第一章 §6极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1. lmf(x)=A二V{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 x→x0 xn>xo(n→o),有limf(xn)=A n-→o∞ 为确定起见，仅讨论x→x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1. limf(x)=A.={xn}:xn≠xo,f(xn） X→X0 有定义，且xm→xo(n→o),有1imf(x,)=A 证：“”设limf(x)=A,即Ve>0,38>0,当 x→x0 0N时，有0N时f(xn)-A<E. 故 lim f(n)=A 一”可用反证法证明.（略） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A,一V{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义 XX0 (x→∞) 且xn→x(n→oo),有1imf(xn)=A, 1n→o (xn∞） 说明：此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xm≠x,且xn→xo(n→0) 使limf(xm)不存在 1n→0 法2找两个趋于xo的不同数列{xn}及{xn},使 Iimf(xn)≠limf(x) n-→>o0 n→o∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明 limsin 不存在 x-→0 X 证：取两个趋于0的数列 Xn= 及xn (n=1,2, 2nπ 2nπ+ 有 lim sin- 1【=lim sin2nπ=0 n->o0 Xn n->o∞ lim sin 1 Xn =lim sin(2nπ+)=1 n-→o∞ n-→o 由定理1知1 lim sin上， 不存在 x>0 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数极限存在的夹逼准则 定理2.当x∈U(x,δ)时，g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=A x今x0 x-→x0 (x-→0】 (x->∞ -lim f(x)=A x今x0 (x→0） (利用定理1及数列的夹逼准则可证) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、两个重要极限 sinx 1.1im =1 x>0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 zsinx<x<tanx 故有 1< sin x cos x (0<x<》 sinx 显然有 cOS X< s1n<1(0<x< X 注 sinx lim cosx =1. lim =1 x→0 x→0x HIGH EDUCATION PRESS 注目录上页下页返回结束
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束
tan x 例2.求1im x→0X 解：lim tan x sin x 1 lim x→0 x x→0 x COSX lim sinx lim 1 =1 x→0x x→0COSX 例3.求1im arcsin x x-→0 X 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 原式=lim lim =1 t->0 sint t→0 sint t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1-cosx 例4.求1im x→0 x2 解：原式=lim 2sin" x->0 x2 -月 例5.已知圆内接正n边形面积为 A nR2sincos 证明：1imA,=πR2. R 1n-→00 证： lim 4=lim元R2 Sin z n-→o∞ n→o0 cosg=πR2 n 说明：计算中注意利用 lim sing(x) =1 (x)→0 (x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
n n n R cos sin lim 2 → = R n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n n n n A nR sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.1im(1+)'=e x>00 证：当x>0时，设n≤xo lim(1+)'=e X→+00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) + + n n + + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e e x x x + = →+ lim (1 ) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束