第二章 §9画数的极值与 最大值最小小值 函数的极值及其求法 二 最大值与最小值问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §9 函数的极值与 最大值最小值 第二章
函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x∈(a,b) 若存在x的一个邻域，在其中当x≠x时， (1)f(x)f(x),则称x为f(x)的极小点 称f(xo)为函数的极小值 极大点与极小点统称为极值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解这函数的定义域为(-∞，+∞)，求这函数的导数： f(x)=6.x2-18x+12=6(x-1)x-2) 解方程'x)=0,得它在函数的定义域为(-∞，+∞) 内的两个根x=1,x2=2这两个根把（-∞，+∞)分成三部分 区间(-∞，1]、[1,2]及[2，+∞ x -0,1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) f(x) 故f(x)的单调增区间为(-o,1),(2,+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) HIGH EDUCATION PRESS
例如 确定函数 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 解 这函数的定义域为(-∞，+∞),求这函数的导数： ' 2 f x x x ( ) 6 18 12 = − + =6(x-1)(x-2). 解方程f ′(x)=0，得它在函数的定义域为（-∞，+∞） 内的两个根x1=1,x2=2.这两个根把（-∞，+∞）分成三部分 区间（-∞，1]、[1，2]及[2，+∞）. x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为(1, 2). 1 2 o x y 1 2
f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x=1为极大点，f(1)=2是极大值 x=2为极小点，f(2)=1是极小值 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 x3不是极值点 oax x2 X3 xA x5 b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（极值第一判别法） 设函数f(x)在x,的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)f'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值； (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停
例1.求函数f(x)=(x-1)x的极值 解：)求导数)=x+(x-1)3x- 2)求极值可疑点 令f"(x)=0,得x=号；令f'(x)=0,得x2=0 3)列表判别 (-0,0) +∞) f'(x) .x=0是极大点其极大值为f(0)=0 x=号是极小点其极小值为f(③)=-0.33 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（极值第二判别法） 设函数f(x)在点xo处具有 二阶导数，且'(x)=0,f"(x)≠0 (1)若f"()0,则f(x)在点xo取极小值 证：(1)f"(xo)=lim f(x)-f(xo) 2 lim f'(x) x-→x0 x-Xo x→x0X-X0 由f"(xo)0，当00; 当x,<x<x+δ时，f'(x)<0, xo8 xo xo+8 由第一判别法知f(x)在x取极大值 (2)类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解：1)求导数 f'(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-15x2-1) 2)求驻点 令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 3)判别 因f"(0)=6>0,故f(0)=0为极小值 又"(-1)=f"(1)=0,故需用第一判别法判别 由于f'(x)在x=±1左右邻域内不变号， .f(x)在x=±1没有极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f (0) = 6 0, 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间a,b]上连续，则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法： (1)求f(在（内的极值可疑点 (驻点或不可导点) X1,X2,…,Xm (2)最大值 M=max{f(x),f(x2),,f(xm),f(a),f(b)} 最小值 m=minif(x),f(x2),..,f(m),f(a),f(b) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （驻点或不可导点）
特别： 当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小值 当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 机动 目录 上页 下页 返回 结束