线性代数一向量组的线性相关性 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 同济大学数学系 1903 张鞘同济大学 1131
. . 线性代数 —向量组的线性相关性 张 莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 同济大学 数学系 ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 1 / 31
第四章向量组的线性相关性 基本内容: 。向量组的线性相关性 ©向量组的秩 ⊙线性方程组的解的结构 。向量空间 内容要求: 理解向量的线性表示,掌握向量组的线性相关与线性无关、 向量组的秩和线性方程组解的结构了解向量空间 重点:判断向量组的线性相关性,并掌握一般方法,向量组秩的求 法 难点:向量组的线性相关性的证明,向量空间的概念 张纳同济大学 2131
第四章 向量组的线性相关性 基本ᇯ: .1 向量组的线性相关性. .2 向量组的秩. 3. 线性方程组的解的结构. .4 向量空间. ᇯ㾷求: 理解向量的线性表示, 掌握向量组的线性相关与线性无关、 向量组的秩和线性方程组解的结构, 了解向量空间. 䠃⛯: 判断向量组的线性相关性,并掌握一般方法, 向量组秩的求 法. 䳴⛯: 向量组的线性相关性的证明, 向量空间的概念. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 2 / 31
$1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类: 行向量:等同于行矩阵: 列向量:等同于列矩阵: (2).例:解析几何中点的坐标 2.回组间类同重亦称为同型)向量的集合 3.例任一柜阵有一行向量组和一列向量组 运只有加法数呢防为线运一设裤的 张南同济大学 3/31
§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵; 列向量: 等同于列矩阵; (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合;线性表出;线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法;线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31
$1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类: 行向量:等同于行矩阵: 列向量:等同于列矩阵: (2).例:解析几何中点的坐标 2.向量组:同类同维(亦称为同型)向量的集合 3.例任一柜阵有行向量组和一列向量组 .向量的运是(只有)加法和数乘(统称为线性运算一就按照短库的 运早来进行 张南同济大学 3/31
§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵; 列向量: 等同于列矩阵; (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合;线性表出;线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法;线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31
§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类: 行向量:等同于行矩阵: 列向量:等同于列矩阵: (2).例:解析几何中点的坐标 2.向量组:同类同维(亦称为同型)向量的集合 3.例:任一矩阵有一行向量组和一列向量组 问量的运是(只有)法和数乘统称为线件运算一就按照短库的 运来进行 5,本章前两节内容的华右框 1.三个基本概多:线性组合:线性表出:线性相关(或线性无关 2.一个基本战略矩阵化 3,两个延本方法扶的方法:线性方程组时方法 张南同济大学 性物 3/31
§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵; 列向量: 等同于列矩阵; (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合;线性表出;线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法;线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31
§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类: 行向量:等同于行矩阵: 列向量:等同于列矩阵: (2).例:解析几何中点的坐标 2.向量组:同类同维(亦称为同型)向量的集合 3.例:任一矩阵有一行向量组和一列向量组 4.向量的运算:(只有)加法和数乘(统称为“线性运算)一就按照矩阵的 运算来进行 5,本章前两节内容的毕右框限 。三个基本概②线性的合:线性表出:线性相关(或线性无关 2.一个基本战略:矩阵化 3,两个延本方法供的方法:线性方程组的方法 张南同济大学 物性色 3/31
§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵; 列向量: 等同于列矩阵; (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合;线性表出;线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法;线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31
§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类 行向量:等同于行矩阵: 列向量:等同于列矩阵: (2).例:解析几何中点的坐标 2.向量组:同类同维(亦称为同型)向量的集合 3.例:任一矩阵有一行向量组和一列向量组 4.向量的运算:(只有)加法和数乘(统称为“线性运算)一就按照矩阵的 运算来进行」 5.本章前两节内容的基本框架: ().三个基本概念:线性组合:线性表出:线性相关(或线性无关) (2).一个基本战略:矩阵化 (③)。两个基本方法:秩的方法:线性方程组的方法 张鞘同济大学 3/31
§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵; 列向量: 等同于列矩阵; (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合;线性表出;线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法;线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2:向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和. 1,限形式ka1十性++mdm 些数乘的数,,一m称为此线性组合的系数 2),系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合 2.例 .组中任一向量是该组的线性组合 卫。所是日一国的的非合 以性饵合的业生进合仍性饵合传难性 张鞘同济大学 4131
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2:向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 (1).一般形式:k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数,k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是“平凡线性组合 2.例 。组中任一向量是该组的线性组合 2),零向量是任一(同型向量组的线性组合 以性饵合的少生强合仍性饵合传性性 张鞘同济大学 4131
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2:向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 (1).一般形式:k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数k1,2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例: ().组中任一向量是该组的线性组合 2),零何量是任一(同型)向量组的线性组合 3.线性组合的线性组合仍是线性组合传递性 张鞘同济大学 4/31
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31