提下,内积与度量矩阵互相唯一确定 (2)度量矩阵是实对称正定阵 (3)n维欧氏空间V的不同基下的度量矩阵是合同的; (4)当基a1,a2,……,an是正交基时,度量矩阵是对角阵;当基a1,a2,…,an是标准正交基时,度 量矩阵是单位阵E 2.证明:实二次型 f(x1,x2,…,xn)=∑(b1x1+b2x2+…+ binIn)2 i=1 的秩等于下面矩阵B的秩 B 3.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是或者二次型的秩等于1 或者二次型的秩等于2且符号差为0. 4.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-ax2+(1-a)-2+2n3+2(1+a)x1x2的秩为2 (2)求正交替换X=QY,把f(x1,x2,r3)化成标准形 (3)求方程f(x1,x2,3)=0的解

3. - a1, a2, · · · , an rgs#P￾)8 f(x1, x2, · · · , xn) = (x1 + a1x2) 2 + (x2 + a2x3) 2 + · · · + (xn−1 + an−1xn) 2 + (xn + anx1) 2 Y"℄W
4. (1)  A, B ) n UY"W￾R A + B Y"W￾ ABA AY"W (2)  A )Y"W￾ c > 0, R cA )Y"W (3) A Y"￾R A−1 , A∗ Y"
5. A Y"￾R A b^&℄iO Q &S3Æ
6.  A  n UY"W￾Z det(A + E) > 0. q￾~ 1. "} OB4H α1, α2, · · · , αn, & α = Pn i=1 xiαi , β = Pn i=1 yiαi , K (α, β) = ￾ x1, x2, · · · , xn
A   y1 y2 · · · yn   , A = ((αi , αj ))i,j )H α1, α2, · · · , αn  oxu. (1) Q" n *} O V B4H
/￾{IM$j℄WD4(B" (2) $j℄W&Y"W (3) n *} O V  $H/$j℄WB$ (4) H α1, α2, · · · , αn YRH￾$j℄W&SWH α1, α2, · · · , αn eYRH￾$ j℄W,W E. 2. Zw)8 f(x1, x2, · · · , xn) = X k i=1 (bi1x1 + bi2x2 + · · · + binxn) 2 aL/v℄W B a B =   b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · bk1 bk2 · · · bkn   . 3. B4)8b-X)i4.B￾'5\I- #PGU)8aL 1, GU)8aL 2 /?Æ) 0. 4. C[)8 f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 a) 2. (1)  a ℄ (2) YR"F X = QY ,  f(x1, x2, x3) Ee9 (3) , f(x1, x2, x3) = 0 X
5

5.设二次型f(x1,x2,x3)=a2+2n2-2n3+2bx1x3,其中二次型的矩阵A的特征值之和为1 特征值之积为-12 (1)求a,b的值 (2)利用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,写出所用的正交变换的正交矩阵 6.所有C上n阶对称阵按照合同关系分类,共有几类?所有R上n阶对称阵按照合同关系分类,共 有几类? 7.设实二次型 f(r1, I2 其中v=an1x1+a2x2+…+ ainn(i=1,2,…,k+s).求证:二次型f(x1,x2,……,xn)的正惯性 指数P≤k,负惯性指数q≤s. 8.设A是n阶正定阵,在中,定义 (X,Y)=XA 证明(-,-)是一个内 9.实对称阵A是正定的充分必要条件是A的所有主子式大于零 10.设A是R上n阶对称阵,则下列条件等价: (1)A正定 (4)存在单位上三角阵B,使A=BDB,其中D是正定对角阵 (5)存在正对角元的上三角阵C,使得A=CC 11.设A∈Rm×,求证对于任意的t>0∈R,tE+A1A是正定矩阵 12.设对称阵A=(a1)∈Rxn是正定的,证明存在正定阵B,使得A=B2 13.设A是一个实可逆阵.证明:存在一个正定阵S和正交阵Q,使得A=QS 14.设 1 ai a? a- 其中s≤n且a≠a(i≠j;j=1,2,…,s)若B=AA是正定阵,求s的值 B 是实对称阵,其中a11<0,B是n-1阶正定阵.求证: (1)B-a11aa是正定矩阵 (2)A的符号差为n-2

5. )8 f(x1, x2, x3) = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3, b)8℄W A X℄\) 1, X℄\I) −12. (1)  a, b ℄ (2) fIYRFQ)8 f(x1, x2, x3) E)e8￾7IYRFYR℄W
6. K C Æ n U&WTB$8.-e￾6KKeK R Æ n U&WTB$8.-e￾6 KKe 7. )8 f(x1, x2, · · · , xn) = y 2 1 + · · · + y 2 k − y 2 k+1 − · · · − y 2 k+s , b yi = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn(i = 1, 2, · · · , k + s). Z)8 f(x1, x2, · · · , xn) Y9: _ p ≤ k, 09:_ q ≤ s. 8.  A  n UY"W￾Q R n b￾"G (X, Y ) = XT AY, Zw (−, −) B4{I￾("GkB4} O
9. &W A Y"- #P A K fLm
10.  A  R Æ n U&W￾R/l#PN (1) A Y" (4) Q,Æ SW B,  A = BT DB, b D Y"&SW (5) QY&SOÆ SW C,  A = C T C. 11.  A ∈ R m×n. Z&L F t > 0 ∈ R, tE + AT A Y"℄W
12. &W A = (aij ) ∈ R n×n Y"￾ZwQY"W B,  A = B2 . 13.  A B4b|W
ZwQB4Y"W S YRW Q,  A = QS. 14.  A =   1 1 · · · 1 a1 a2 · · · as a 2 1 a 2 2 · · · a 2 s · · · · · · · · · · · · a n−1 1 a n−1 2 · · · a n−1 s   , b s ≤ n ai 6= aj(i 6= j;i, j = 1, 2, · · · , s).  B = AT A Y"W￾ s ℄
15.  A =  a11 α T α B  &W￾b a11 < 0, B  n − 1 UY"W
Z (1) B − a −1 11 ααT Y"℄W (2) A /?Æ) n − 2. 6

16.性A=(a)是R型n阶正定阵.阵证:二次型 a11a12 aIn 1 a21a22 g(r 是负定二次型 17.性A是R型n阶对称阵则下列叙述是等价的 (1)A为半定阵 (2)对次意t>0∈R,tE+A正定,且detA=0 (3)存在秩为r的n阶实矩阵B,r<n,使A=BTB (4)A的所有主子式大于或等于零,且detA=0

16.  A = (aij )  R Æ n UY"W
Z)8 g(x1, x2, · · · , xn) =            a11 a12 · · · a1n x1 a21 a22 · · · a2n x2 . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann xn x1 x2 · · · xn 0            0")8
17.  A  R Æ n U&W
R/l 0 ∈ R, tE + A Y"￾ detA = 0; (3) Qa) r  n U℄W B, r < n,  A = BT B; (4) A K fLGLm￾ detA = 0. 7