第二章 §7洛必达法则 型未定式 二、 型未定式 o0 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §7 洛必达法则 第二章
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限im 8(x) 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限im ∫'(x) g'(x) 将达.6.-于，4dc HIGH EDUCATION PRESS 洛必达目录上页下页返回结束
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
型未定式 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x→a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)1im f'(x) 存在（或为0） xa F"(x) lim f(x) lim '(x) (洛必达法则 x->a F(x) x->a F'(x) 该定理的证明用到了柯西中值定理，这里不予证明 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 该定理的证明用到了柯西中值定理，这里不予证明
洛必达法则 lim f(x) lim (x) x->aF(x) x→a F'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a，x→a，x>00,x→+0，x→-0 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1im '(x) 仍属0 F'(x) 型，且∫'(x),F'(x)满足定 理1条件，则 f()=lim)=lim f"(x) F(x) F'(x) F"(x) HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
x3-3x+2 例1.求m 0- 型 1x3-x2-x+1 0 解：原式=lm 3x2-3 x->1 3x2-2x-1 3 lim 6x x16x-2-2 注意：不是未定式不能用洛必达法则！ 6x lim 丰 =1 lim x-16x-2 x→>16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
arctan x 例2.求1im 型 0 X>+00 1 X 解：原式=lim 1+x X>+00 型 ro∞ 1 n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − → ( n 为正整数) ? 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 81 8 型未定式 定理2. 1) 1imf(x)=limF(x)=∞ x→d x->a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)li /(x) 存在（或为∞） xa F"(x) lim f(x) =lim '(x) (洛必达法则 x-a F(x) xaF'(x） 此定理分三种情况证明，这里不予证明 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 此定理分三种情况证明，这里不予证明. ( ) ( ) lim F x f x x a = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
Inx 例3.求1im (n>0) 型 x->t00 xn 解：原式=lim lim 1 x→+0nX -1 x->+oo nx x 00 例4.求1im (n>0,2>0) 型 00 解：(1)n为正整数的情形 原式=lim nx"-1 lim n(n-1)x"-2 X-→+0 e x→+0 R2eix n! 二·三 lim =0 X>十00 A"eax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求 解: 型 原式 1 1 lim − →+ = n x x nx n x nx 1 lim →+ = = 0 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 = 0 1 lim e n x x n x − →+ = 2 2 ( 1) lim e n x x n n x − →+ − = ! lim e n x x n →+ = = lim ( 0 , 0). →+ n e x x n x 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对于例4：1im +2 x (n>0,>0) X→十00 e (2)n不为正整数的情形 存在正整数k,使当x>1时 xk<x"sxhtl 从而 用夹逼准则 由(1) lim lim e =0 x→+00 lim x→+0e Ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
对于例4： lim ( 0 , 0). →+ n e x x n x (2) n 不为正整数的情形. n x 从而 x n e x x k e x x k e x +1 由(1) lim lim 0 1 = = + →+ →+ x k x x k x e x e x lim = 0 →+ x n x e x 用夹逼准则 k x +1 k x 存在正整数 k , 使当 x > 1 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： 1)例3，例4表明x>+o时 lnx,x”(n>0),ex(2>0) 后者比前者趋于+∞更快 2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.例如 用洛必达法则 lim W1+x2 X V1+x2 lim lim X→+00 X x→+00 V1+x2 X→十00 X 而 lim 1+x2 lim X→+00 x x-)+ ox2+1-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 ( 0). ln lim = →+ n x x n x 例3. 例4. lim = 0 ( 0 , 0). →+ n e x x n x 说明: 1) 例3 , 例4 表明 x →+ 时, ln x, 后者比前者趋于 + 更快 . 例如, 而 ( 0) x e 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束