第二章 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 导数与微分 极值问题中提出. 微积分学的创始人： 英国数学家Newton 德国数学家Leibniz 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数）
微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton
第一节 第二章 导数的撬念 一、 引例 二、 导数的定义 三、 导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 返回 结束
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章
2.1导数的概念 2.1.1导数的概念 1.求曲线上一点处切线的斜率 在初等数学中我们已经 =f(x) 知道，曲线=fx)上的两点 %+△y M Moco,J'o)和Mc,y)的连线 M MoM是该曲线的一条割线。 当点M沿曲线无限趋近于点 x0x0十△xx M时，割线绕点M转动，其 图2.2 极限位置MT就是曲线在点 M处的切线，如图2.2所示
1. 求曲线上一点处切线的斜率 在初等数学中我们已经 知道，曲线y=f (x)上的两点 M0(x0，y0)和M(x，y)的连线 M0 M是该曲线的一条割线。 当点M沿曲线无限趋近于点 M0时，割线绕点M0转动，其 极限位置M0T就是曲线在点 M0处的切线，如图2.2所示。 图2.2 o y x y=f (x) M M0 T y0＋ △y y0 x0 x0＋ △ x △y 2.1导数的概念 2.1.1 导数的概念
我们分三步来解决。 (1)求增量 给x一个增量△x,自变量由x变到x十△x,曲线上点的纵 坐标有相应的增量△y=fK十△x)一fx0, (2)求增量比，即求割线MM的斜率 曲线上的点由MoKo,yo)变到Moc十△x,Jy0+△y),当△t很 小时可用割线M。M的斜率近似代替切线MT的斜率。割线的斜率即 为增量比 △y_f(x,+△x)-f(x) △X △X 3)求极限 当△x→O时，点M沿曲线无限趋近于点M,割线MM的极限 为切线M,T,因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即 tan a im△y=lim f(xo +Ax)-f(xo) △xr-→0△X △10 △x π 其中a(a≠)是切线M,T与x轴正向的夹角
曲线上的点由M0(x0，y0)变到M0(x0＋ △ x，y0＋ △y),当△ t很 小时可用割线M0 M的斜率近似代替切线M0T的斜率。割线的斜率即 为增量比 (3) 求极限 x f x x f x x y ( ) ( ) 0 0 当 时，点M沿曲线无限趋近于点M0，割线M0 M的极限 为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即 x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) tan lim lim x t y f x x f x x x 我们分三步来解决。 (1) 求增量 给x0一个增量△ x，自变量由x0变到x0 ＋ △ x，曲线上点的纵 坐标有相应的增量△ y= f (x0＋ △ x) － f (x0) . (2) 求增量比，即求割线M0 M的斜率 其中 ( 2 ) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2求变速直线运动的瞬时速度 用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建 立数轴一s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作s=f(), t∈0，T,现求时刻的瞬时速度yv(to) M Mo M k—△s 图2.1 分三步来解决这一问题。 (1)求增量 给t。一个增量△t,时间t从变到r1=t+△t,质点M从M运 动到M1,路程的增量为 △s=f)一f()=f(+△t)-f() (2)求增量比，即求△t内的平均速度 当△t很小时，可把质点在△间隔内的运动近似看成匀速运动 (以不变代变)，则△t内的平均速度
用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建 立数轴—s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t), t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0). 分三步来解决这一问题。 (1) 求增量 给t0一个增量△ t，时间t0从变到t1 ＝ t0 ＋ △ t ，质点M从M0运 动到M1 ，路程的增量为 △ s= f (t1) － f (t0) = f (t0＋ △ t) － f (t0) (2) 求增量比，即求△ t内的平均速度 当△ t 很小时，可把质点在△ t间隔内的运动近似看成匀速运动 （以不变代变），则△ t内的平均速度 图2.1 O M M0 M1 P △ s s 2 求变速直线运动的瞬时速度
△S f(t。+△t)-f(t) △t △t (3)求极限 当△t越来越小时，平均速度便越来越接近于时刻的瞬时速 度y,于是当△1→0时，平均速度的极限就是瞬时速度y,即 lim v lim lim f(t+△t)-f(to) △t→0 △t→>0 △t △t>0 △t
(3) 求极限 t f t t f t t s v ( ) ( ) 0 0 当△ t 越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速 度v0 ，于是当 t 0时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即 t f t t f t t s v v t t t ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 0
f(to) 瞬时速度v=lim f(t)-f(to) t→t0 t-to =f(x) 切线斜率k=lim f(x)-f(xo) x→X0 x-Xo 两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 线密度是质量增量与长度增量之比的限 变化率问题 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限 机动 返回
s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 瞬时速度 t lim 0 t t v ( ) ( ) 0 f t f t 0 t t 切线斜率 x y o y f (x) C N T 0 x M x lim 0 x x k ( ) ( ) 0 f x f x 0 x x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数的定义 定义1.设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义， 若 lim f(x)-f(xo) lim △y △y=f(x)-f(x) x→x0 x-X0 △x→0△X △X=X-X0 存在，则称函数f(x)在点x处可导， 并称此极限为 y=f(x)在点x,的导数.记作： yni f(o); dy df(x) 。 =xo dx X=XO 即 x=xo =f(xo) Ay lim △x→0△X lim f(x+△x)-f(xo) lim f(xo +h)=f(xo) △x→0 △x h→0 机动 返回 结束
定义1 . 设函数 y f (x) 在点 0 x 0 lim xx 0 0 ( ) ( ) x x f x f x x y x 0 lim ( ) ( ) 0 y f x f x 0 x x x 存在, f (x) 并称此极限为 y f (x) 记作: ; 0 x x y ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y d 0 d ( ) x x x f x 即 0 x x y ( ) 0 f x x y x 0 lim x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 y=f(x) 曲线y=f(x)在点(x。,y,)的切线斜率为 M tana f'(xo) f'(x)≠o时，曲线在点(x,,)处的 (x,%) 切线方程：y-yo='(xo)x-xo) 法线方程：为=7。-） Xo (f'(xo)≠0) 机动 目录 上页 下页返回 结束
x y o y f (x) C T 0 x M 曲线y f (x)在点 ( , ) 0 0 x y 的切线斜率为 tan ( ) 0 f x x y o 0 x ( , ) 0 0 x y 曲线在点(x0 , y0 ) 处的 切线方程: ( )( ) 0 0 0 y y f x x x 法线方程: ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y ( ( ) 0) f x0 x y o 0 x ( ) , f x0 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
左右导数 定义2.设函数y=f(x)在点x,的某个右（左）邻域内 有定义，若极限 lim lim f(xo+△x)-f(xo) △x→0+△x △x→0+ △x (△x→0) (△x→0) 存在，则称此极限值为f(x)在x,处的右（左）导数，记作 f4(x)(f'(x) 即 ()lim f(xo+△x)-f(x) △x0± △X 机动 目录 上页下页返回 结束
在点 0 y f (x) x 的某个右 邻域内 若极限 x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 则称此极限值为f (x) 在 处的右 导数, 0 x 记作 ( ) 0 f x 即 f (x0 ) x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 (左) (左) ( 0 ) x ( 0 ) x ( ( )) 0 f x 0 x 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束