第一章 益数与极限 函数一 研究对象 分析基础〈 极限一研究方法 连续一研究桥梁
第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限
第一章 第一节 联射与岛数 一、 集合 二、映射 三、函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上页 下页返回 结束
第一章 二、映射 三、函数 一、集合 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数
一、 集合 1.定义及表示法 定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成集合的事物称为元素 不含任何元素的集合称为空集，记作⑦. 元素a属于集合M,记作a∈M 元素a不属于集合M,记作a∈M(或a:M). M表示M中排除0的集 注：M为数集 M+表示M中排除0与负数的集 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . a M ( 或 a M ) . a M . 注: M 为数集 * M 表示 M 中排除 0 的集 ; M 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
表示法： (1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 例：有限集合A={a1,a2,…,an}={a,}”l 自然数集N={0,1,2,…,n,…}={n} (2)描述法：M={xx所具有的特征} 例：整数集合Z={xx∈N或-x∈N) 有数與Q-{日 peZ,qeN,p与g互质 实数集合R-{xx为有理数或无理数} 开区间(a,b)={xa<x<b} 闭区间[a,b]={xa≤x≤b} HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 返回 结束
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 ,, an n i i a 1 自然数集 N 0, 1, 2 ,, n, n (2) 描述法：M x x 所具有的特征 例: 整数集合Z x x N 或 x N 有理数集 q p Q Z, N , p q p 与 q 互质 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
半开区间[a,b)={xa≤x<b} (a,b]={xa<x≤b} 无限区间[a,+o)={xa≤x} (-0,b]={xx≤b} (-o,+o)=x xeR}afo a ato 点的δ邻域U(a,δ)={xa-δ<x<a+6} ={x|x-ak6} 去心δ邻域U(a,δ)={x0<x-a<δ} 其中，a称为邻域中心，δ称为邻域半径 左δ邻域：(a-δ，a,右8邻域：(a,a+δ) HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 下页返回 结束
( ) a a U(a, ) x [ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b 无限区间 [ a , ) x a x ( , b ] x x b ( , ) x xR 点的 邻域 a (a, ) x a x a x x a 0 x a 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 半开区间 去心 邻域 左 邻域 : (a , a), 右 邻域 : (a , a ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.集合之间的关系及运算 定义2.设有集合A,B,若x∈A必有x∈B,则称A 是B的子集，或称B包含A,记作ACB 若ACB且BCA,则称A与B相等，记作A=B 例如，NCZ,ZCQ，,QR 显然有下列关系： (I)ACA;A=A;⑦cA (2)ACB且BCCACC HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 下页 返回 结束
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 A A B. 若A B 且 B A , 则称 A 与 B 相等, A B . 例如 , N Z Z Q Q R 显然有下列关系 : (1) A A; A A; (2) A B且 B C A C , , A 设有集合 A,B,若 x A x B, 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义3.给定两个集合A,B,定义下列运算： 并集AUB={xx∈A或x∈B} AUB 交集A∩B={xx∈A且x∈B} A\B 差集A\B={xx∈A且xB} A∩B 余集B=A八B(其中BCA) 直积A×B={(x,y)x∈A,y∈B 特例： RXR记R2 B Ax B 为平面上的全体点集 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
A c BA B 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 A B x x A 交集 A B x x A 且 x B 差集 A \ B x x A且 x B 定义下列运算: A B A B 余集 B A \ B ( B A) c A 其中 直积 A B (x , y) x A, y B 特例: RR 记 2 R 为平面上的全体点集 A A \ B B A B A B 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 x B
二、映射 1.映射的概念 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某教室座位 某班学生的集合 的集合 按一定规则入座 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 下页返回 结束
二、 映射 1. 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1
引例2.Vx∈Ry=x+sInx +y∈R V=x y=x+sInx y=sinx X2 →X 引例3。C={(x,yx2+y2=1}(点集) Y={(0,y)-1≤y≤1}（点集） V点P∈C 向y轴投影 投影点Q∈Y HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上页下页返回 结束
引例2. y x sin x x R y R 引例3. o x y 1 Q P ( , ) 1 2 2 C x y x y Y (0, y) 1 y 1 (点集) (点集) 点 PC 向 y 轴投影 投影点 QY y sin x y x o x y 1x 2 x y x sin x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义4.设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规 则f,使得x∈X,有唯一确定的y∈Y与之对应，则 称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y. X 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x) 元素x称为元素y在映射f下的原像 集合X称为映射f的定义域 Y的子集f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域 注意：1)映射的三要素一定义域，对应规则，值域 2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一 HIGH EDUCATION PRESS 机动 回 结束
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y. 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . X x f y Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束