Algorithms and Datastrucstures:Trees 第五章树及二叉树 5.1树的定义和术语 5.2二叉树 5.3二叉树的遍历 5.4二叉树遍历的迭代器类 5.5中序穿线树(×) 5.6最优二叉树及其应用 5.7树和森林 1 ALDS
1 物料管理 ALDS 1 Algorithms and DataStrucstures:Trees 5.1 树的定义和术语 5.2 二叉树 5.3 二叉树的遍历 5.4 二叉树遍历的迭代器类 5.5 中序穿线树（×） 5.6 最优二叉树及其应用 5.7 树和森林 第五章 树及二叉树
Algorithms and Datastrucstures:Trees 5.1树的定义和术语 树是n(n≥1)个结点的有限集合T,并且满足： (1)有一个被称之为根(root)的结点； (2)其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的集合T1,T2,,Tm, 这些集合本身也是一棵树，并称它们为根结点的子树(Subree)。 每棵子树同样有自己的根结点。 D E M 2 ALDS
2 物料管理 ALDS 2 Algorithms and DataStrucstures:Trees 5.1 树的定义和术语 树是n (n≥1) 个结点的有限集合T，并且满足： (1)有一个被称之为根(root)的结点； (2)其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的集合Tl，T2，…，Tm， 这些集合本身也是一棵树，并称它们为根结点的子树(Subree)。 每棵子树同样有自己的根结点
D A K M 结点 兄弟结点 ·有序树 结点的度 祖先结点 ·无序树 ·叶子结点 ·子孙结点 森林 内部结点 ·结点所处层次 ·儿子结点 ·树的高度 ·父亲结点
•结点 •结点的度 •叶子结点 •内部结点 •儿子结点 •父亲结点 •兄弟结点 •祖先结点 •子孙结点 •结点所处层次 •树的高度 •有序树 •无序树 •森林
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的定义的形式化描述 树的定义还可形式化的描述为二元组的形式： T=(D,R) 其中D为树T中结点的集合，R为树中结点之间关系的集合。 D={Root}UDp 其中，Root为树T的根结点，D为树T的根Root的子树集合。D可由下式表示： Dp=D1UD2U.UDm且D:nD;=Φ(i≠j,1≤i≤m,1≤j≤m) 当树T中结点个数n=1时，R=Φ；当树T中结点个数n>1时有： R={,i=1,2,...m} 其中，Root为树T的根结点，r:是树T的根结点Root的子树T:的根结点。 4 ALDS
4 物料管理 ALDS 4 Algorithms and DataStrucstures:Trees 树的定义的形式化描述 树的定义还可形式化的描述为二元组的形式： T＝（D，R） 其中D为树T中结点的集合，R为树中结点之间关系的集合。 D＝{Root}∪DF 其中，Root为树T的根结点，DF为树T的根Root的子树集合。DF可由下式表示： DF ＝D1∪D2∪…∪Dm且Di∩Dj ＝Φ（i≠j，1≤i≤m，1≤j≤m） 当树T中结点个数n=1时，R＝Φ；当树T中结点个数n > 1时有： R＝{，i＝1，2，…，m} 其中，Root为树T的根结点，ri是树T的根结点Root的子树Ti的根结点
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的数学定义 树：连通无回路的无向图 不是树 有回路 a 不是树 不连通 5 ALDS
5 物料管理 ALDS 5 Algorithms and DataStrucstures:Trees a b 不是树 有回路 a b 不是树 不连通 a b 树的数学定义 树：连通无回路的无向图
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的数学定义 有向树：有向图在不考虑边的方向时是一棵树，该有向图称为有向树。 根树：一颗有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入 度都为1，则称为根树。 R S T W X Z b ALDS
6 物料管理 ALDS 6 Algorithms and DataStrucstures:Trees 树的数学定义 有向树：有向图在不考虑边的方向时是一棵树，该有向图称为有向树。 根树：一颗有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入 度都为1，则称为根树。 R S T U V Y W X Z
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的ADT 数据及关系： 具有相同数据类型的数据元素或结点的有限集合。树T的二元组形式为： T=(D,R) 其中D为树T中结点的集合，R为树中结点之间关系的集合。 D={Root}UDp 其中，Root为树T的根结点，D为树T的根Root的子树集合。 R={,i=1,2,...m} 其中，r是树T的根结点Root的子树T,的根结点。 7 ALDS
7 物料管理 ALDS 7 Algorithms and DataStrucstures:Trees 树的ADT 数据及关系: 具有相同数据类型的数据元素或结点的有限集合。树T的二元组形式为： T＝（D，R） 其中D为树T中结点的集合，R为树中结点之间关系的集合。 D＝{Root}∪DF 其中，Root为树T的根结点，DF为树T的根Root的子树集合。 R＝{，i＝1，2，…，m} 其中，ri是树T的根结点Root的子树Ti的根结点
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的ADT 操作： Constructor: 前提：已知根结点的数据元素之值。 结果：创建一棵树。 Getroot: 前提：已知一棵树。， 结果：得到树的根结点。 FirstChild: 前提：已知树中的某一指定结点p。 结果：得到结点p的第一个儿子结点。 NextChild: 前提：已知树中的某一指定结点p和它的一个儿子结点u。 结果：得到结点p的儿子结点u的下一个兄弟结点V。 8 ALDS
8 物料管理 ALDS 8 Algorithms and DataStrucstures:Trees 树的ADT 操作: Constructor： 前提：已知根结点的数据元素之值。 结果：创建一棵树。 Getroot: 前提：已知一棵树。. 结果：得到树的根结点。 FirstChild： 前提：已知树中的某一指定结点 p。 结果：得到结点 p 的第一个儿子结点。 NextChild： 前提：已知树中的某一指定结点 p 和它的一个儿子结点 u。 结果：得到结点 p 的儿子结点 u 的下一个兄弟结点 v
Algorithms and Datastrucstures:Trees 树的ADT 操作： Retrieve: 前提：已知某一关键字key。 结果：检索具有关键字key的结点v。 InsertChild: 前提：已知某结点p及新结点的数据值value.。 结果：根据value值创建一个新结点q, 并将其插入作为结点p的儿子结点。 DeleteChild: 前提： 己知某结点p及它的儿子结点的序号k。 结果：删除结点p的第k个儿子结点。 IsEmpty: 结果：若树仍未创建，返回True,否则返回False。 9 ALDS
9 物料管理 ALDS 9 Algorithms and DataStrucstures:Trees 树的ADT 操作: Retrieve: 前提：已知某一关键字 key。 结果：检索具有关键字 key 的结点 v。 InsertChild: 前提：已知某结点 p 及新结点的数据值 value。 结果：根据 value 值创建一个新结点 q, 并将其插入作为结点 p 的儿子结点。 DeleteChild: 前提：已知某结点 p 及它的儿子结点的序号 k。 结果：删除结点 p 的第 k 个儿子结点。 IsEmpty: 结果：若树仍未创建，返回 True，否则返回 False
Algorithms and Datastrucstures:Trees 5.2二叉树 二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉树的 许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树相互转换，这样就解决 了树的存储结构及其运算中存在的复杂性。 5.2.1二叉树的定义 定义：二叉树(Binary Tree)是结点的有限集合，它或者为空，或者 由一个根结点及两棵互不相交的左、右子树构成，而其左、右子树又都 是二叉树。 这也是一个递归定义。二叉树可以为空，根的左、右子树都可以为 空。必须注意的是，二叉树不是树的特殊情况，它们是两种不同的数据 结构。若将二叉树的左、右子树颠倒，就成为另一棵不同的二叉树。 即使二叉树中的根结点只有一棵子树，也要说明该子树是左子树，还是 右子树。这是二叉树与树的最主要的差别。 10 ALDS
10 物料管理 ALDS 10 Algorithms and DataStrucstures:Trees 5.2 二叉树 二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉树的 许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树 相互转换，这样就解决 了树的存储结构及其运算中存在的复杂性。 5.2.1 二叉树的定义 定义：二叉树（Binary Tree）是结点的有限集合，它或者为空，或者 由一个根结点及两棵互不相交的左、右子树构成，而其左、右子树又都 是二叉树。 这也是一个递归定义。二叉树可以为空，根的左、右子树都可以为 空。必须注意的是，二叉树不是树的特殊情况，它们是两种不同的数据 结构。 若将二叉树的左、右子树颠倒，就成为另一棵不同的二叉树。 即使二叉树中的根结点只有一棵子树，也要说明该子树是左子树，还是 右子树。这是二叉树与树的最主要的差别