三、典型例题解析. 例1已知两点M,(4,√反，1)和M,3,02),试求向量M,M在x轴上的投影、在y轴上的 分向量、MM,的模、方向余弦及方向角， 解由于 M4M=(6-4.0-5,2-=(-1-V2,) 则它在x轴上的投影为-1，在y轴上的分向量为-√， 1M,M1=V-+2+F=2, 器t6n-(日9 故方向余弦为 oma 方向角为 例2从点42，-17)沿向量a=(8,9,-12)方向取长为34的线段AB.求点B的坐标 解设B点坐标为(x,以，)，则AB=(x-2,y+L:-7),由于AB与a方向一致，故存在 实数22>0)，使AB=a,即 (x-2,y+1-7)=89,-12), 由此可得 x-2=8元v+1=91.g-7=-12元 又因为 ABVx-2y+0+2+-7=34, 从而有=2，所以 x=81+2=18.v=92-1=17.3=-121+7=-17 求得B点坐标为(18,17，-17) 例3设(a×b)c=2,则[(a+b)×(b+c小(c+a)= 分析本题考查向量的运算，需用数量积和向量积对加法的分配律，注意运用混合积的 性质即可求解。 解原式=(a×b+a×c+bxb+bxc)(c+a 三、典型例题解析． 例 1 已知两点 1 M (4, 2,1) 和 2 M (3,0,2) ，试求向量 MM1 2 在 x 轴上的投影、在 y 轴上的 分向量、 MM1 2 的模、方向余弦及方向角． 解 由于 MM1 2 = − − − = − − (3 4,0 2,2 1) ( 1, 2,1) ， 则它在 x 轴上的投影为 −1 ，在 y 轴上的分向量为− 2 j ， 1 2 | | M M 2 2 2 = − + − + = ( 1) ( 2) 1 2 ， 又 1 2 1 2 | | M M M M 1 1 2 1 ( 1, 2,1) ( , , ) 2 2 2 2 = − − = − − ， 故方向余弦为 1 cos 2  = − ， 2 cos 2  = − ， 1 cos 2  = ， 方向角为 2 3   = ， 3 4   = ， 3   = ． 例 2 从点 A(2, 1,7) − 沿向量 a = − (8,9, 12) 方向取长为 34 的线段 AB ．求点 B 的坐标. 解 设 B 点坐标为 ( , , ) x y z ，则 AB x y z = − + − ( 2, 1, 7) ，由于 AB 与 a 方向一致，故存在 实数  ( 0)  ，使 AB = a ，即 ( 2, 1, 7) (8,9, 12) x y z − + − = −  ， 由此可得 x y z − = + = − = − 2 8 , 1 9 , 7 12    ， 又因为 2 2 2 | | ( 2) ( 1) ( 7) 34 AB x y z = − + + + − = ， 从而有  = 2 ，所以 x y z = + = = − = = − + = − 8 2 18, 9 1 17, 12 7 17    ， 求得 B 点坐标为 (18,17, 17) − ． 例 3 设 ( ) 2 a b c   = ，则 [( ) ( )] ( ) a b b c c a +  +  + = ． 分析 本题考查向量的运算，需用数量积和向量积对加法的分配律，注意运用混合积的 性质即可求解． 解 原式= ( ) ( ) a b a c b b b c c a  +  +  +   +