第八章假设检验 第一节假设检验的概念 在总体X的分布完全未知，或只知其分布 但不知其参数的情况下，我们对的分布或分 布中的参数作出某种假设，然后根据样本，用 统计分析方法检验这一假设是否合理，从而作 出接受或拒绝这一假设的决定. 一、基本概念 对总体X的分布或分布中的参数提出假设，就称为统计假设， 所提出的假设叫做原假设（或零假设），记为H,对立于原假设的假设 称为备择假设（或对立假设），记为H· 假设检验就是根据样本，适当构造一个统计量，按照某种规则，决定是 接受H(拒绝H1)还是拒绝H(接受H1),所使用的统计量称为检验统计量. 只对总体分布中的参数提出假设进行检验的问题，称为参数检验
第八章 假 设 检 验 第一节 假设检验的概念 在总体X的分布完全未知，或只知其分布 但不知其参数的情况下，我们对X的分布或分 布中的参数作出某种假设，然后根据样本，用 统计分析方法检验这一假设是否合理，从而作 出接受或拒绝这一假设的决定． 一、基本概念 对总体 X 的分布或分布中的参数提出假设，就称为统计假设． 所提出的假设叫做原假设( 或零假设 )，记为 H0，对立于原假设的假设 称为备择假设( 或对立假设 )，记为H1． 假设检验就是根据样本，适当构造一个统计量，按照某种规则，决定是 接受 H0 ( 拒绝H1 )还是拒绝 H0 ( 接受H1 )，所使用的统计量称为检验统计量． 只对总体分布中的参数提出假设进行检验的问题，称为参数检验．
二、两类错误 由于检验法则是依据样本作出的，因此假设 检验的结果可能犯两类错误： 第一类错误：当原假设H为真时，作出的决 定却是拒绝Ho,犯这类错误的概率记为，即 P{拒绝HoH为真}=a. 第二类错误：当原假设H不正确时，作出的决定却是接受Ho,犯这类错 误的概率记为B，即 P{接受HoH不正确}=B· 在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小.但是，一般 说来，当样本容量给定以后，若减少犯某一类错误的概率，则犯另一类错误的 概率往往会增大，要使犯两类错误的概率都减小，只好增大样本容量
二、两类错误 在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小．但是，一般 说来，当样本容量给定以后，若减少犯某一类错误的概率，则犯另一类错误的 概率往往会增大，要使犯两类错误的概率都减小，只好增大样本容量． 由于检验法则是依据样本作出的，因此假设 检验的结果可能犯两类错误： 第一类错误：当原假设H0为真时，作出的决 定却是拒绝H0，犯这类错误的概率记为 ，即 P{拒绝H0 |H0为真}= ． 第二类错误：当原假设H0不正确时，作出的决定却是接受H0，犯这类错 误的概率记为 ，即 P{接受H0 |H0不正确} = ．
在给定样本容量的情况下，我们总是控 制犯第一类错误的概率，让它小于或等于¤， 而不考虑犯第二类错误的概率.这种检验问 题称为显著性检验问题.数称为显著性水 平.的大小依具体情况确定，通常取 =0.1,0.05,0.01 在对假设进行检验时，常使用某个统计量 T,称为检验统计量. 当检验统计量取某个区域W中的值时，我们就拒绝原假设H,,则称区域 W为拒绝域.拒绝域的边界点称为临界点.当检验统计量在某区域中取值时， 我们就接受H。,则称此区域为接受域：
在给定样本容量的情况下，我们总是控 制犯第一类错误的概率，让它小于或等于 ， 而不考虑犯第二类错误的概率．这种检验问 题称为显著性检验问题．数 称为显著性水 平． 的大小依具体情况确定，通常取 =0.1，0.05，0.01． 在对假设进行检验时，常使用某个统计量 T，称为检验统计量． 当检验统计量取某个区域W 中的值时，我们就拒绝原假设H0 ，则称区域 W 为拒绝域．拒绝域的边界点称为临界点．当检验统计量在某区域中取值时， 我们就接受 H0 ，则称此区域为接受域．
例1某车间用一台包装机包装味精，每袋 标准重量为100g,由已往经验知每袋重量的标 准差σ=0.5g保持不变，每隔一定时间需要检 查包装机的工作情况，现抽取9袋，测得它们 的净重为： 99.0,100.2,99.3,99.1,99.6,99.2,99.9,100.1,99.3 假定每袋重量服从正态分布，试问这段时间内包装机的工作是否正常（取 显著性水平a=0.05)? 解设每袋重量X~W(4,0.52),回答包装机的工作是否正常，相当于判断 4=100(=4)是否正确.因此原假设H:4=o=100，备择假设为H14≠100， EH正确条件下u二是一个统计量，~NOD·又因为X是4的 无偏估计，所以X-4|不应该很大，即|X-|大过某个常数时，就应该拒 绝H·拒绝域的形式为 X-Lo
例1 某车间用一台包装机包装味精，每袋 标准重量为100g，由已往经验知每袋重量的标 准差 保持不变，每隔一定时间需要检 查包装机的工作情况，现抽取9 袋，测得它们 的净重为： 99.0，100.2，99.3，99.1，99.6，99.2，99.9，100.1，99.3 假定每袋重量服从正态分布，试问这段时间内包装机的工作是否正常（取 显著性水平 ）？ = 0.5g = 0.05 解 设每袋重量 ，回答包装机的工作是否正常，相当于判断 是否正确．因此原假设H0： ，备择假设为H1： ~ ( ,0.5 ) 2 X N 100( ) = = 0 = 0 =100 100 , 在 H0 正确条件下 是一个统计量，且 ．又因为 是 的 无偏估计，所以 不应该很大，即 大过某个常数时，就应该拒 绝H0．拒绝域的形式为 n X u / 0 − = u ~ N(0,1) X | | X − 0 k n X − / 0 | | X − 0
于是令犯第一类错误的概率为，即 P 查标准正态分布表可得k=a12,于是有 当u区，的取值大于12时就应拒绝H,否则接受 ol/n Ho 现在4，=10,0=0.5，n=9,x=}2x=9.52,u2=1.96, i=1 1u1x-4=19952-101=2.8>196 oIn 0.5/9 所以拒绝Ho,即认为这段时间内包装机的工作不正常
当 的取值大于 时就应拒绝H0，否则接受 H0． 于是令犯第一类错误的概率为 ，即 查标准正态分布表可得 ，于是有 . / | | 0 = − k n X P u / 2 k = . / | | / 2 0 = − u n X P n X u / | | | | 0 − = u / 2 现在 ． 所以拒绝H0，即认为这段时间内包装机的工作不正常． 99.52, 1.96, 9 1 100, 0.5, 9, / 2 9 1 0 = = = = = = = u n x x i i = − = n x u / | | | | 0 2.88 1.96 0.5/ 9 | 99.52 100 | = −
*参数检验的一般步骤为： 1.根据问题的要求，提出原假设H和备择假 设H1 2.给出显著性水平o及样本容量n; 3.在H,正确下确定检验统计量T及拒绝域的 形式： 4.按犯第一类错误的概率等于α求出拒绝域W; 5.根据样本值计算T的观察值t,当t∈W时，拒绝Ho,否则接受Ho 三、双边检验与单边检验 在备择假设H1:4≠4中，4可能大于，也可能小于4，称H为双边备 择假设，相应的检验称为双边检验， 如果对假设Ho:W=4o,H1:4>4o进行检验称为右边检验. 如果对假设Ho:u=4,,H:4<o进行检验称为左边检验. 右边检验的拒绝域为t≥k，,左边检验的拒绝域为t≤k
* 参数检验的一般步骤为： 1．根据问题的要求，提出原假设H0和备择假 设 H1； 2．给出显著性水平 及样本容量 n ； 3．在H0正确下确定检验统计量T 及拒绝域的 形式； 4．按犯第一类错误的概率等于 求出拒绝域W； 5．根据样本值计算T 的观察值 t，当 t W 时，拒绝H0，否则接受H0． 三、双边检验与单边检验 在备择假设H1： 中， 可能大于 ，也可能小于 ，称H1为双边备 择假设，相应的检验称为双边检验． 如果对假设H0： ，H1： 进行检验称为右边检验． 如果对假设H0： ，H1： 进行检验称为左边检验． 右边检验的拒绝域为 ，左边检验的拒绝域为 ． = 0 0 0 t k t k 0 0 0 = 0
例2某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 服从正态分布N(4,o2),u=40cm/s'o=2cm/s, 现在用新方法生产了一批推进器，从中抽取=25 只，测得样本均值为x=41.25cm/s·设在新方 法下总体的标准差仍为o=2cm/s,问这批新推 进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率 有显著提高？取显著性水平au=0.05. 解 4,=40,依题意检验假设为 H,:4=4,(即新方法未提高燃烧率) H1:μ>4。（即新方法提高了燃烧率） 这是一个右边检验问题，其检验统计量为 X-≈N(0,1)' oI/n 拒绝域为u≥4a=4o.0s=1.645· 现在私= x-4=41.25- GIn 2/√25 0=3.125>1645
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 服从正态分布 ， , 现在用新方法生产了一批推进器，从中抽取n=25 只，测得样本均值为 ．设在新方 法下总体的标准差仍为 ，问这批新推 进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率 有显著提高？取显著性水平 ． N( , ), 40cm/ s 2 = = 2cm/ s x = 41.25cm/ s = 2cm/ s = 0.05 解 ，依题意检验假设为 H0： （即新方法未提高燃烧率） H1： （即新方法提高了燃烧率） 这是一个右边检验问题，其检验统计量为 ， 拒绝域为 ． 现在 ， 0 = 0 0 = 40 ~ (0,1) / 0 N n X u − = u u = u0.05 =1.645 3.125 1.645 2 / 25 41.25 40 / 0 = − = − = n x u
即的取值落在拒绝域中，所以在显著性水 平=0.05下拒绝Ho,接受H1,即认为这 批新推进器较以往提高了燃烧率
即 u 的取值落在拒绝域中，所以在显著性水 平 = 0.05下拒绝 H0，接受 H1，即认为这 批新推进器较以往提高了燃烧率．
第二节单个正态总体均值 与方差的假设检验 一、方差已知时，正态总体均值的假 设检验—u检验 假设总体X~N(4,o2),(X,X2,.,X)是来 自总体X的样本，σ2已知，这里要检验的假设是 H0:u≠4o,H1:u=4o 当H成立时，检验统计量 u= X-N0,1). oIn 对于给定的显著性水平，拒绝域为 W =fuu2ua12) 类似地可以检验单边假设（见表8-1）. 上述检验所用统计量服从标准正态分布，称为检验 法
第二节 单个正态总体均值 与方差的假设检验 一、方差已知时，正态总体均值的假 设检验——u 检验 假设总体 ，(X1 , X2 , …, Xn )是来 自总体 X 的样本， 已知，这里要检验的假设是 H0： ，H1： ． ~ ( , ) 2 X N 2 0 = 0 当H0成立时，检验统计量 ~ (0,1)． / 0 N n X u − = 类似地可以检验单边假设（见表8-1）． 上述检验所用统计量服从标准正态分布，称为u 检验 法． 对于给定的显著性水平 ，拒绝域为 W ={u | u | u / 2 }．
例1一种元件，要求其平均寿命不小于1000h, 现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得平均寿 命为950h,己知这种元件寿命服从o=100h的正 态分布，试在显著性水平=0.05条件下确定这批 元件是否合格. 解Ho:4=1000,H1:4<1000· 当H为真时，检验统计量 X-1000 Gl/n N0,1) 对于给定的显著性水平a=0.05,查表得u。=4oo5=1.645.此题是一个 左边检验的问题，拒绝域为 u≤-ua=-1.645. 现在n=25,o=100,x=950. 4=x-1000 =-2.5<-1.645. o/√n 所以拒绝Ho,而接受H,即认为这批元件不合格
例1 一种元件，要求其平均寿命不小于1000h， 现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得平均寿 命为 950 h，已知这种元件寿命服从 =100 h 的正 态分布，试在显著性水平 = 0.05 条件下确定这批 元件是否合格． 解 H0： ，H1： . 当H0为真时，检验统计量 ． =1000 1000 ~ (0,1) / 1000 N n X u − = 对于给定的显著性水平 = 0.05, 查表得 ．此题是一个 左边检验的问题，拒绝域为 ． 现在 n = 25， = 100， = 950 ． ． 所以拒绝H0，而接受H1，即认为这批元件不合格． u = u0.05 =1.645 u −u = −1.645 2.5 1.645 / 1000 = − − − = n x u x