第五章二次型与对称矩阵 第一节二次型及其矩 定义1n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式f(x,x2,…,x称 为元二次型.各项系数都是实数的二次型称为实二次型；各项系 数为复数的二次型称为复二次型， 变量x,x2,…,xn的二次型的一般表达式为 f(x,x2,…,xn)=a1x2+2a12xx2+…+2a1nxxn +a22x号+2a23xx3+…+2am53 +…+an-ln-+2an-Laxn-1xn+amx号 () 若令ai=a,0=2,3,…,1≤i<),并将2a,xx,写成ayx,+ax,x，上 面的二次型(1)又可表示成 f(x)=ax+axaxn +a2X2X+z+anX2Xn +…+atax+…+0=224,x (2)
2 定义1 个变量 的二次齐次多项式 称 为 元二次型．各项系数都是实数的二次型称为实二次型；各项系 数为复数的二次型称为复二次型． n n x , x , , x 1 2 ( , , , ) 1 2 n n f x x x 变量 x1 , x2 , , xn 的二次型的一般表达式为 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 . (1) n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x − − − − − = + + + + + + + + + + + ． 若令 并将 写成 ，上 面的二次型(1)又可表示成 ( 2, 3, , ;1 ), ji ij a a j n i j = = ij i j 2a x x ij i j ji j i a x x + a x x 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) . (2) n n n n n n n n n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = = + + + + + + + + + + + + = 第五章 二次型与对称矩阵 第一节 二次型及其矩
今设 a12 a21 a22 A= a22 X2 an an2 ann Xn】 则二次型(1)又可写成矩阵乘积的形式 f(x)=x'Ax或f=x'c (3) 上式中的对称矩阵A称为二次型f的矩阵.矩阵A的秩定义为二 次型∫的秩. 例1求出下列二次型的矩阵f(x,,)=2x+号-2xx+x: 8(0y1,y2,y3)=-y+2y3 2 -1 0 解二次f型的矩阵为A=-101/2 01/21 二次型8的矩阵为B= 3
3 上式中的对称矩阵 称为二次型 的矩阵．矩阵 的秩定义为二 次型 的秩． A f A f 今设 = = n n nn n n x x x x a a a a a a a a a 2 1 1 2 21 22 22 11 12 1 A , f (x) = xAx f = xAx ， 或 （3） 则二次型(1)又可写成矩阵乘积的形式 例1 求出下列二次型的矩阵 ( , , ) 2 . ( , , ) 2 2 ; 2 3 2 1 2 3 1 1 2 2 3 2 3 2 1 2 3 1 g y y y y y f x x x x x x x x x = − + = + − + 解 二次 f 型的矩阵为 − − = 0 1/ 2 1 1 0 1/ 2 2 1 0 A 二次型 g 的矩阵为 . − = 2 0 1 B
从例1中我们看到，一个二次型只含平方项，则其矩阵必是对 角矩阵.反之，如果二次型的矩阵为对角矩阵，则该二次型只含平 方项 只含平方项的二次型称为二次型的标准形. 正如二次曲线方程的化简一样，我们希望能把一般的二次型化 简到只含平方项，即化为标准形.这就要用到线性变换」 定义2从变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,yn的一组线性关系式 x1=puy+p2y2 +.+pinyn2 x2=p21y+p22y2+..+p2nyn2 (4) xn=pmy+pn2y2 +...+pmyni 叫做一个线性变换 4
4 从例1中我们看到，一个二次型只含平方项，则其矩阵必是对 角矩阵．反之，如果二次型的矩阵为对角矩阵，则该二次型只含平 方项． 只含平方项的二次型称为二次型的标准形． 正如二次曲线方程的化简一样，我们希望能把一般的二次型化 简到只含平方项，即化为标准形．这就要用到线性变换． 定义2 从变量 x1 , x2 , , xn 到变量 y1 , y2 , , yn 的一组线性关系式 = + + + = + + + = + + + ; , , 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x p y p y p y x p y p y p y x p y p y p y （4） 叫做一个线性变换．
若记（后文中沿用，不再说明） X2 Y2 y= P=[Pilnxn 线性变换(4)可表示为 x=Py (5) 上式中的矩阵P称为变换矩阵.当P可逆时，(4)或(5)称为可逆线性 变换（或称满秩线性变换、非退化线性变换）；当P不可逆时，则称 为不可逆线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）.当线性变 换（⑤）可逆时，线性变换 y=p-x (5)'称 为(5)的逆变换. 它是与(5)同一实质内容的线性变换.（⑤）与(5)'互为逆变换.今 后我们所关心的，就是用可逆线性变换化简二次型 变量x,x2,,x的二次型f=xA经可逆线性变换x=Py化为 f=(Py)'A(Py)=y(P'AP)y 5
5 上式中的矩阵 称为变换矩阵.当 可逆时，(4)或(5)称为可逆线性 变换(或称满秩线性变换、非退化线性变换)；当 不可逆时，则称 为不可逆线性变换(或称降秩线性变换、退化线性变换)．当线性变 换(5)可逆时，线性变换 (5)′称 为(5)的逆变换． P P P 1 y P x − = 它是与(5)同一实质内容的线性变换．(5)与 互为逆变换．今 后我们所关心的，就是用可逆线性变换化简二次型． (5) 若记(后文中沿用，不再说明) i j n n n n p y y y x x x = = = , , [ ] 2 1 2 1 x y P 线性变换(4)可表示为 x = Py （5） ， 变量 x1 , x2 , , xn 的二次型 f = xAx 经可逆线性变换 x = Py 化为 f = (Py)A(Py) = y(PAP) y
记B=P'AP,则由B'=(P'AP)=P'A(Py'=P'AP=B知，B也是一个对称 矩阵，yy是新变量y,y2,…,yn的一个二次型.变换前后两个二次 型矩阵A,间的这种关系称为合同关系. 定义3对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P使得 P'AP=B, 则说矩阵A与B合同（或相合），记作A≈B 合同关系具有反身性、对称性与传递性，当矩阵P可逆时，对方 阵A进行的运算PAP称为对A的合同变换，P称为合同因子. 综上可知，如果二次型x'Ax经可逆线性变换化为二次型yB, 则所得二次型的矩阵B必与原二次型矩阵A合同，其合同因子就是 变换矩阵P. 反之，如果对称矩阵A经合同变换PAP化为对称矩阵B,则二次 型xAx必可经可逆线性变换x=Py化为二次型y'By
6 记 ，则由 知， 也是一个对称 矩阵， 是新变量 的一个二次型．变换前后两个二次 型矩阵 间的这种关系称为合同关系． B = PAP B = (PAP) = PA(P) = PAP = B B yBy n y , y , , y 1 2 A,B 则说矩阵 与 合同(或相合)，记作 ． 定义3 对于 阶矩阵 ，如果有 阶可逆矩阵 使得 ， n A,B n P PAP = B A B A~ − B 合同关系具有反身性、对称性与传递性．当矩阵 可逆时，对方 阵 A 进行的运算 PAP 称为对 A 的合同变换， P 称为合同因子． P 综上可知，如果二次型 经可逆线性变换化为二次型 ， 则所得二次型的矩阵 必与原二次型矩阵 合同，其合同因子就是 变换矩阵 ． xAx yBy B A P 反之，如果对称矩阵 经合同变换 化为对称矩阵 ，则二次 型 必可经可逆线性变换 化为二次型 ． A PAP B xAx x = Py y By
应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同.但是，对实方阵A,当合同因子是正交矩阵 Q时，由于Q'=Q,这时，合同变换Q'AQ与相似变换QAQ完全一致 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x=Py,使已知n元二次型x'Ax化为标准形 by+b2y+…+bny月 容易理解，上述问题与寻求合同因子P使二次型矩阵4经合同变 换P'AP化为对角矩阵 B 的问题是一致的. 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩， 于是，上面的b,b2,…,bn中非零数的个数r恰是二次型的秩
7 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x = Py ,使已知 n 元二次型 xAx 化为标准形 2 2 2 2 2 1 1 n n b y +b y ++b y 容易理解，上述问题与寻求合同因子 使二次型矩阵 经合同变 换 化为对角矩阵 的问题是一致的． P A PAP = n b b b 2 1 B 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩． 于是，上面的 b1 ,b2 , ,bn 中非零数的个数 r 恰是二次型的秩． 应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同. 但是，对实方阵A，当合同因子是正交矩阵 Q时，由于 这时,合同变换 与相似变换 完全一致. 1 Q Q , − = Q AQ 1 Q AQ −
第二节用正交变换化实二次型为标准形 最常用的二次型是实二次型，本节将利用上一章关于实对称矩阵 相似对角化的理论和结果，给出求实二次型标准形的一种方法 设有实二次型f=x'Ax,其中x=(x,x2,,x)/,A为n阶实对称 矩阵. 据第四章定理10，必有n阶正交矩阵Q,使 'A0=040=M= 于是可得下面的定理1.其中涉及到的正交变换x=Qy,是指变换矩 阵Q为正交矩阵的线性变换 定理1n元实二次型f=x'Ax可经正交变换x=Qy化为标准形 +2y2+…+元y7, 其中入，22，…，元n恰是A的全部特征值. 9
9 设有实二次型 ，其中 ， 为 阶实对称 矩阵． f = xAx ( , , , ) 1 2 = n x x x x A n 据第四章定理10，必有 阶正交矩阵 ，使 ， n Q = = = − n 2 1 1 Q AQ Q AQ Λ 于是可得下面的定理1．其中涉及到的正交变换 ，是指变换矩 阵 为正交矩阵的线性变换． x = Qy Q 定理1 元实二次型 可经正交变换 化为标准形 , 其中 恰是 的全部特征值． n f = xAx x = Qy 2 2 2 2 1 1 n n y + y ++ y n , , , 1 2 A 第二节 用正交变换化实二次型为标准形 最常用的二次型是实二次型, 本节将利用上一章关于实对称矩阵 相似对角化的理论和结果,给出求实二次型标准形的一种方法
例1用正交变换化实二次型 f,2,,x4)=2x32+2x-2xx4-2x3+2x+2x, 为标准形，并求出所用的正交变换 解二次型∫的矩阵为 0 1 -1 1 0 -1 A= 1 -10 2 6 √3 1 -11 0 6 在第四章第四节例1中，已求出正交矩阵= 2 0 6630 6363662 21121212 0 使得 10
10 解 二次型 f 的矩阵为 − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A 在第四章第四节例1中，已求出正交矩阵 − − − − = 2 1 2 3 0 0 2 1 6 3 3 6 0 2 1 6 3 6 6 2 2 2 1 6 3 6 6 2 2 Q 例1 用正交变换化实二次型 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 f (x , x , x , x ) = 2x x + 2x x − 2x x − 2x x + 2x x + 2x x 为标准形，并求出所用的正交变换． 使得 ． − = = − 3 1 1 1 1 Q AQ Q AQ
于是，正交变换x=Qy即 6 2 当+ 6 当+ y43 6 X2= 2出、 y2+ 6 X3= 3 62y 1 X- 2+ 便可将二次型∫化为标准形 +y+-3 11
11 于是，正交变换 即 便可将二次型 化为标准形 x = Qy = + = + − = − + − = + − + 4 3 4 3 2 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 , 2 1 6 3 3 6 , 2 1 6 3 6 6 2 2 , 2 1 6 3 6 6 2 2 x y y x y y y x y y y y x y y y y f 2 2 2 2 1 2 3 4 y y y y ++−3
例2用正交变换化实二次型 f(x1x2:x3)=2x+x2-4xx2-4x2X3 为标准形，并求所用的正交变换， 解二次型∫的矩阵为 「2-20 A=-21-2 L0-20 由 2-2 2 0 |E-A月 2 元-12=(2-10(1+2)(2-4) 0 2 得A的特征值为 21=1,12=-2,23=4 求出对A应于特征值=1的特征向量 a1=(2,1,-2)1 单位化得A对应于特征值入=1的单位正交特征向量 12
12 例2 用正交变换化实二次型 为标准形，并求所用的正交变换． 1 2 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x − 4x x − 4x x 解 二次型 f 的矩阵为 − − − − = 0 2 0 2 1 2 2 2 0 A 由 ， 得 的特征值为 ． ( 1)( 2)( 4) 0 2 2 1 2 2 2 0 | | − = − + − − − = E A A 1 =1, 2 = −2, 3 = 4 求出对 应于特征值 的特征向量 ， A 1 =1 (2,1, 2) 1 α = − 单位化得 对应于特征值 的单位正交特征向量 ； A 1 =1 = − 3 2 , 3 1 , 3 2 1 γ