线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈V, 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+Y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.0a=0:(-1)a=-a;λ0=0 证：a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a;所以0a=0. a+(-1)a=1a+(-1)a=[1+(-1)]a=0a=0,所以(-1)a=-a. λ0=[a+(-1)a=λa+(-X)a=[A+(-λ)]a=0a=0 4.如果入a=0,则入=0或a=0. 证：若入≠0，在λa=0两边同乘得(Aa)=0=0, 而(a)=(侵入)a=la=a. 所以a=0. 张南同济大学 4/21线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21