第二章 §2离数的求导法则 四则运算求导法则 二、复合函数求导法则 三、初等函数的求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上功 返回 结束
二、复合函数求导法则 三、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2 函数的求导法则 第二章
思路： f'(x)=lim f(x+△x)-f(x) 构造性定义) △x-→0 △x 本节内容 求导法则 (C)'=0 (sinx)'= cosx 证明中利用了 1 其它基本初等 (Inx)'= 两个重要极限 x 函数求导公式 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 返回 结束
思路: x f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C ) (sin x ) (ln x ) 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)士v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) o[ u'(x)v(x)-u(x)v'(x) (v(x)≠0) v2(x) 用导数的定义可以证明以上面的三个公式，这里不予证 明 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
一、四则运算求导法则 定理1. 函数u u(x)及v v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x) v(x)] u (x) v (x) (2) [u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x 用导数的定义可以证明以上面的三个公式.这里不予证 明. (v(x) 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论： 1)(Cu)y=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw 》sy-g)e ()-g1c为m数) 5)(什v-w)'=u'+v'-w HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上 下返回 结束
推论: 1) (Cu ) 2) (uvw) Cu u vw uv w uvw 3) (loga x ) a x ln ln x ln a 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 4） 2 v C v v C ( C为常数 ) 5) (u+v-w)′=u′+v′-w′
例1.y=x(x3-4cosx-sinl),求y'及yx=1 解：y'=(Wx)/(x3-4cosx-sinl) +√x(x3-4cosx-sinl)1 2 (x3-4cosx-sinl)+√x(3x2+4sinx） (1-4cos1-sin1)+(3+4sin1) +sinl-2cosl 2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上页 下项返回 结束
例1. 解: 4sin x (1 2 1 sin1) ( 4cos sin1) , 3 y x x x . 1 x 求 y 及 y y ( x ) x ( 4cos sin1) 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x1 4cos1 (3 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 ( 4cos sin1) 3 x x ( 4cos sin1) 3 x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求证(tanx)'=sec2x,(cscx)'=-cscxcotx. 证：((tanx)= =(sin x)'cosx-sinx(cosx) cos-x cos2 x +sin2x =sec2 x 0】 cos-x eY sin2 x sinx =-cscxcotx 类似可证： (cotx)'=-csc2x, (secx)'=secxtanx. HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
(csc x) sin x 1 x 2 sin (sin x) x 2 sin 例2. 求证 (tan ) sec , 2 x x 证: (csc x) csc x cot x . x x x cos sin (tan ) x 2 cos (sin x)cos x sin x (cos x) x 2 cos x 2 cos x 2 sin x 2 sec cos x csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x x (sec x) sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、复合函数求导法则 定理2.u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x) 可导>复合函数y=[g(x)]在点x可导，且 dy=f(u)g'(x) 证：y=f(u)在点u可导，故1im △y=f'(u △u-→0△2W ∴.△y=f'(u)△u+C△u (当△u>0时C→0) 故有 -fw (△x≠0) dy lim dx △x-→0△X -f HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束
在点 x 可导, lim x 0 x u x u f u ( ) x y x y x 0 lim d d 二、复合函数求导法则 定理2. u g(x) y f (u) 在点 u g(x) 可导 复合函数 y f [ g(x)] 且 ( ) ( ) d d f u g x x y 在点 x 可导, 证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u y f (u)u u （当 u 0 时 0 ) 故有 f (u)g (x) u y f (u) ( ) ( 0) x x u x u f u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形， 例如，y=f(u),u=p(v),V=W(x) y dydy du dv dx du dy dx =f'(u)·p'(v)·w'(x) 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
例如, y f (u) , u (v) , v (x) x y d d f (u) (v)(x) y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求下列导数①)(x“);(2)(x);(3)(shx)' 解：((ey=(eny=en(u1ny=x M xH-l (2)(x*)'=(ex Inx)'=e*Inx.(xlnx)=x*(Inx+1) 6y=(e')==x 2 说明：类似可得 (chx)'=shx; (thx)'=-1. chx' (ax)'axlna. shx= ex-e-x thx shx ax exlna 2 chx HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束
例3. 求下列导数: (1) (x ); (2) (x ); (3) (sh x). x 解: (1) ( ) ( ) ln x x e x e ln ( ln x) x x 1 x ( ) ( ) ln x x x x e x x e ln (xln x) x (2) x (ln x 1) (3) 2 (sh ) x x e e x 2 x e x e ch x 说明: 类似可得 (ch x) sh x ; x x a a e ln (th x) ( ) x a x x x ch sh th 2 sh x x e e x ; ch 1 2 x a ln a . x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设y=Incos(e),求 dy dx 解： dy aid,tsmye -ex tan(e*) HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上项 下项返回 结束
例4. 设 lncos( ) , x y e 求 . d d x y 解: x y d d cos( ) 1 x e ( sin( )) x e x e tan( ) x x e e 机动 目录 上页 下页 返回 结束