线性空间与线性变换 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 可济大学数学系 190> 张鞘同济大学 1121
. . 线性空间与线性变换 张 莉 Email: lizhang@tongji.edu.cn 同济大学 数学系 ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 1 / 21
$6.1线性空间的概念 1.定义1：设V是一个非空集合，R为实数域，如果以下三个条件被满足， 则称非空集合V为实数域R上的一个线性空间 (1).(对加法运算是封闭的)：在V中存在加法运算，即对任意a,B∈V, 有a+B∈V. (2).(对数乘运算是封闭的)：在V中存在数量乘法，即对任 意a∈V,k∈R,有ka∈V. 3.V中的法和敌乘满足以下运算规律（设，.∈片入，让ER) 00+8=3+0 0(a+8)+=0+(8+ ⊙在中存在是元素0.对任何0E八都有d十0= 。对任何0E心都有的负元素B三使0+B=0 010= 0入0=入0 0(入-4a=a+a 8入0十6一A0+入3 张鞘同济大学 2/21
§6.1 线性空间的概念 1. 定义 1: 设 V 是一个非空集合, R 为实数域, 如果以下三个条件被满足, 则称非空集合 V 为实数域 R 上的一个线性空间. (1). (对加法运算是封闭的)：在 V 中存在加法运算, 即对任意 α, β ∈ V, 有 α + β ∈ V. (2). (对数乘运算是封闭的)：在 V 中存在数量乘法, 即对任 意 α ∈ V, k ∈ R, 有 kα ∈ V. (3). V 中的加法和数乘满足以下运算规律 (设 α, β, γ ∈ V; λ, µ ∈ R): .1 α + β = β + α; .2 (α + β) + γ = α+(β + γ); 3. 在 V 中存在零元素 0, 对任何 α ∈ V, 都有 α + 0 = α; .4 对任何 α ∈ V, 都有 α 的负元素 β ∈ V, 使 α + β = 0; 5. 1α = α; 6. λ(µα)=(µλ)α; 7. (λ + µ)α = λα + µα; 8. λ(α + β) = λα + λβ. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 21
$6.1线性空间的概念 1.定义1：设V是一个非空集合，R为实数域，如果以下三个条件被满足， 则称非空集合V为实数域R上的一个线性空间 (1).(对加法运算是封闭的)：在V中存在加法运算，即对任意α，B∈V, 有a+B∈V (2).(对数乘运算是封闭的)：在V中存在数量乘法，即对任 意a∈V,k∈R,有ka∈' (③).V中的加法和数乘满足以下运算规律（设α，B,Y∈，入4∈R) x+B=B+a; ©(a+B)+Y=a+(B+Y): O在V中存在零元素0，对任何a∈V,都有a+0=a; O对任何a∈V,都有a的负元素B∈V,使a+B=0; 01a=a: Oλ(ua)=(μ入)a; 0(A+)a=入a+μa 0A(a+)=入a+λB. 张鞘同济大学 2/21
§6.1 线性空间的概念 1. 定义 1: 设 V 是一个非空集合, R 为实数域, 如果以下三个条件被满足, 则称非空集合 V 为实数域 R 上的一个线性空间. (1). (对加法运算是封闭的)：在 V 中存在加法运算, 即对任意 α, β ∈ V, 有 α + β ∈ V. (2). (对数乘运算是封闭的)：在 V 中存在数量乘法, 即对任 意 α ∈ V, k ∈ R, 有 kα ∈ V. (3). V 中的加法和数乘满足以下运算规律 (设 α, β, γ ∈ V; λ, µ ∈ R): .1 α + β = β + α; .2 (α + β) + γ = α+(β + γ); 3. 在 V 中存在零元素 0, 对任何 α ∈ V, 都有 α + 0 = α; .4 对任何 α ∈ V, 都有 α 的负元素 β ∈ V, 使 α + β = 0; 5. 1α = α; 6. λ(µα)=(µλ)α; 7. (λ + µ)α = λα + µα; 8. λ(α + β) = λα + λβ. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 21
3.例：在正实数的全体R+中定义加法及乘数运算为 a⊕b=ab,入*a=a(a,b∈Rt,入∈R) 验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间！ 证对法和限放的封闭 对任营的山，bR,有4由b=abER 对正的入ER,aeR+,有入a=∈R 西性 1)aeb=ab=ba=b由a 11deDc=《0eC=《hc=40e=de0C=a田b甲c 而中存在零元素1，付任何4三R,有：历1=41=化， w)对任何a∈R,有负元素a一三R,使aa=aa一=1 ta=a=a v入(4a=入=(aA=ap=0a vi+)+a=a+=aa=田a=入*a⊕ua N面入+(@eb=入*(ab=(ab)入=b=由b=人4由入+b 因此R对于所定义的运算构成线佳空间 南同济大攀 3/21
3. 例 : 在正实数的全体 R + 中定义加法及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ ∗ a = a λ (a, b ∈ R +, λ ∈ R). 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间. 䇷: 对加法和乘数的封闭性: 对任意的 a, b ∈ R +, 有 a ⊕ b = ab ∈ R +; 对任意的 λ ∈ R, a ∈ R +, 有 λ ∗ a = a λ ∈ R +. 运算的线性性: (i) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; (ii)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (bc) = a ⊕ (b ⊕ c); (iii) R + 中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R +, 有 a ⊕ 1 = a · 1 = a; (iv) 对任何 a ∈ R +, 有负元素 a −1 ∈ R +, 使 a ⊕ a −1 = aa−1 = 1; (v)1 ∗ a = a 1 = a; (vi)λ ∗ (µ ∗ a) = λ ∗ a µ = (a µ ) λ = a λµ = (µλ) ∗ a; (vii)(λ + µ) ∗ a = a λ+µ = a λa µ = a λ ⊕ a µ = λ ∗ a ⊕ µ ∗ a; (viii)λ ∗ (a ⊕ b) = λ ∗ (ab) = (ab) λ = a λb λ = a λ ⊕ b λ = λ ∗ a ⊕ λ ∗ b. 因此, R + 对于所定义的运算构成线性空间. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 21
3.例：在正实数的全体R+中定义加法及乘数运算为 a⊕b=ab,入*a=a(a,b∈Rt,入∈R) 验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间 证：对加法和乘数的封闭性： 对任意的a,b∈R+,有a⊕b=ab∈R+: 对任意的入∈R,a∈R+,有入*a=a入∈R+ 运算的线性性： (①)a⊕b=ab=ba=b⊕a (i)(a⊕b)⊕c=(ab)⊕c=(ab)c=a(bc)=a⊕(bc)=a⊕(b⊕c; (i)R+中存在零元素1，对任何a∈R+,有a⊕1=a·1=a (iv)对任何a∈R+,有负元素a-1∈R+,使a⊕a-1=aa=1 (v)1*a=a=a; (vi入*（μ*a）=入*a=(a)入=a4=(u入）*a (vi)(X+)）*a=aA+=a入a=a入⊕a=入*a⊕μ*ag; (vii)入*(a⊕b)=入*(ab)=(ab)入=ab入=a入⊕b入=入*a⊕入*b. 因此，R+对于所定义的运算构成线性空间 南同济大攀 3/21
3. 例 : 在正实数的全体 R + 中定义加法及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ ∗ a = a λ (a, b ∈ R +, λ ∈ R). 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间. 䇷: 对加法和乘数的封闭性: 对任意的 a, b ∈ R +, 有 a ⊕ b = ab ∈ R +; 对任意的 λ ∈ R, a ∈ R +, 有 λ ∗ a = a λ ∈ R +. 运算的线性性: (i) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; (ii)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (bc) = a ⊕ (b ⊕ c); (iii) R + 中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R +, 有 a ⊕ 1 = a · 1 = a; (iv) 对任何 a ∈ R +, 有负元素 a −1 ∈ R +, 使 a ⊕ a −1 = aa−1 = 1; (v)1 ∗ a = a 1 = a; (vi)λ ∗ (µ ∗ a) = λ ∗ a µ = (a µ ) λ = a λµ = (µλ) ∗ a; (vii)(λ + µ) ∗ a = a λ+µ = a λa µ = a λ ⊕ a µ = λ ∗ a ⊕ µ ∗ a; (viii)λ ∗ (a ⊕ b) = λ ∗ (ab) = (ab) λ = a λb λ = a λ ⊕ b λ = λ ∗ a ⊕ λ ∗ b. 因此, R + 对于所定义的运算构成线性空间. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈V, 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的公的负元系记作一口 证设0有两个负元素3，，即0+3=0,0+=0.于是 9=9+0=9+(+)=0+8)+=0+= 3.0=0:(-1a=-aA0=0 证0+00=1a+00=(1+0)0=10=0,所以0a=0 1+(一1a=10+(-1a=1+-1)a=00=0.所以(-1a=-0 A0=Aa十(-1)0=Aa+-入0=A十（-入0=00=0 张鞘同济大学 4121
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈'， 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.00=0:(-1a=-aA0=0 证0+00=1a+00=(1+0)a=10=a,所以0a=0 1+(一1a=10+(-1a=1+-1)a=00=0.所以(-1a=-0 A0=Aa十(-1)0=Aa+-入0=A十（-入0在=0a=0 4.果a=0.则入=0或位=0 证若入≠0，在=0两边同乘得（入）=0=0 而(a)=(失人a=la=a 听以=0 张鞘同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈'， 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+Y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.0a=0:(-1)a=-a;0=0 证：a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a;所以0a=0 a+(-1)a=1a+(-1)a=[1+(-1)]a=0a=0,所以(-1)a=-a. A0=[a+(-1)al=λa+(-)a=[A+(-入)]a=0a=0. 4.果入a=0.则入=0或0=0 正若入≠0，在a=0两边同乘得（入）=0=0 而(a)=(失人a=la=a 听以= 张销同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证：设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a∈V, 有a+01=a,a+02=a.于是特别有02+01=02,01+02=01，所 以01=01+02=02+01=02 2.任一元素的负元素是唯一的.α的负元素记作-a. 证：设a有两个负元素B,Y,即a+B=0,a+Y=0.于是 B=B+0=B+(a+y)=(a+)+Y=0+Y=Y. 3.0a=0:(-1)a=-a;λ0=0 证：a+0a=1a+0a=(1+0)a=1a=a;所以0a=0. a+(-1)a=1a+(-1)a=[1+(-1)]a=0a=0,所以(-1)a=-a. λ0=[a+(-1)a=λa+(-X)a=[A+(-λ)]a=0a=0 4.如果入a=0,则入=0或a=0. 证：若入≠0，在λa=0两边同乘得(Aa)=0=0, 而(a)=(侵入)a=la=a. 所以a=0. 张南同济大学 4/21
线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 䇷: 设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素, 即对任何 α ∈ V, 有 α + 01 = α, α + 02 = α. 于是特别有 02 + 01 = 02, 01 + 02 = 01, 所 以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2. 任一元素的负元素是唯一的. α 的负元素记作 −α . 䇷: 设 α 有两个负元素 β, γ , 即 α + β = 0, α + γ = 0. 于是 β = β + 0 = β + (α + γ) = (α + β) + γ = 0 + γ = γ. 3. 0α = 0; (−1)α = −α; λ0 = 0 䇷: α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α ; 所以 0α = 0. α + (−1)α = 1α + (−1)α = [1 + (−1)]α = 0α = 0, 所以 (−1)α = −α . λ0 = λ[α + (−1)α] = λα + (−λ)α = [λ + (−λ)]α = 0α = 0. 4. 如果 λα = 0, 则 λ = 0 或 α = 0. 䇷: 若 λ ̸= 0，在 λa = 0 两边同乘 1 λ 得 1 λ (λa) = 1 λ 0 = 0， 而 1 λ (λa) = ( 1 λ λ)a = 1a = a. 所以 α = 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 4 / 21
线性空间的子空间 L.定义A:设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称L为V的 子空间 2.定理线性空间V的非空子集构成子室间的充分必要条件是：上 对于中的线性运算封网 3.定义：为线性空何，，02，，，E则子空间 P=k+02十+0，三R1三上.2，，称为的 出{01,0.·，0}生成的子空间，记作L(01.a2,·,0, 你{a1,02.·,》为L(0,,,0,)的一组生成元 张鞘同济大学 5/21
线性空间的子空间 1. 定义 A: 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间. 2. 定理 1: 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是: L 对于 V 中的线性运算封闭. 3. 定义：V 为线性空间，α1, α2, · · · , αr ∈ V, 则子空间 W = {kα1 + kα2 + · · · + krαr , k ∈ R, i = 1, 2, · · · ,r} 称为 V 的 由 {α1, α2, · · · , αr} 生成的子空间，记作 L(α1, α2, · · · , αr)． 称 {α1, α2, · · · , αr} 为 L(α1, α2, · · · , αr) 的一组生成元. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 5 / 21
