=(axb)-c+(axb)-a+(axc)-c+(axc)-a+(bxc)-c+(bxe)-a =(a×b)c+0+0+0+0+(b×c)a =2(a×b)-c=2×2=4 例4设04=21+j,0B=-1+2k,令m=0A-0B (1)求与向量m方向一致的单位向量：及m的方向余弦： (2)证明以OA、OB为边所成的平行四边形的对角线互相垂直： (3)求上述平行四边形的面积。 解(1)由于 m=0A-0B=3i+j-2k,m++(-2y=4 。品=后布后 31 2 (2)设所成的平行四边形的对角线一条为m,另一条为n=O+OB=1+j+2k,由 于mn=3×1+1x1+(-2)×2=0,故m1n.所以两对角线垂直。 (3)由于 ii k 01x0B=210=2i-4j+k -102 故平行四边形的面积为 S=0iAx0=2i-4j+=2. 例5设c=2a+b,d=2a-b,a2,1b1,(a,)=T.试求 (1)cos(c,d): (2)Prje. 解(1)由于 cd=(2a+b)-(2a-b)=4|aP-bf=4×4-1=15 且 1cP=(2a+b)-(2a+b)=4|aP+|bP+4a-b=4|aP+1bP+4|al-b1cos(a.b)=17. 故c上√7.同理= ( ) a b c   + ( ) a b a   + ( ) a c c   + ( ) a c a   + ( ) b c c   + ( ) b c a   = ( ) a b c   +0+0+0+0+ ( ) b c a   = 2( ) 2 2 4 a b c   =  = ． 例 4 设 OA = + 2i j ， OB = − +i k2 ，令 m = − OA OB . （1）求与向量 m 方向一致的单位向量 m e 及 m 的方向余弦； （2）证明以 OA、OB 为边所成的平行四边形的对角线互相垂直； （3）求上述平行四边形的面积． 解 （1）由于 m = − OA OB = + − 3 2 i j k ， 2 2 2 | | 3 1 ( 2) 14 m = + + − = ， 且 | | m = m e m 3 1 2 ( , , ) 14 14 14 = − , 故 3 cos 14  = ， 1 cos 14  = ， 2 cos 14  − = ． （2）设所成的平行四边形的对角线一条为 m ，另一条为 n = + OA OB = + + i j k2 ，由 于 m n =  +  + −  = 3 1 1 1 ( 2) 2 0 ,故 m n ⊥ ．所以两对角线垂直． （3）由于 OA OB  2 1 0 1 0 2 = − i j k = − + 2 4 i j k ， 故平行四边形的面积为 S =  OA OB = − + = 2 4 21 i j k ． 例 5 设 c a b = + 2 ， d a b = − 2 ，| | 2 a = ，| | 1 b = ， , 2  （a b）= ．试求： （1） cos , （c d） ； （2） Pr jd c ． 解 （1）由于 c d = +  − (2 ) (2 ) a b a b 2 2 = − 4| | | | a b =  − 4 4 1 = 15 , 且 2 | | (2 ) (2 ) c a b a b = +  + = 2 2 4| | | | 4 a b a b + +  2 2 = + +  4 | | | | 4 | | cos , a b a | b | a b （ ）=17 ． 故 | | 17 c = ．同理